点线面之间的关系.doc

点线面的位置关系 一 选择题 共15小题 1 2013 眉山二模 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l m l m l m 其中正确命题的序号是 A B C D 2 2008 江西 设直线m与平面 相交但不垂直 则下列说法中正确的是 A 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直 B 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直 C 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行 D 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 3 2008 海南 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB m B AC m C AB D AC 4 2004 重庆 不同直线m n和不同平面 给出下列命题 其中假命题有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 5 在空间中有如下命题 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内一条直线n 直线m 则直线n 平面 若点P到三角形的三个顶点距离相等 则点P的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心 其中正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 6 2010 宝鸡模拟 设a b c是空间三条直线 是空间两个平面 则下列命题中 逆命题不成立的是 A 当c 时 若c 则 B 当b 时 若b 则 C 当b 且c是a在 内的射影时 若b c 则a b D 当b 且c 时 若c 则b c 7 给出下列命题 其中正确的两个命题是 直线上有两点到平面的距离相等 则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m 平面 直线n m 则n a b是异面直线 则存在唯一的平面 使它与a b都平行且与a b距离相等 A B C D 8 2005 辽宁 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出下列四个命题 若m m 则 若 则 若m n m n 则 若m n是异面直线 m m n n 则 其中真命题是 A 和 B 和 C 和 D 和 9 2010 宁德模拟 正方体ABCD A1B1C1D1中M N Q分别是棱D1C1 A1D1 BC的中点 P在对角线BD1上 且 给出下面四个命题 1 MN 面APC 2 C1Q 面APC 3 A P M三点共线 4 面MNQ 面APC 正确的序号为 A 1 2 B 1 4 C 2 3 D 3 4 10 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点M N分别在AB1 BC1上 且 则下列结论 AA1 MN A1C1 MN MN 平面A1B1C1D1 B1D1 MN中 正确命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 11 已知直线m 平面 则下列命题中正确的是 A 内所有直线都与直线m异面 B 内所有直线都与直线m平行 C 内有且只有一条直线与直线m平行 D 内有无数条直线与直线m垂直 12 2009 广东 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 13 在空间中 设m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 给定下列条件 且m 且m 且m m n且n 其中可以判定m 的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 14 已知两个平面垂直 下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 15 如图 已知 ABC是直角三角形 ACB 90 M为AB的中点 PM ABC所在的平面 那么PA PB PC的大小关系是 A PA PB PC B PB PA PC C PC PA PB D PA PB PC 二 填空题 共5小题 16 棱长都相等的四面体称为正四面体 在正四面体A BCD中 点M N分别是CD和AD的中点 给出下列命题 直线MN 平面ABC 直线CD 平面BMN 三棱锥B AMN的体积是三棱锥B ACM的体积的一半 则其中正确命题的序号为 17 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 线段B1D1上有两个动点E F 且EF 则下列结论中错误的是 AC BE EF 平面ABCD 三棱锥A BEF的体积为定值 异面直线AE BF所成的角为定值 18 