第六章-数字控制器的直接设计PPT课件

1 第六章数字控制器的直接设计 2 内容与要求 重点掌握 数字控制器的离散化设计方法 设计步骤 算法实现 一般掌握 最少拍系统的特性 设计方法及其局限性 了解内容 扰动作用下计算机控制系统的设计 复合控制系统设计等 3 计算机控制系统设计就是根据系统的稳态和动态性能指标要求 在已知被控对象的前提下 确定控制器的数学模型 控制器设计分为模拟化数字设计和直接数字化设计两种方法 前面所学数字PID控制器的设计就属于模拟化数字设计 模拟化数字设计方法的主要缺点是采样周期的值不能取得过大 否则 会使系统性能变差 而直接数字化设计方法则克服了这个缺点 本章主要学习控制器的直接数字化设计方法 6 0控制器设计概述 4 离散化设计法是首先将系统中被控对象加上保持器一起构成的广义对象离散化 得到相应的以Z传递函数 差分方程或离散系统状态方程表示的离散系统模型 然后利用离散控制系统理论 直接设计数字控制器 由于离散化设计法直接在离散系统的范畴内进行 避免了由模拟控制系统向数字控制器转化的过程 也绕过了采样周期对系统动态性能产生严重影响的问题 是目前采用较为广泛的计算机控制系统设计方法 5 图6 0是数字控制系统的原理框图 系统的闭环脉冲传递函数 误差脉冲传递函数和控制器的传递函数如下 6 6 1最少拍计算机控制系统的设计 最少拍设计 是指系统在典型输入信号 如阶跃信号 速度信号 加速度信号等 作用下 经过最少拍 有限拍 使系统输出的稳态误差为零 图6 1所示是最少拍控制系统结构图 系统性能指标是调整时间最短 7 6 1 1G z 是稳定的且不包括纯滞后环节有波纹最少拍系统设计 有波纹最少拍控制系统是在最少的几个采样周期内达到在采样时刻输出无误差的系统 在系统设计需要考虑的性能指标和约束条件包括 1 稳定性 闭环系统必须是稳定的 2 准确性 系统对典型输入是无静差的 3 快速性 在各种使系统在有限拍内到达稳态设计中 系统稳态跟踪输入 4 物理可实现性 D z 必须是物理可实现的 8 首先来设计G z 是稳定的且不含纯滞后环节的有波纹最少拍系统设计 上述条件等价于如下三个条件 1 G z 在单位圆上和圆外无极点 1 j0 点除外 2 G z 在单位圆上和圆外无零点 3 G0 s 中不含纯滞后 q是T的整数倍 9 1 闭环Z传递函数为了选择适当的数字控制器D z 可以先将性能指标要求表达成闭环Z传递函数 z 或者闭环误差Z传递函数 e z 或者开环Z传递函数D z G z 然后再根据G z 反求出D z 这样 求得的D z 只要满足物理可实现的条件 那么D z 就是所要求的数字控制器 闭环Z传递函数为 10 闭环误差Z传递函数为其中 G z 是已知的 D z 是待求的 而 z e z 是由性能指标确定的 为了确定 z 或 e z 讨论在单位阶跃 单位速度 单位加速度三种典型输入信号作用下无稳态误差最少拍系统的 z 或 e z 应具有的形式 根据终值定理得 11 对于以上三种典型输入信号R z 分别为单位阶跃 单位速度 单位加速度 可统一表达为 式A z 中为不含因子的z 1的多项式 12 对于单位阶跃 m 1 单位速度 m 2 单位加速度 m 3 则有若要求稳态误差为零的条件是 e z 应具有如下形式则其中F z 是待定的不含因子 1 z 1 的关于z 1的有理分式或的有限项多项式 m是R z 的分母 1 z 1 的阶数 13 为使稳态误差最快衰减到零 即为最少拍系统 就应使 e z 最简单 即阶数n最小 即完全可以想象若取F z 1 则 e z 最简单 则得到无稳态误差最少拍系统的希望闭环误差Z传递函数就应为希望闭环Z传递函数应为 