2014年山东省高考理科数学试题+答案(全).doc

绝密启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分。共4页，满分150分。考试用时120分钟考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。注意事项：1 答题前，考试务必用05毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区 和科类在答题卡和试卷规定的位置上。2 第卷每小题选出答案后，用2(B)铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效。3 第卷必须用05毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的 答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤参考公式: 如果事件(A)，(B)互斥，那么P(A)+(B)=P(A)+P(B)；如果事件(A)，(B)独立，那么P(A)(B)=P(A)*P(B)第卷 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则 (A) (B)(C) (D)答案：D解析：由已知得，即，所以，选D考点：复数的四则运算，复数的概念。（2） 设集合,则 (A) (B) (C) (D)答案：C解析：由已知，所以，选C考点：绝对值不等式的解法，指数函数的性质，集合的运算。（3）函数的定义域为(A) (B)(C) (D)答案：C解析：由已知，或，解得或，故 选C考点：函数的定义域，对数函数的性质。（4） 用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(A)方程没有实根 (B)方程至多有一个实根(C)方程至多有两个实根 (D)方程恰好有两个实根答案：A解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程至少有一个实 根”的反面是“方程没有实根”，故选A。考点：反证法（5）已知实数满足，则下列关系式恒成立的是 (A) (B) (C) (D)答案：D解析：由知，所以，选D考点：指数函数的性质，不等式的性质。（6）直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 (A) (B) (C)2 (D)4答案：D解析：由已知，故选D考点：定积分的应用（7） 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验。所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组， 第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布 直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中 没有疗效的有6人，则第三组中没有疗效的人数为 (A)6 (B)8 (C)12 (D)18答案：C解析：由图知，样本总数为。设第三组中有疗效的人数为，则 ，故选C考点：频率分布直方图（8） 已知函数，。若方程有两个不相等的实 根，则实数的取值范围是 (A) (B) (C) (D)答案：B解析：由已知，函数的图象 有两个公共点，画图可知当直线介于 之间，符合题意，故选B考点：函数与方程，函数的图象.（9） 已知满足约束条件当目标函数在该 约束条件下取到最小值时，的最小值为 (A)5 (B)4 (C) (D)2答案：B解析：画出可行域，由于，所以经过直线 与直线的交点时，取得最小值， ，故选B考点：简单线性规划的应用，二次函数的图象性质。（10） 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为， 与的离心率之积为，则的渐近线方程为 (A) (B)(C)(D)答案：A解析：由已知得，所以，双曲线的渐近线方程为 ，即，选A考点：椭圆、双曲线的几何性质。第卷 （共100分）二填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分(11)执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输入的的值为 答案：3解析：框图中的条件即，运行程序：， 符合条件，；符合条件 ；符合条件 ；不符合条件， 输出，答案为3.考点：算法与程序框图。 (12)在中，已知，当时，的面积为 答案：解析：由得， 所以，考点：平面向量的数量积、向量的模，三角形的面积。(13) 三棱锥中，,分别为,的中点，记三 棱锥的体积为,的体积为，则 .答案：解析：由已知.设点到平面距离为，则点到平面距离为 ，所以考点：几何体的体积。(14) 若的展开式中项的系数为20，则的最小值为 。答案：解析：展开式的通项为，令， 所以由得，的最小值为考点：二项式定理，基本不等式的应用。(15) 已知函数。对函数，定义关于的“对 称函数”为函数，满足：对任意，两个点， 关于点对称。若是关于的“对称函数”。且恒成立，则实数的取值范围是 。答案：解析：由已知得，所以， 恒成立即，恒成立。在同一坐标系 内，画出直线及半圆，故答案为考点：新定义问题，中心对称，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式。三、解答题：本大题共6小题，共75分。（16）（本小题满分12分） 已知向量，函数，且的图 象过点和点。 （）求，的值； （）将的图象向左平移个单位后得到函数的图 象，若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求 的单调递增区间。解：（）由题意知， 因为的图象过点和， 所以， 即， 解得， （）由（）知 由题意知 设的图像上符合题意的最高点为， 由题意知，所以， 即 到点的距离为1的最高点为。 将其代入得 因为 ，所以 因此 由 ，得 ， 所以函数的单调递增区间为，（17）（本小题满分12分） 如图，在四棱柱中，底面 是等腰梯形，,是 线段的中点。 （）求证：； （）若垂直于平面且,求平面 和平面所成的角（锐角）的余弦值。解：（）证明：因为四边形是等腰梯形， 且 , 所以 ,又由是的中点， 因此 且, 连接 在四棱柱中 因为 , 可得 ， 所以 四边形为平行四边形， 因此 ， 又平面,平面 所以 （）解法一： 连接, 由（）知且, 所以 四边形为平行四边形， 可得 , 由题意, 所以 为正三角形 因此 , 因此 . 以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系， 所以 ， 因此 ， 所以,. 设平面的一个法向量为。 由 得 可得 平面的一个法向量为 又 为平面的一个法向量。 因此 。 所以 平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为。解法二： 由（）知平面, 过向引垂线交于，连接, 由,可得, 因此为二面角的平面角。 在中，, 可得 , 所以, 在 中，, 所以 平面和平面所成的角(锐角)的余弦值为。（18）（本小题满分12分） 乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图， 甲上有两个不相交的区域,，乙被划分为两 个不相交的区域,。某次测试要求队员接到 落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次。落点在上记3分，在上记 1分，其他情况记0分。对落点在上的来球，队员小明回球的落点在上的概率 为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为 ，在上的概率为。假设共有两次来球且落在,上各一次，小明的两次回 球互不影响。求： （I）小明两次回球的落点中恰好有一次的落点在乙上的概率； （II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望。解：（I）记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”， 则 ，; 记为事件“小明对落点在上的来球回球的得分为分”， 则 ，. 记为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”， 由题意，, 由事件的独立性和互斥性， ， 所以 小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为。 （II）由题意，随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6， 由事件的独立性和互斥性，得 , , , , , 可得 随机变量的分布列为： 所以 数学期望.（19）（本小题满分12分） 已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列。 （I）求数列的通项公式； （II）令，求数列的前项和.解：（I）因为 ， ， 由题意得 ， 解得 ， 所以 。 （II） ， 当为偶数时， 。 当为奇数时， 。 所以 （或）（20）（本小题满分13分） 设函数（为常数，是自然对数的底数） （）当时，求函数的单调区间； （）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围。解：（）函数的定义域为， 由可得 ， 所以 当时，函数单调递减， 时，函数单调递增。 （）由（）知，时，函数在内单调递减。 故 在内不存在极值点； 当时，设函数， 因为 ， 当时， 当时，单调递增。 故 在内不存在两个极值点； 当时， 得 时，单调递减， 时，单调递增， 所以 函数的最小值为， 函数在内存在两个极值点 当且仅当 解得 综上所述， 函数在内存在两个极值点时，的取值范围为（21）（本小题满分14分） 已知抛物线：的焦点为,为上异于原点的任意一点，过 点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有,当点 的横坐标为3时，为正三角形。 （）求的方程； （）若直线，且和只有一个公共点， （i）证明直线过定点，并求出定点坐标； （ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请 说明理由。解：（）由题意知， 设，则的中点为， 因为 , 由抛物线的定义知， 解得 或 （舍去） 由 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 （）（i）由（）知, 设， 因为 ,则 ， 由得 ，故 ， 故 直线的斜率， 因为 直线和直线平行， 设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由题意 ，得， 设，则， 当 时， 可得