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出 若m m 则 若 则 若m n m n 则 若m n是异面直线 m m n n 则 上面四个命题中 其中真命题有 19 已知集合A B C A 直线 B 平面 C A B 若a A b B c C 下列命题中 正确命题的序号为 注 把你认为正确的序号都填上 20 如图 正三棱柱ABC A1B1C1中 底面边长为 1 设侧棱长为1 求证 AB1 BC1 2 设AB1与BC1的夹角为 求侧棱的长 三 解答题 共9小题 21 2011 江苏 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB AD BAD 60 E F分别是AP AD的中点求证 1 直线EF 平面PCD 2 平面BEF 平面PAD 22 2011 福建 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点E在线段AD上 且CE AB I 求证 CE 平面PAD 若PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥P ABCD的体积 23 2010 重庆 如图 三棱锥P ABC中 PC 平面ABC PC AC 2 AB BC D是PB上一点 且CD 平面PAB 1 求证 AB 平面PCB 2 求二面角C PA B的大小的余弦值 24 2006 浙江 如图 在四棱锥P ABCD中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 求证 PB DM 求BD与平面ADMN所成的角 25 2006 湖南 如图 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为1和2 AB 4 证明PQ 平面ABCD 求异面直线AQ与PB所成的角 求点P到平面QAD的距离 26 如图 在正三棱柱ABC A1 B1 C1中 AB a E F分别是BB1 CC1上的点且BE a CF 2a 求证 面AEF 面ACF 求三棱锥A1 AEF的体积 27 2010 南通模拟 正方体ABCD A1B1C1D1中 点F为A1D的中点 1 求证 A1B 平面AFC 2 求证 平面A1B1CD 平面AFC 28 2010 南京三模 如图 直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 四边形ABCD是梯形 AD BC AC CD E是AA1上的一点 1 求证 CD 平面ACE 2 若平面CBE交DD1于点F 求证 EF AD 29 2010 茂名一模 如右图 在直角梯形ABCD中 B 90 DC AB BC CD AB 2 G为线段AB的中点 将 ADG沿GD折起 使平面ADG 平面BCDG 得到几何体A BCDG 1 若E F分别为线段AC AD的中点 求证 EF 平面ABG 2 求证 AG 平面BCDG 3 求VC ABD的值 2013年10月胡金朋的高中数学组卷111111 参考答案与试题解析 一 选择题 共15小题 1 2013 眉山二模 已知直线l 平面 直线m 平面 给出下列命题 l m l m l m l m 其中正确命题的序号是 A B C D 考点 平面与平面之间的位置关系 716536 专题 综合题 分析 由两平行平面中的一个和直线垂直 另一个也和平面垂直得直线l 平面 再利用面面垂直的判定可得 为真命题 当直线与平面都和同一平面垂直时 直线与平面可以平行 也可以在平面内 故 为假命题 由两平行线中的一条和平面垂直 另一条也和平面垂直得直线m 平面 再利用面面垂直的判定可得 为真命题 当直线与平面都和同一平面垂直时 直线与平面可以平行 也可以在平面内 如果直线m在平面 内 则有 和 相交于m 故 为假命题 解答 解 l 平面 且 可以得到直线l 平面 又由直线m 平面 所以有l m 即 为真命题 因为直线l 平面 且 可得直线l平行与平面 或在平面 内 又由直线m 平面 所以l与m 可以平行 相交 异面 故 为假命题 因为直线l 平面 且l m可得直线m 平面 又由直线m 平面 可得 即 为真命题 由直线l 平面 以及l m可得直线m平行与平面 或在平面 内 又由直线m 平面 得 与 可以平行也可以相交 即 为假命题 所以真命题为 故选 C 点评 本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查 重点考查课本上的公理 定理以及推论 所以一定要对课本知识掌握熟练 对公理 定理以及推论理解透彻 并会用 2 2008 江西 设直线m与平面 相交但不垂直 则下列说法中正确的是 A 在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直 B 过直线m有且只有一个平面与平面 垂直 C 与直线m垂直的直线不可能与平面 平行 D 与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 716536 专题 综合题 分析 结合实例 依据空间中直线与平面之间的位置关系 对A B C D一一判断正误 即可 解答 解 A在平面 