高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2.ppt

2 1 2空间中直线与直线之间的位置关系 目标定位1 理解异面直线的定义 并能正确画出两条异面直线 2 会用反证法证明两条直线是异面直线 会求两异面直线所成的角 3 理解公理4和等角定理 1 空间两条直线的位置关系 自主预习 空间两条直线的位置关系有且只有三种 1 若从公共点的数目分 可以分为 只有一个公共点 相交 平行 异面 2 异面直线 相交 平行 异面 1 定义 的两条直线 2 异面直线的画法 不同在任何一个平面内 3 平行公理 公理4 文字表述 平行于同一条直线的两条直线互相 这一性质叫做空间 平行 平行线的传递性 a c 4 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应 那么这两个角 或 平行 相等 互补 5 异面直线所成的角 1 定义 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的 或 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 2 异面直线所成的角 的取值范围 3 当 时 a与b互相垂直 记作a b 锐角 直角 0 90 90 即时自测 1 判断题 1 若两条直线无公共点 则这两条直线平行 2 若两直线不是异面直线 则必相交或平行 3 过平面外一点与平面内一点的直线 与平面内的任意一条直线均构成异面直线 4 和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线 提示 1 空间两直线无公共点 则这两条直线可能平行 也可能异面 3 过平面外一点与平面内一点的直线 和平面内过该点的直线是相交直线 4 和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线 2 若空间两条直线a和b没有公共点 则a与b的位置关系是 a 共面b 平行c 异面d 平行或异面 解析若直线a和b共面 则由题意可知a b 若a和b不共面 则由题意可知a与b是异面直线 答案d 3 两个三角形不在同一平面内 它们的边两两对应平行 那么这两个三角形 a 全等b 不相似c 仅有一个角相等d 相似 解析由等角定理知 这两个三角形的三个角分别对应相等 故应选d 答案d 4 如图在正方体abcd a1b1c1d1中 e f g h分别为aa1 ab bb1 b1c1的中点 则异面直线ef与gh所成的角等于 解析取a1b1的中点m 连接gm hm 因为在正方体abcd a1b1c1d1中 m h g为a1b1 b1c1 b1b的中点 所以 gmh为正三角形 mgh为ef与gh所成的角 所以 mgh 60 答案60 类型一空间两条直线位置关系的判断 例1 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 判断下列直线的位置关系 直线a1b与直线d1c的位置关系是 直线a1b与直线b1c的位置关系是 直线d1d与直线d1c的位置关系是 直线ab与直线b1c的位置关系是 解析直线d1d与直线d1c显然相交于d1点 所以 应该填 相交 直线a1b与直线d1c在平面a1bcd1中 且没有交点 则两直线 平行 所以 应该填 平行 点a1 b b1在一个平面a1bb1内 而c不在平面a1bb1内 且b1 a1b 则直线a1b与直线b1c 异面 同理 直线ab与直线b1c 异面 所以 都应该填 异面 答案 平行 异面 相交 异面 规律方法1 判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断 而两条直线平行也可以用公理4判断 2 判定两条直线是异面直线有定义法和排除法 由于使用定义判断不方便 故常用排除法 即说明这两条直线不平行 不相交 则它们异面 训练1 1 若a b是异面直线 b c是异面直线 则 a a cb a c是异面直线c a c相交d a c平行或相交或异面 2 若直线a b c满足a b a c异面 则b与c a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线 解析 1 若a b是异面直线 b c是异面直线 那么a c可以平行 可以相交 可以异面 2 若a b a c是异面直线 那么b与c不可能平行 否则由公理4知a c 答案 1 d 2 c 类型二公理4 等角定理的应用 例2 在如图所示的正方体abcd a1b1c1d1中 e f e1 f1分别是棱ab ad b1c1 c1d1的中点 求证 1 ef綉e1f1 2 ea1f e1cf1 证明 1 连接bd b1d1 在 abd中 因为e f分别为ab ad的中点 则bm a1e 因此 cf1 a1e 同理可证a1f ce1 因为 ea1f与 e1cf1的两边分别对应平行 且方向都相反 所以 ea1f e1cf1 规律方法 1 空间两条直线平行的证明 一是定义法 即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点 二是利用平面图形的有关平行的性质 如三角形中位线 梯形中位线 平行四边形等关于平行的性质 三是利用公理4 找到一条直线 使所证的直线都与这条直线平行 2 求证角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 训练2 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 若四边形efgh是矩形 求证 ac bd 证明 1 在 abd中 e h分别是ab ad的中点 eh bd 同理fg bd 则eh fg 故e f g h四点共面 2 由 1 知eh bd 同理ac gh 又 四边形efgh是矩形 eh gh 故ac bd 类型三求异面直线所成的角 互动探究 思路探究 探究点一异面直线所成的角的范围是多少 提示 0 90 探究点二求异面直线所成的角分哪三步 三角形的中位线有什么作用 提示求异面直线所成的角分三步 作 证 求 三角形的中位线是立体几何中常用到的线段 是解决立体几何问题最重要的辅助线 三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础 解如图 取bd的中点m 连接em fm 规律方法1 异面直线一般依附于某几何体 所以在求异面直线所成的角时 首先将异面直线平移成相交直线 而定义中的点o常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点 2 求异面直线所成的角的一般步骤为 1 作角 平移成相交直线 2 证明 用定义证明前一步的角为所求 3 计算 在三角形中求角的大小 但要注意异面直线所成的角的范围 训练3 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 1 ac和dd1所成的角是 2 ac和d1c1所成的角是 3 ac和b1d1所成的角是 4 ac和a1b所成的角是 解析 1 根据正方体的性质可得ac和dd1所成的角是90 2 d1c1 dc 所以 acd即为ac和d1c1所成的角 由正方体的性质得 acd 45 3 bd b1d1 bd ac b1d1 ac 即ac和b1d1所成的角是90 4 a1b d1c acd1是等边三角形 所以ac和a1b所成的角是60 答案 1 90 2 45 3 90 4 60 课堂小结 1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 将空间问题向平面问题转化 这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径 需要强调的是 两条异面直线所成角为 且0 90 解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小 1 一条直线与两条异面直线中的一条平行 则它和另一条的位置关系是 a 平行或异面b 相交或异面c 异面d 相交 解析如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 aa1与bc是异面直线 又aa1 bb1 aa1 dd1 显然bb1 bc b dd1与bc是异面直线 故选b 答案b 2 设p是直线l外一定点 过点p且与l成30 角的异面直线 a 有无数条b 有两条c 至多有两条d 有一条 解析我们现在研究的平台是锥空间 如图所示 过点p作直线l l 以l 为轴 与l 成30 角的圆锥面的所有母线都与l成30 角 答案a 3 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为c1d1的中点 则异面直线ae与a1b1所成的角的余弦值为 4 已知正方体abcd a1b1c1d1 e f分别为棱aa1 cc1的中点 求证