14 对于不同输入 e z z 形式如下 单位阶跃 单位速度 单位加速度 由上式可知 使误差衰减到零或输出完全跟踪输入所需的调整时间 即为最少拍数对应于m 1 2 3分别为1拍 2拍 3拍 2 D z 的确定根据给定的G z 可由满足性能指标要求的希望开环Z传递函数直接求解出对应于m 1 2 3时的数字控制器D z 15 由于则 16 3 有波纹最少拍系统分析 1 单位阶跃输入时也就是说 系统经过1拍 输出就可以无差地跟踪上输入的变化 即此时系统的调节时间ts T T为系统采样时间 误差及输出系列如图6 2所示 17 0T2T 1 e kT kT 0T2T3T4T5T 1 y kT kT 图6 2单位阶跃输入时的误差及输出序列 18 2 单位速度输入时也就是说 系统经过2拍 输出就可以无差地跟踪上输入的变化 即此时系统的调节时间ts 2T T为系统采样时间 误差及输出系列如图6 3所示 19 20 3 单位加速度输入时也就是说 系统经过3拍 输出就可以无差地跟踪上输入的变化 即此时系统的调节时间ts 3T T为系统采样时间 误差及输出系列如图6 4所示 21 0T2T3T e kT kT 0T2T3T4T 8T26T24T22T2 y kT kT 图6 4单位加速度输入时的误差及输出序列 22 由上面讨论可以看出 最少拍控制器设计时 e z 或 z 的选取与典型输入信号的形式密切相关 即对于不同的输入R z 要求使用不同的闭环Z传递函数 所以这样设计出的控制器对各种典型输入信号的适应能力较差 若运行时的输入信号与设计时的输入信号形式不一致 将得不到期望的最佳性能 例6 1对于图6 1所示的系统 设T 1s 输入为单位速度函数 要求系统为无稳态误差和过渡过程时间为最少拍 试确定数字控制器D z 解 23 为满足等速度输入时无稳态误差最少拍要求 则应选则得到验证所求D z 能否满足性能指标要求 24 输出和误差变化的动态过程如图6 3所示 从图中可以看出 系统在单位等速度信号输入作用下 系统经过了两个采样周期以后 系统在采样点上的过渡过程结束 调整时间为2拍 且在采样点上 系统的输出完全跟踪输入 稳态误差为零 因此 所求得数字控制D z 完全满足设计指标要求 上例是针对等速度信号输入下设计的无稳态误差最少拍系统的数字控制器D z 那么所设计的系统在单位阶跃或在单位加速度输入作用时 系统的输出情形如何 25 对于单位阶跃信号输入 则由此可知 也是经过2拍后过渡过程结束 但在第一个采样时刻时 有100 的超调量 其输出变化的动态过程如图6 6 a 所示 26 对于单位加速度信号输入 则由此可知 过渡过程仍为2拍 但有恒定的稳态误差 其输出变化的动态过程如图6 6 b 所示 27 28 6 1 2任意广义对象的最少拍控制器设计 上面所设计的最少拍控制系统是在满足三个假设 1 G z 在单位圆上和圆外无极点 1 j0 点除外 2 G z 在单位圆上和圆外无零点 3 G0 s 中不含纯滞后 q是T的整数倍 条件下进行的 29 当三个假设条件不满足时 如何进行设计 问题一 如图6 1所示的系统得到系统闭环传递函数如果G z 中含有Z平面单位圆外或圆上的极点 在系统的闭环传递函数中 D z 一般总是和G z 成对出现 那么能否用当D z 的相关零点去抵消G z 中所含Z平面单位圆外或圆上的极点呢 30 问题二 又得到当G z 中含有Z平面单位圆外或圆上的零点时 该零点将成为控制变量U z 的不稳定极点 从而使控制变量U z 输出不稳定 造成整个闭环系统不稳定 那么又如何消除G z 中Z平面上单位圆外或圆上的零点对控制变量的影响呢 31 问题三 D z 的一般表达式为 要求n