内有且只有一条直线与直线m垂直 过交点与直线m垂直的直线有一条 在平面内与此直线平行的直线都与m垂直 B过直线m有且只有一个平面与平面 垂直 在直线m上取一点做平面m的垂线 两条直线确定一个平面与平面 垂直 正确 C与直线m垂直的直线不可能与平面 平行 显然不正确 D与直线m平行的平面不可能与平面 垂直 是不正确的 故选B 点评 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系 考查空间想象能力 逻辑思维能力 是基础题 3 2008 海南 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 A AB m B AC m C AB D AC 考点 空间中直线与平面之间的位置关系 716536 专题 综合题 压轴题 分析 利用图形可得AB l m A对 再由AC l m l AC m B对 又AB l AB C对 AC l 但AC不一定在平面 内 故它可以与平面 相交 平行 故不一定垂直 所以D不一定成立 解答 解 如图所示AB l m A对 AC l m l AC m B对 AB l AB C对 对于D 虽然AC l 但AC不一定在平面 内 故它可以与平面 相交 平行 故不一定垂直 故错 故选D 点评 高考考点 线面平行 线面垂直的有关知识及应用 易错点 对有关定理理解不到位而出错 全品备考提示 线面平行 线面垂直的判断及应用仍然是立体几何的一个重点 要重点掌握 4 2004 重庆 不同直线m n和不同平面 给出下列命题 其中假命题有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 考点 空间中直线与直线之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 716536 专题 证明题 综合题 分析 不同直线m n和不同平面 结合平行与垂直的位置关系 分析和举出反例判定 即可得到结果 解答 解 m与平面 没有公共点 所以是正确的 直线n可能在 内 所以不正确 可能两条直线相交 所以不正确 m与平面 可能平行 不正确 故选D 点评 本题考查空间直线与直线 直线与平面的位置关系 考查空间想象能力 逻辑思维能力 是基础题 5 在空间中有如下命题 互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线 若平面 平面 则平面 内任意一条直线m 平面 若平面 与平面 的交线为m 平面 内一条直线n 直线m 则直线n 平面 若点P到三角形的三个顶点距离相等 则点P的该三角形所在平面的射影是该三角形的外心 其中正确的命题个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 考点 平面与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 716536 专题 综合题 分析 对于 当互相平行的两条直线与同一平面内垂直时 这两条直线在此平面内的射影时两个点 故 错 对于 有两平面平行的性质可得其成立 故 为真命题 对于 当两个平面斜交时 也可以在其中一个平面内找到垂直与交线的直线 故 为假命题 对于 因为点P到三角形的三个顶点距离相等 由斜线段相等对应射影长相等可得 点P的该三角形所在平面的射影到三角形的三个顶点距离也相等 故射影是该三角形的外心 即 为真命题 解答 解 对于 当互相平行的两条直线与同一平面内垂直时 这两条直线在此平面内的射影时两个点 故 错 对于 有两平面平行的性质可得其成立 故 为真命题 对于 当两个平面斜交时 也可以在其中一个平面内找到垂直与交线的直线 故 为假命题 对于 因为点P到三角形的三个顶点距离相等 由斜线段相等对应射影长相等可得 点P的该三角形所在平面的射影到三角形的三个顶点距离也相等 故射影是该三角形的外心 即 为真命题 故真命题的个数有两个 故选 B 点评 本题是对空间中直线与平面之间的位置关系以及平面与平面位置关系的综合考查 考查的都是课本上的基本知识点 所以在作此类题目时 一定要注意对课本基础知识的理解和掌握 6 2010 宝鸡模拟 设a b c是空间三条直线 是空间两个平面 则下列命题中 逆命题不成立的是 A 当c 时 若c 则 B 当b 时 若b 则 C 当b 且c是a在 内的射影时 若b c 则a b D 当b 且c 时 若c 则b c 考点 平面与平面之间的位置关系 四种命题 空间中直线与直线之间的位置关系 716536 专题 常规题型 分析 分别写出其逆命题再判断 A 由面面平行的性质定理判断 B 也可能平行C 由三垂线定理判断 D 由线面平行的判定定理判断 解答 解 A 其逆命题是 当c 时 或 则c 由面面平行的性质定理知正确 B 其逆命题是 当b 若 则b 也可能平行 相交 不正确 C 其逆命题是当b 且c是a在 内的射影时 若a b 则b c 由三垂线定理知正确 D 其逆命题是当b 且c 时 若b c 则c 由线面平行的判定定理知正确 故选B 点评 本题主要考查线面平行的判定理 三垂线定理及其逆定理 面面平行的性质定理等 做这样的题目要多观察几何体效果会更好 7 给出下列命题 其中正确的两个命题是 直线上有两点到平面的距离相等 则此直线与平面平行 夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面 直线m 平面 直线n m 则n a b是异面直线 则存在唯一的平面 使它与a b都平行且与a b距离相等 A B C D 考点 异面直线的判定 直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定 716536 专题 证明题 综合题 分析 通过举反例可得 错误 利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理可确定 正确 错误 直线n可能在平面 内 正确 设AB是异面直线a b的公垂线段 E为AB的中点 过E作a a b b 则a b 确定的平面即为与a b都平行且与a b距离相等的平面 并且它是唯一确定的 解答 解 错误 如果这两点在该平面的异侧 则直线与平面相交 正确 如图 平面 A C D B 且E F分别为AB CD的中点 过C作CG AB交平面 于G 连接BG GD 设H是CG的中点 则EH BG HF GD EH 平面 HF 平面 平面EHF 平面 平面 EF EF 错误 直线n可能在平面 内 正确 如图 设AB是异面直线a b的公垂线段 E为AB的中点 过E作a a b b 则a b 确定的平面即为与a b都平行且与a b距离相等的平面 并且它是唯一确定的 点评 本题考查了线线 线面 面面平行关系的判定与性质 注意这三种平行关系的相互转化 是个中档题 8 2005 辽宁 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出下列四个命题 若m m 则 若 则 若m n m n 则 若m n是异面直线 m m n n 则 其中真命题是 A 和 B 和 C 和 D 和 考点 平面与平面平行的判定 716536 专题 探究型 分析 要求解本题 需要寻找特例 进行排除即可 解答 解 因为 是不重合的平面 m m 所以 若 是三个两两不重合的平面 可知 不一定平行 m n m n 可能相交 不一定平行 因为mn两直线是异面直线 可知不平行 又因为m m n n 可知 只能满足垂直关系 故选D 点评 本题考查学生的空间想象能力 是基础题 9 2010 宁德模拟 正方体ABCD A1B1C1D1中M N Q分别是棱D1C1 A1D1 BC的中点 P在对角线BD1上 且 给出下面四个命题 1 MN 面APC 2 C1Q 面APC 3 A P M三点共线 4 面MNQ 面APC 正确的序号为 A 1 2 B 1 4 C 2 3 D 3 4 考点 直线与平面平行的判定 空间几何体的直观图 平面与平面平行的判定 716536 专题 证明题 压轴题 分析 观察正方体不难发现 1 因为直线在平面内 4 平面与平面相交 是错误的 2 在平面内找到直线和它平行 3 利用相似可以说明是正确的 解答 解 1 MN AC 连接AM CN 易得AM CN交与点P 即MN 面PAC 所以MN 面APC是错误的 2 平面APC延展 可知M N在平面APC上 AN C1Q 所以C1Q 面APC 是正确的 3 由 以及 2 APB D1MP所以 A P M三点共线 是正确的 4 直线AP延长到M 则M在平面MNQ 又在平面APC 面MNQ 面APC 是错误的 故选C 点评 本题考查直线与平面平行 平面与平面平行的判定 三点共线问题 考查空间想象能力 是基础题 10 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点M N分别在AB1 BC1上 且 则下列结论 AA1 MN A1C1 MN MN 平面A1B1C1D1 B1D1 MN中 正确命题的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 考点 直线与平面平行的判定 空间中直线与直线之间的位置关系 716536 专题 综合题 分析 先把点M N放入与平面A1B1C1D1平行的平面GFEH中 利用线面垂直的性质判断 正确 利用平行公理判断 错误 利用面面平行的性质判断 正确 利用面面平行以及线线垂直的性质判断 错误 就可得到结论 解答 解 在正方体ABCD A1B1C1D1的四条棱A1A B1B C1C D1D上分别取点G F E H四点 使AG A1A BF B1B CE C1C DH D1D 连接GF FE EH HG 点M N分别在AB1 BC1上 且 M在线段GF上 N点在线段FE上 且四边形GFEH为正方形 平面GFEH 平面A1B1C1D1 AA1 平面A1B1C1D1 AA1 平面GFEH MN 平面GFEH AA1 MN 正确 A1C1 GE 而GE与MN不平行 A1C1与MN不平行 错误 平面GFEH 平面A1B1C1D1 MN 平面GFEH MN 平面A1B1C1D1 正确 B1D1 FH FH 平面GFEH MN 平面GFEH B1D1 平面A1B1C1D1 平面GFEH 平面A1B1C1D1 且MN与FH不平行 B1D1不可能垂直于MN 错误 正确命题只有 故选C 点评 本题主要考查立体几何中 线线 线面 面面平行与垂直性质的应用 考查了学生推论能力 空间想象力 11 已知直线m 平面 则下列命题中正确的是 