数列通项公式的求法.ppt

1 复习提问 数列的第n项与项数n的函数关系如果可用一个公式来表示 则称这个公式为数列的通项公式 注意 不是任何数列都有通项公式 若有 通项公式也不一定是唯一的 问题 是不是任何数列都有通项公式 若有 是不是唯一的 数列通项公式的求法 2 2 等差数列的通项公式与前n项和公式 问题 知道数列的通项公式 函数的解析式 就可以求出数列的任何一项 哪如何求数列的通项公式 你会求什么数列的通项公式呢 等差数列与等比数列 3 4 数列的通项公式是数列的核心内容之一 它如同函数中的解析式一样 有了解析式便可研究其性质等 而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前n项和等 因此 求数列的通项公式往往是解题的突破口 关键点 因此近年来的高考题中经常出现给出数列的解析式 包括递推关系式和非递推关系式 求通项公式的问题 对于这类问题考生感到困难较大 为了突破这一难点 现将求数列通项的思想方法系统归纳如下 数列通项公式求法 5 数列通项公式求法 常用数学思想 1 化归思想 2 换元思想 3 方程思想 6 思路分析 此类问题虽无固定模式 但也有其规律可循 主要靠观察 观察规律 比较 比较已知的数列 归纳 转化 转化为等差或等比数列 等方法 每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系 这对考生的归纳推理能力有较高的要求 已知数列的前几项 求通项公式 求下列数列的一个通项公式 7 类型一 等差数列与等比数列的通项 公式 8 题型二 等差数列与等比数列的通项 公式 9 类型三 类等差数列 方法归纳 累加 10 其他解法探究 11 变式训练 12 13 14 练习 15 16 17 由 整理得 18 变式训练 19 类型六 等定系数法求递推数列的通项 20 21 类型六 等定系数法求递推数列的通项 则可考虑待定系数法设 构造新的辅助数列 是首项为 公比为q的等比数列 求出 再进一步求通项 22 归纳提高 满足这样的推递关系的数列的通项求解问题 陌生的 难的 不会的 可用待定系数法转化为特殊数列 等差数列或等比数列 的通项问题 熟悉的 易 我们会的 借助等差 比 数列的通项公式求辅助数列的通项 从而解决问题 数学思想 转化 化归思想 23 类型六 等定系数法求递推数列的通项 则可考虑待定系数法设 构造新的辅助数列 是首项为 公比为q的等比数列 求出 再进一步求通项 归纳提高 满足这样的推递关系的数列的通项求解问题 陌生的 难的 不会的 可用待定系数法转化为特殊数列 等差数列或等比数列 的通项问题 熟悉的 易 我们会的 借助等差 比 数列的通项公式求辅助数列的通项 从而解决问题 数学思想 转化 化归思想 24 变式探究一 25 其他解法探究 上面各式相加可得 几个式子 26 变式探究一 27 变式 28 探究归纳 总结提升 29 变式探究 探究归纳 修改 30 变式探究 探究归纳 31 方法二 累加 由 得 其他解法探究 32 变式训练 33 变式训练 错位相减求和法 34 变式探究 探究归纳 该类型可转化为特殊数列 35 变式探究 若已知数列相邻三项的递推关系式 又如何求其通项公式呢 36 三 若数列相邻三项的关系满足 则可得 转化为相邻两项的类型再分析求解 问题 知道连续三项满足这样的递推关系的数列的通项 在什么条件下 你才会求其通项公式呢 探究归纳 37 两种情况一起考虑 即 累加 方程思想 注 若 解法探究 38 分别得到 由 得 变式探究 39 练习 解析 1 由求根公式 不妨设 2 3 40 类型七 特征根法求数列通 条件 若 的相邻两项关系式可化为 可用这种方法 其中方程 该数列的特征根 的根称为 一元二次方程有两根 一根 没有实数根三种情况 下面分三情况探究 41 一 若有两特根 与 可令 构造等比数列 则可 进而求出 等比数列通项公式求出 特征根为0与1 略解 可得该数列特征根为0与1 一 有两特征根 42 练习 改编 43 练习 改编 44 构造辅助数列 分析 二 有一根 时 可令 易得是等差数列 求 进而求出 唯一特征根1 解 依题意可得该数列有惟一特征根为1 该题也可以先求出前几项 再猜想归纳出其通项 但要特别注意要用数学归纳法证明 45 课堂练习 46 三 没有特征根 则可由递推关系式得出若干项可判断 是周期数列 47 其他方法 有构造常数数列 取对数 注意真数大于零 取倒数 归纳法 注意要用数学归纳法证明 左边能否因式分式 累乘法 48 变式探究 49 思想方法 配凑法构造化归成特殊数列 借助特殊数列的通项公式的求法 从而解决问题 50 51 52 变式探究 53 思想方法 观察分析结构特点变形转化为特殊数列 方程思想转化求一元二次方程的根 54 探究方法归纳 倒数法求通项 变式探究 55 探究方法归纳 倒数法求通项 56 特征根法 57 重点要掌握递推数列通项的求法 总的思路是找出并分析相邻两项的递推关系式 然后通过配凑法 待定