m 若n m 则分子会出现z的正幂项 另外 要求a0 0 否则相当于分母降低了一阶 也会使分子出现z的正幂项 如果被控对象含有纯滞后z p 若按式求取的D z 将会含zp的因子 故物理上不能实现 那么又该如何办呢 32 为保证闭环系统稳定 当G z 中含有Z平面单位圆外或圆上的零 极点时 用D z 的零点或极点抵消G z 的极点或零点是不允许的 这是因为 若要是使G z 在单位圆上和圆外的零点抵消掉 D z 分母中必然含有相应的不稳定极点 从而使D z 不稳定 另外 如果D z 抵消了G z 的不稳定极点 则D z 必然包含相应的单位圆上和圆外的零点 这样 在理论上可以得到一个稳定的闭环系统 但这种稳定是建立在零极点准确抵消的基础上 在实际控制系统中 由于存在对系统参数辨识的误差及参数受外界环境影响及随时间的变化 这种零极点抵消是不可能准确实现的 从而系统不能真正稳定 33 因此 要使系统补偿成稳定系统 就必须采取其它方法 即必须在确定闭环脉冲传递函数 z 时增加附加条件 由可知 要避免G z 在单位圆上或圆外的零极点与D z 的极点和零点抵消 则必须使得 1 当G z 有单位圆上或圆外的极点时 在 e z 表达式中应把这些极点作为其零点而保留 问题一 2 当G z 有单位圆上或圆外的零点时 在 z 表达式中应把这些零点作为其零点而保留 问题二 3 G z 有滞后环节时 z 应包含之 问题三 具体实现如下面所示 34 设最少拍系统广义Z传递函数为其中 b1 b2 bu是G z 的u个不稳定零点 a1 a2 av是G z 的v个不稳定极点 是G z 中不包含Z平面单位圆外或圆上的极 零点时的部分 z N为G z 中含有的纯滞后环节 35 为避免发生D z 与G z 的不稳定零极点对消 应满足如下稳定性条件 1 e z 的零点应包含G z 中全部不稳定的极点 其中 F1 z 是关于z 1的多项式且不包含G z 中的不稳定极点aj 除 1 j0 外 36 2 G z 在单位圆上或圆外的零点应全部包含在闭环Z传递函数 z 的零点中 其中 是关于z 1的多项式且不包含G z 中的不稳定零点bi 37 3 如果G z 中含有纯滞后的环节即z N N为整数 则G z 分子中的z 1因子应全部包含在 z 分子中 这会使系统过渡过程时间延长 其中 F2 z 是关于z 1的多项式且不包含G z 中的纯滞后的环节和不稳定零点bi 因此 满足了上述稳定性条件后的D z 不再包含G z 的Z平面单位圆上或单位圆外零极点和纯滞后的环节 38 要满足上述限制条件 e z 1 z 1 mF z 中的F z 不能简单地使F z 1 而应选F z 的零点中含G z 的全部不稳定极点 并使 e z 为最简单形式 使E z 含z 1因子的多项式的项数最少 使误差以最快速度衰减到零 综上所述 得到满足上述限制条件的闭环Z传递函数 z 和闭环误差Z传递函数 e z 的一般形式为其中k为常系数 39 其中例6 3对于图6 1所示的系统 设 T 1s试求数字控制器D z 使系统在单位阶跃输入作用下 无稳态误差最少拍 40 解 G z 中含有一个单位圆外的零点 1 14 一个z 1因子 没有不稳定的极点 m 1 u 1 v 0 N 1 根据上述条件 得 41 42 得调整时间2拍 无超调 如果输入为单位速度函数 则 43 44 6 2无波纹最少拍计算机控制系统设计 按最少拍控制系统设计出来的闭环系统 在有限拍后即进入稳态 这时闭环系统输出在采样时刻精确地跟踪输入信号 然而 进一步研究可以发现虽然在采样时刻闭环系统输出与所跟踪的参考输入一致 但是在两个采样时刻之间 系统的输出存在着纹波或振荡 