A 内所有直线都与直线m异面 B 内所有直线都与直线m平行 C 内有且只有一条直线与直线m平行 D 内有无数条直线与直线m垂直 考点 直线与平面平行的性质 716536 专题 阅读型 分析 依据直线和平面平行的定义 性质 可举反例说明A B C是错误的 解答 解 A 如图 直线m 平面 存在n n l 从而n m A错 B 如图 直线m 平面 存在n n与l相交 从而m n异面 m n不平行 B错 C 如图 内凡是与l平行的直线n e 均与m平行 C错 D 如图 内凡是与l垂直的直线n e 均与m垂直 D对 故选D 点评 本题考查直线和平面平行的定义 性质 直线和直线位置关系的判定 属于基础题 12 2009 广东 给定下列四个命题 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 垂直于同一直线的两条直线相互平行 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 其中 为真命题的是 A 和 B 和 C 和 D 和 考点 平面与平面垂直的判定 平面与平面平行的判定 716536 专题 综合题 分析 从直线与平面平行与垂直 平面与平面平行与垂直的判定与性质 考虑选项中的情况 找出其它可能情形加以判断 推出正确结果 解答 解 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行 那么这两个平面相互平行 如果这两条直线平行 可能得到两个平面相交 所以不正确 若一个平面经过另一个平面的垂线 那么这两个平面相互垂直 这是判定定理 正确 垂直于同一直线的两条直线相互平行 可能是异面直线 不正确 若两个平面垂直 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直 正确 故选D 点评 本题考查平面与平面垂直的判定 平面与平面平行的判定 是基础题 13 在空间中 设m n为两条不同的直线 为两个不同的平面 给定下列条件 且m 且m 且m m n且n 其中可以判定m 的有 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 考点 直线与平面垂直的判定 716536 专题 综合题 分析 结合直线与平面垂直的判定方法 结合选项 利用排除法找出正确的命题即可 解答 解 m 或m 或m与 相交 错误 m 正确 m 或m 错误 m 或m 错误 故选A 点评 本题主要考查了直线与平面垂直的各种判定方法的运用 熟练掌握基本定理及性质 具备综合运用性质的能力是解决本题的关键 另外还要注意结合选项进行排除明显错误的选项 找出正确的答案的方法的应用 14 已知两个平面垂直 下列命题 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则垂线必垂直于另一个平面 其中正确的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 考点 平面与平面垂直的性质 716536 专题 阅读型 分析 为了对各个选项进行甄别 不必每个选项分别构造一个图形 只须考查正方体中互相垂直的两个平面 A1ABB1 ABCD即可 解答 解 考察正方体中互相垂直的两个平面 A1ABB1 ABCD 对于 一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线 如图中A1B与AB不垂直 对于 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 这一定是正确的 如图中 已知直线A1B 在平面ABCD中 所有与BC平行直线都与它垂直 对于 一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面 如图中 A1B 对于 过一个平面内任意一点作交线的垂线 则垂线不一定垂直于另一个平面 如图中A1D 它垂直于AB 但不垂直于平面ABCD 故选C 点评 本题主要考查了平面与平面垂直的性质 线面垂直的选择题可以在一个正方体模型中甄别 而不必每个选项分别构造一个图形 广东卷07文6 08文7理5 09文6理5等莫不如此 15 如图 已知 ABC是直角三角形 ACB 90 M为AB的中点 PM ABC所在的平面 那么PA PB PC的大小关系是 A PA PB PC B PB PA PC C PC PA PB D PA PB PC 考点 直线与平面垂直的性质 716536 专题 空间位置关系与距离 分析 在下底面内找出MA MB MC 再利用射影长相等斜线段相等就可选答案 解答 解 M是Rt ABC斜边AB的中点 MA MB MC 又 PM 平面ABC MA MB MC分别是PA PB PC在平面ABC上的射影 PA PB PC 故答案为 D 点评 本题考查从同一点出发的斜线段与对应射影长之间的关系 是对线面垂直性质的应用 是基础题 二 填空题 共5小题 16 棱长都相等的四面体称为正四面体 在正四面体A BCD中 点M N分别是CD和AD的中点 给出下列命题 直线MN 平面ABC 直线CD 平面BMN 三棱锥B AMN的体积是三棱锥B ACM的体积的一半 则其中正确命题的序号为 