初等数论作业.doc

初等数论作业第一次作业：一、单项选择题1、（ ）. A B C D 02、如果，则( ).A B C D 3、如果，则=（ ）.A B C D 4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果，则15（）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数（ ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、求24871与3468的最大公因数? 2、求24871,3468=? 3、求136,221,391=?三、证明题1、 如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.2、 证明对于任意整数,数是整数. 3、 任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数.4、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.第二次作业一、单项选择题1、如果( A ),则不定方程有解. A B C D 2、不定方程（A ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程1、.解：因为（9，21）=3，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 2、.解：因为 ,所以有解; 考虑,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑， 有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 4.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为 25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.5.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.第三次作业：一、选择题1、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被( )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整数,则A B C T D 二、解同余式（组）（1）.（2）（3）.（4）.（5）.三、证明题1、如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.2、证明当是奇数时，有.第四次作业：一、计算：1、判断同余式是否有解？2、判断同余式是否有解？3、求11的平方剩余与平方非剩余.4、计算,其中563是素数.5、 计算二、证明题：1、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.2、证明形如的整数不能写成两个平方数的和.3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数. 4、素数写成两个平方数和的方法是唯一的.答案：第一次作业：一、单项选择题1、（C ）.A B C D 02、如果，则(D ).A B C D 3、如果，则=（C ）.A B C D 4、小于30的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 75、大于10且小于30的素数有（ C ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个6、如果，则15（A ）.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定7、在整数中正素数的个数（C ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定二、计算题1、 求24871与3468的最大公因数?解： 24871=34687+5953468=5955+493595=4931+102493=1024+85102=851+1785=175, 所以,(24871,3468)=17.2、 求24871,3468=?解：因为 （24871,3468）=17 所以 24871,3468= =5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。3、求136,221,391=?解： 136,221,391=136,221,391 =1768,391 = =104391=40664.三、证明题6、 如果是两个整数,则存在唯一的整数对,使得,其中.证明 ：首先证明唯一性.设,是满足条件的另外整数对,即,.所以,即,.又由于,所以.如果,则等式不可能成立.因此,. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列,则整数应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数使.我们设,则有,. 7、 证明对于任意整数,数是整数. 证明： 因为=, 而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从和有,即是整数. 8、 任意一个位数与其按逆字码排列得到的数的差必是9的倍数. 证明： 因为 , =, 所以,-= 而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立. 9、 证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.证明: 设相邻两个偶数分别为 所以= 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即是8的倍数. 第二次作业答案：一、单项选择题1、 如果( A ),则不定方程有解. A B C D 2、不定方程（A ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程1、.解：因为（9，21）=3，所以有解； 化简得； 考虑，有， 所以原方程的特解为， 因此，所求的解是。 2、.解：因为 ,所以有解; 考虑,; 所以是特解, 即原方程的解是 3、.解：因为（107，37）=1，所以有解； 考虑，有， 所以，原方程特解为=225，=-650， 所以通解为 4.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解25x+13y=t, t+7z=4.利用求二元一次不定方程的方法,因为25(-t)+13(2t)= t, 32+7(-4)=4,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解,这里是任意整数.5.求不定方程的整数解.解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解 4x-9y=t, t+5z=8.利用求二元一次不定方程的方法,因为 4(-2t)-9(-t)= t, 48+5(-8)=8,所以,上面两个方程的解分别为 , .消去t就得到所求的解 , 这里是任意整数.第三次作业答案：一、选择题1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或92、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 93、模5的最小非负完全剩余系是( D ). A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,44、如果,是任意整数,则（A ）A B C T D 二、解同余式（组）（1）.解 因为(45,132)=321,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(21,7). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . （2）解 因为(12,45)=315,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于,即. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , .（3）.解 因为(111,321)=375,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 . 我们再解不定方程, 得到一解(-8,3). 于是定理4.1中的. 因此同余式的3个解为, , . （4）.解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式,得到.于是所求的解为 （5）. (参考上题)三、证明题1、 如果整数的个位数是5,则该数是5的倍数.证明 设是一正整数,并将写成10进位数的形式:=,. 因为100(mod5), 所以我们得到 所以整数的个位数是5,则该数是5的倍数. 2、证明当是奇数时，有.证明 因为,所以 . 于是,当是奇数时,我们可以令.从而有, 即. 第四次作业答案：一、计算：1、 判断同余式是否有解？(答：无解。方法参照题2)2、判断同余式是否有解？解 我们容易知道1847是素数,所以只需求的值.如果其值是1,则所给的同余式有解,否则无解. 因为,所以 .再,所以 , 所以, =1. 于是所给的同余式有解. 3、 11的平方剩余与平方非剩余.解 因为,所以平方剩余与平方非剩余各有5个. 又因为 , 所以,1，3，4，5，9是素数11的5个平方剩余.其它的8个数，2，6，7，8，10是素数11的平方非剩余. 4、 计算,其中563是素数., 即429是563的平方剩余. 5、计算（计算方法参照题4）二、证明题：1、 证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.证明 因为, 所以只需证明T.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,1,2代入分别得值1，7，1，19，7.对于模5, 的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余, 所以T 所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 2、 证明形如的整数不能写成两个平方数的和.证明 设是正数,并且, 如果, 则因为对于模4,只与0,1,2,-1等同余, 所以只能与0,1同余, 所以, 而这与的假设不符, 即定理的结论成立. 3、一