这种纹波不但影响系统的控制性能 产生过大的超调和持续振荡 而且还增加了系统功率损耗和机械磨损 下面通过实例说明最少拍系统波纹的存在 45 例6 4对于图6 7所示的系统 设T 1s 输入为单位阶跃信号 试确定最少拍系统的数字控制器D z 并分析系统输出响应 46 解 G z 中没有单位圆上或单位圆外的零极点 所以利用广义Z变换 可求出系统的输出响应 47 设 0 5 则其输出响应如图6 8所示 可以看出系统输出存在波纹 48 进一步分析可知 产生波纹的原因是数字控制器D z 输出序列u t 在系统输出y t 过渡过程结束后 还在围绕其平均值不停地波动 49 其输出如图6 9所示 50 由于系统在采样点上是闭环控制 采样点之间产生的波纹不能反映在采样点信号上 也就是对采样点之间的信号不能形成闭环控制 在最少拍控制系统设计中 虽然考虑了可实现性和稳定性问题 但是在设定 z 时 考虑了被控对象G z 在单位圆上和单位圆外的零点 而对G z 在单位圆内的零点没有考虑 在典型信号输入下 控制器的z传递函数由下式可得可见G z 在单位圆内的零点成为D z 的极点 位于单位圆内的负实轴上或第二 第三象限内 控 51 制输出U z 必有振荡衰减 由以上分析可见 要得到最少拍无波纹系统设计 其闭环z传递函数 z 必须包含被控对象G z 的所有零点 设计的控制器D z 中消除了引起波纹振荡的所有极点 采样点之间的波纹也就消除了 此时 系统的闭环z传递函数 z 中的z 1的幂次增高 系统的调整时间增长了 因此 最少拍无波纹设计要求 z 的零点包含G z 的全部零点 这就是最少拍无波纹设计与最少拍有波纹设计唯一不同之处 52 设最少拍系统广义Z传递函数为其中 b1 b2 bu是G z 的u个零点 a1 a2 av是G z 的v个不稳定极点 f1 f2 fw是G z 的w个稳定极点 k1为常系数 z 1为G z 中含有的纯滞后环节 53 则可得其中k为常系数 其中由此得到数字控制器 54 例6 5对于图6 7所示的系统 设T 1s 试按输入为单位阶跃信号 确定无波纹最少拍系统的数字控制器D z 解 55 数字控制器的输出为 系统在采样点的输出为 可见D z e z 为关于z 1的有限多项式 并且u t 经过2拍后过渡过程结束 同时 经过两拍后y t 的过渡过程也结束了 也就是u t 与y t 同时结束过渡过程 56 在上例中 如果按输入为单位速度信号 来确定无波纹最少拍系统的数字控制器D z 则有 57 6 3在扰动作用下计算机控制系统的设计 实际的控制系统中 除了有参考输入之外 常常还有扰动作用 干扰几乎在任何处即可进入系统 为了便于讨论 可将干扰归并在零阶保持器和被控制对象之间 如图6 15所示 现在产生的问题是 针对参考输入而设计的系统 是否能有效地克服干扰f t 所产生的影响 在很多情况下 针对参考输入而设计的系统 对抑制较弱的干扰作用所产生的影响 也有较好的效果 这正是负反馈控制系统所具有优点之一 然而 如果干扰作用较严重 或设计的着眼点主要是针对干扰所产生的影响 则必须研究新的设计方法 58 由于负反馈控制系统的自动调节作用的优点 按前面方法只针对参与输入所设计的数字控制器D z 或闭环Z传递函数 z 对抑制弱扰动作用的影响是很有效的 这种情况下不必修改原设计的D z 或 z 但在强扰动作用下 一般就须修改原设计 59 6 3 1针对扰动作用的设计 输入为零 假设存在扰动的控制系统如图6 15所示 当只存在扰动作用时 此时r t 0 扰动系统的等效图如图6 16所示 60 根据线性系统的迭加原理 系统只存在扰动时的输出响应为取Z变换得 其中得到 61 系统输出对扰动的闭环Z传递函数为 