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 716536 专题 综合题 分析 由点M N分别是CD和AD的中点 结合三角形中位线定理及线面平等的判定定理我们可以判断 的对错 然后再由线面垂直的判定及性质可以判断 的真假 再由棱锥体积公式 分析两个三棱锥的高与底面积之间的关系 判断出 的正误 即可得到答案 解答 解 点M N分别是CD和AD的中点 MN AC 又由MN 平面ABC AC 平面ABC 直线MN 平面ABC正确 由于 ACD 60 AC与CD不垂直 则NM与CD也不垂直 故直线CD与平面BMN也不垂直 直线CD 平面BMN错误 三棱锥B AMN与三棱锥B ACM的高相等 AMN与 ACM高相等且底边之比为1 2 三棱锥B AMN的体积是三棱锥B ACM的体积的一半正确 故答案为 点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的性质及棱锥的体积 熟练掌握正四面体的几何特征 是解答本题的关键 17 如图所示 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 线段B1D1上有两个动点E F 且EF 则下列结论中错误的是 AC BE EF 平面ABCD 三棱锥A BEF的体积为定值 异面直线AE BF所成的角为定值 考点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 异面直线及其所成的角 716536 专题 作图题 证明题 综合题 分析 通过直线AC垂直平面平面BB1D1D 判断 是正确的 通过直线EF平行直线AB 判断EF 平面ABCD 是正确的 计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值 说明 是正确的 只需找出两个特殊位置 即可判断 是不正确的 综合可得答案 解答 解 AC 平面BB1D1D 又BE 平面BB1D1D AC BE 故 正确 B1D1 平面ABCD 又E F在直线D1B1上运动 EF 平面ABCD 故 正确 中由于点B到直线B1D1的距离不变 故 BEF的面积为定值 又点A到平面BEF的距离为 故VA BEF为定值 正确 当点E在D1处 F为D1B1的中点时 异面直线AE BF所成的角是 OEB 当E在上底面的中心时 F在C1的位置 异面直线AE BF所成的角是 OE1B 显然两个角不相等 不正确 故答案为 点评 本题考查直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 异面直线及其所成的角 考查空间想象能力 逻辑思维能力 是中档题 18 已知m n是两条不重合的直线 是三个两两不重合的平面 给出 若m m 则 若 则 若m n m n 则 若m n是异面直线 m m n n 则 上面四个命题中 其中真命题有 和 考点 平面与平面平行的判定 716536 专题 综合题 分析 利用直线与平面垂直的判定 平面与平面平行的判定 对选项逐一判断即可 解答 解 若m m 则 垂直同一条直线的两个平面平行 正确 若 则 可能平面 和 相交 不正确 若m n m n 则 可能平面 和 相交 不正确 若m n是异面直线 m m n n 则 满足两个平面平行的判断 正确 故答案为 点评 本题考查平面与平面平行的判定 考查学生灵活运用知识的能力 是基础题 19 已知集合A B C A 直线 B 平面 C A B 若a A b B c C 下列命题中 正确命题的序号为 注 把你认为正确的序号都填上 考点 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 716536 专题 综合题 分析 过于 通过直线与直线的位置关系 举出反例即可判断正误 对于 通过直线与平面所成的角的定义判断即可 对于 利用直线与直线平行的关系求解即可 对于 通过直线与平面所成的角的定义判断即可 解答 解 c如果是平面可以是异面直线 a可以在平面内c 所以 不正确 当c为直线或平面 由直线与平面所成的角的定义可知 是正确的 a c是直线时由平行线公理 可知 正确 当c是平面时 可能有a c 不正确 a c是直线时 由直线与平面所成的角的定义可知 是正确的 c为平面时 不正确 故答案为 点评 本题是基础题 考查直线与直线的位置关系 考查直线的平行 垂直关系的应用 考查逻辑推理能力 20 如图 正三棱柱ABC A1B1C1中 底面边长为 1 设侧棱长为1 求证 AB1 BC1 2 设AB1与BC1的夹角为 求侧棱的长 考点 直线与平面垂直的性质 点 线 面间的距离计算 716536 专题 空间位置关系与距离 分析 1 取BC中点D 连接AD B1D 得面ABC 面BCC1B1 再利用直线与平面垂直的判定定理得出AD 面BCC1B1于是Rt CBC1与Rt BB1D相似 最后得AB1 BC1 2 取BC1的中点D AC的中点E 连DE 则DE AB1 EDB即为A B1与B C1成角 利用等边三角形EDB中 BD的长 从而得出侧棱的长 解答 解 1 取BC中点D 连接AD B1D 由正三棱锥ABC A1B1C1 得面ABC 面BCC1B1 又D为三角形ABC的边BC的中点 故 AD BC 于是AD 面BCC1B1 在矩形BCC1B1中 BC BB1 1 于是Rt CBC1与Rt BB1D相似 CBC1 BB1D BC1 DB1 得AB1 BC1 2 取BC1的中点D AC的中点E 连DE 则DE AB1 EDB即为A B1与B C1成600角 EDB 60 在等边三角形EDB中 BD BE BC1 2BD BB1 2 侧棱长为2 14分 点评 本小题主要考查棱柱的结构特征 直线与平面的位置关系 异面直线所成的角等基础知识 考查运算求解能力 考查空间想象力 化归与转化思想 属于基础题 三 解答题 共9小题 21 2011 江苏 如图 在四棱锥P ABCD中 平面PAD 平面ABCD AB AD BAD 60 E F分别是AP AD的中点求证 1 直线EF 平面PCD 2 平面BEF 平面PAD 考点 平面与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 716536 专题 证明题 分析 1 要证直线EF 平面PCD 只需证明EF PD EF不在平面PCD中 PD 平面PCD即可 2 连接BD 证明BF AD 说明平面PAD 平面ABCD AD 推出BF 平面PAD 然后证明平面BEF 平面PAD 解答 证明 1 在 PAD中 因为E F分别为AP AD的中点 所以EF PD 又因为EF不在平面PCD中 PD 平面PCD 所以直线EF 平面PCD 2 连接BD 因为AB AD BAD 60 所以 ABD为正三角形 因为F是AD的中点 所以BF AD 因为平面PAD 平面ABCD BF 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以BF 平面PAD 又因为BF 平面EBF 所以平面BEF 平面PAD 点评 本题是中档题 考查直线与平面平行 平面与平面的垂直的证明方法 考查空间想象能力 逻辑推理能力 常考题型 22 2011 福建 如图 四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD 点E在线段AD上 且CE AB I 求证 CE 平面PAD 若PA AB 1 AD 3 CD CDA 45 求四棱锥P ABCD的体积 考点 直线与平面垂直的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 716536 专题 综合题 分析 I 由已知容易证PA CE CE AD 由直线与平面垂直的判定定理可得 II 由 I 可知CE AD 从而有四边形ABCE为矩形 且可得P到平面ABCD的距离PA 1 代入锥体体积公式可求 解答 解 I 证明 因为PA 平面ABCD CE 平面ABCD 所以PA CE 因为AB AD CE AB 所以CE AD 又PA AD A 所以CE 平面PAD II 由 I 可知CE AD 在Rt ECD中 DE CDcos45 1 CE CDsin45 1 又因为AB CE 1 AB CE 所以四边形ABCE为矩形 所以 又PA平面ABCD PA 1 所以 点评 本题主要考查直线与直线 直线与平面的位置关系 几何体的体积等基础知识 考查空间想象能力 推理论证能力 运算求解的能力 考查数形结合思想 化归与转化的思想 23 2010 重庆 如图 三棱锥P ABC中 PC 平面ABC PC AC 2 AB BC D是PB上一点 且CD 平面PAB 1 求证 AB 平面PCB 2 求二面角C PA B的大小的余弦值 考点 直线与平面垂直的判定 与二面角有关的立体几何综合题 716536 专题 计算题 证明题 综合题 压轴题 分析 1 要证AB 平面PCB 只需证明直线AB垂直平面PCB内的两条相交直线PC CD即可 2 取AP的中点O 连接CO DO 说明 COD为二面角C PA B的平面角 然后解三角形求二面角C PA B的大小的余弦值 解答 1 证明 PC 平面ABC AB 平面ABC PC AB CD 平面PAB AB 平面PAB CD AB 又PC CD C AB 平面PCB 2 解 取AP的中点O 连接CO DO PC AC 2 C0 PA CO CD 平面PAB 由三垂线定理的逆定理 得DO PA COD为二面角C PA B的平面角 由 1 AB 平面PCB AB BC 又 AB BC AC 2 求得BC PB CD cos COD 点评 本题考查直线与平面垂直的判定 二面角的求法 考查空间想象能力 逻辑思维能力 是中档题 24 2006 浙江 如图 在四棱锥P ABCD中 底面为直角梯形 AD BC BAD 90 PA 底面ABCD 且PA AD AB 2BC M N分别为PC PB的中点 求证 PB DM 求BD与平面ADMN所成的角 考点 直线与平面垂直的性质 直线与平面所成的角 716536 专题 计算题 证明题 综合题 数形结合 转化思想 分析 法一 因为N是PB的中点 PA AB 要证PB DM 只需证明PB垂直DM所在平面ADMN 即可 连接DN 说明 BDN是BD与平面ADMN所成的角 在Rt BDN中 解BD与平面ADMN所成的角 法二 以A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz 设BC 