于是得到数字控制器 62 针对扰作用的系统的设计方法是 1 根据系统运行的实际情况 确定设计中所针对的干扰输入作用F z 2 根据消除干扰所引起的输出响应的要求 例如无稳态误差 最快速的瞬变响应 稳定性等 以及D z 物理可实现的约束 确定输出对扰动的闭环Z传递函数 f z 所采用的方法与前几节介绍的方法基本相同 3 确定数字控制器D z 并编写控制算法程序 63 6 3 2抑制扰动作用的设计 扰动和输入 再来研究既有参考输入R s 又有扰动作用F s 的系统的设计方法 对于图6 15所示的系统 设计分两步进行 1 首先针对参考输入 确定闭环Z传递函数 z 2 然后考虑系统对干扰F s 的抑制作用 修改设计的结果 有时不需要修改 如果系统要抑制扰动的影响 则对 f z 的要求是 对于设计中的扰动作用 不产生稳态响应 64 不失一般性 设扰动信号具有以下形式 则在扰动作用下产生稳态响应可由终值定理求得若要求Yf 0 则要求扰动的闭环Z传递函数 f z 具有以下形式 其中 Ff z 为不含 1 z 1 因子的关于z 1的有限多项式 由此可得到以下结论 若系统的扰动的闭环Z传递函数 f z 可以表示成以上的形式 则就不必修改针对参考输入所确定的数字控制器D z 否则就要修改原先设计的D z 65 例6 7对于图6 15所示的系统 设T 0 025s r t 1 t f t 1 t 设计无稳态误差有波纹最少拍系统的数字控制器D z 解 根据最少拍系统设计原则则得到 66 由此可见 f z 不能满足 则需要修改原设计 进一步分析可知 显然不符合设计要求 必须修改原先设计的D z 67 则其中得解得 则 68 6 4复合控制系统设计 在一个计算机控制系统中 组合使用反馈与前馈两种控制 称之复合控制 复合控制的最大优点是易于构成抗外部干扰能力较强的系统 下述复合控制系统的设计特点是可以将希望的控制规律设计和抗干扰设计分开来进行 图6 17所示的是既有开环控制 又有闭环控制的复合计算机控制系统 D1 z 与D2 z 是待确定的数字控制器 其前馈是引自参考输入r t 69 70 对于线性系统 参考输入r t 与扰动作用f t 所引起的输出响应Yr z 和Yf z 分别为从上式可知 由于扰作用所引起的输出yf t 与前馈数字控制器D2 z 无关 因此 我们首先根据消除扰动所引起的输出响应的要求 确定输出对扰动的Z传递函数 f z 再按上节介绍的方法 确定数字控制器D1 z 71 其次 根据对参考输入所引起的输出响应的要求 确定闭环Z传递函数 z 再按下式 确定数字控制器D2 z 由此可见 已把对参考输入的设计与对扰动作用的设计分离成两步 进一步分析图6 17所示的复合计算机控制系统 如果选择数字控制器D2 z 为则系统闭环Z传递函数 z 1 这意味着对每一采样时刻 输出都完全复现任意输入 达到抗干扰的目的 72 但是 被控制对象G0 s 总是有惯性的 因此 连续部分的Z传递函数G z 总是有瞬变滞后的 G z 一般可表为 则因此 前面确定的数字控制器D2 z 是物理不可实现的 73 为此 再来研究图6 18所示的复合计算机控制系统 与图6 17的系统相比 本系统为此增加了数字控制器D3 z 则系统对参考输入的输出响应为 74 若选择则说明 z 与D1 z 无关 当不考虑扰动作用时 有E z D3 z R z z R z 说明若不存在扰动时 反馈回路可以不参与运行 只有前馈部分参与工作 当存在扰动时 E z G0F z 此时反馈回路参与运行 以消除扰动的影响 75 由此可知 图6 18所示的复合控制系统 开环控制部分 即数字控制器D2 z 和D3 z 负责系统的