1 求出 就证明PB DM 说明的余角即是BD与平面ADMN所成的角 求出 即可得到BD与平面ADMN所成的角 解答 解 方法一 因为N是PB的中点 PA AB 所以AN PB 因为AD 面PAB 所以AD PB 从而PB 平面ADMN 因为DM 平面ADMN 所以PB DM 连接DN 因为PB 平面ADMN 所以 BDN是BD与平面ADMN所成的角 在Rt BDN中 故BD与平面ADMN所成的角是 方法二 如图 以A为坐标原点建立空间直角坐标系A xyz 设BC 1 则A 0 0 0 P 0 0 2 B 2 0 0 M 1 12 1 D 0 2 0 因为 0 所以PB DM 因为 0 所以PB AD 又PB DM 因此的余角即是BD与平面ADMN 所成的角 因为 所以 因此BD与平面ADMN所成的角为 点评 本题考查直线与平面垂直的性质 直线与平面所成的角 考查逻辑思维能力 计算能力 是中档题 25 2006 湖南 如图 已知两个正四棱锥P ABCD与Q ABCD的高分别为1和2 AB 4 证明PQ 平面ABCD 求异面直线AQ与PB所成的角 求点P到平面QAD的距离 考点 直线与平面垂直的判定 异面直线及其所成的角 点 线 面间的距离计算 716536 专题 计算题 证明题 综合题 分析 法一 连接AC BD 设AC BD O 证明PQ 平面ABCD 只需说明P O Q三点在一条直线上 QO 平面ABCD即可 直线CA DB QP为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 通过 求异面直线AQ与PB所成的角 设是平面QAD的一个法向量 利用 求点P到平面QAD的距离 法二 取AD的中点M 连接PM QM 要证PQ垂直平面ABCD 只需证明PQ垂直平面ABCD内的两条相交直线AD AB即可 连接AC BD设AC BD O BPN 或其补角 是异面直线AQ与PB所成的角 利用余弦定理解三角形BPN 求出异面直线AQ与PB所成的角 由 知 AD 平面PQM 所以平面PQM 平面QAD 过P作PH QM于H 则PH 平面QAD 所以PH的长为点P到平面QAD的距离 解三角形PHQ即可 解答 解法一 连接AC BD 设AC BD O 由P ABCD与Q ABCD 都是正四棱锥 所以PO 平面ABCD QO 平面ABCD 从而P O Q三点在一条直线上 所以PQ 平面ABCD II 由题设知 ABCD是正方形 所以AC BD 由 I PQ 平面ABCD 故可以分别以直线CA DB QP为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 由题设条件 相关各点的坐标分别是P 0 0 1 Q 0 0 2 所以 于是 从而异面直线AQ与PB所成的角是 由 点D的坐标是 0 0 设是平面QAD的一个法向量 由得 取x 1 得 所以点P到平面QAD的距离 解法二 取AD的中点M 连接PM QM 因为P ABCD与Q ABCD都是正四棱锥 所以AD PM AD QM 从而AD 平面PQM 又PQ 平面PQM 所以PQ AD 同理PQ AB 所以PQ 平面ABCD 连接AC BD设AC BD O 由PQ 平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在 PQ上 从而P A Q C四点共面 取OC的中点N 连接PN 因为 所以 从而AQ PN BPN 或其补角 是异面直线AQ 与PB所成的角 连接BN 因为 所以 从而异面直线AQ与PB所成的角是 由 知 AD 平面PQM 所以平面PQM 平面QAD 过P作PH QM 于H 则PH 平面QAD 所以PH的长为点P到平面QAD的距离 连接OM 则 所以 MQP 45 又PQ PO QO 3 于是 即点P到平面QAD的距离是 点评 本题考查直线与平面垂直的判定 异面直线及其所成的角 点 线 面间的距离计算 考查空间想象能力 逻辑思维能力 计算能力 是中档题 26 如图 在正三棱柱ABC A1 B1 C1中 AB a E F分别是BB1 CC1上的点且BE a CF 2a 求证 面AEF 面ACF 求三棱锥A1 AEF的体积 考点 平面与平面垂直的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 716536 专题 计算题 证明题 分析 欲证面ADF 面ACF 根据面面垂直的判定定理可知在平面ADF内一直线与平面ACF垂直 根据题意易证CA AD 而FC 面ACD 则CA是FA在面ACD上射影 FA AC A 满足线面垂直的判定定理 则DA 面ACF 而DA 面ADF 满足面面垂直的判定定理 先根据将所求的体积进行转化 在面A1B1C1内作B1G A1C1 垂足为G 求出B1G 然后利用体积公式进行求解即可 解答 解 BE CF 1 2 DC 2BD DB BC ABD是等腰三角形 且 ABD 120 BAD 30 CAD 90 FC 面ACD CA是FA在面ACD上射影 且CA AD FA AC A DA 面ACF DA 面ADF 面ADF 面ACF 解 在面A1B1C1内作B1G A1C1 垂足为G B1G 面A1B1C1 面A1C B1G 面A1C E BB1 而BB1 面A1C 三