数学与应用数学_毕业论文——正交矩阵及其应用.doc

本科生毕业设计（论文） 正交矩阵及其应用 学 院： 专 业： 数学与应用数学 学 号： 学生姓名： 指导教师： 年 月20摘 要如果n阶实矩阵A满足,那么称A为正交矩阵正交矩阵是由内积引出的本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法本文论证了一种特殊的正交矩阵初等旋转矩阵也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率AbstractOrthogonal matrices and its applications If a -dimensional real matrix satisfies ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product. This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion. Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate目 录1.引 言12.正交矩阵的基本知识32.1正交矩阵的定义与判定32.2 正交矩阵的性质33.正交矩阵的应用53.1 正交矩阵在线性代数中的应用53.2正交矩阵在化学中的应用113.3正交矩阵在物理学中的应用14参考文献18致 谢19正交矩阵及其应用姓名： 学号： 班级： 1.引 言因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文. 1855年,埃米特(C.Hermite,18221901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论. 在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,18491917)的贡献是不可磨灭的.他讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.本文主要介绍正交矩阵与其应用.我们把阶实数矩阵满足,称为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在维实数内积空间中的关于正交基写出的向量.的长度的平方是.如果矩阵形式为的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵. 本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵.初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量曲率和挠率.2.正交矩阵的基本知识本节中在没有特别说明的情况下,都表示为正交矩阵,记矩阵的秩为,与为矩阵的第列与第列,表示矩阵的第行. 表示行列式的值即=.2.1正交矩阵的定义与判定定义2.1.13 阶实数矩阵满足（或,或）,则称为正交矩阵.判定2.1.2 矩阵是正交矩阵;判定2.1.3 矩阵是正交矩阵 ;判定2.1.4 矩阵是正交矩阵;备注：判定一个是方阵是否为正交矩阵往往用定义,即（或,或）,也可以验证的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知的正交矩阵求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质2.2 正交矩阵的性质若是正交矩阵,则有以下性质(3)：性质2.2.5 ,则可逆,且其逆也为正交矩阵.证明 显然. 所以也是正交矩阵.性质2.2.6 ,也是正交矩阵, 即有:(1)当时, , 即;(2)当时, , 即.证明 若是正交矩阵, 由性质2.2.5,为正交矩阵.因为,所以,当时, , 即;当时. , 即.从而为正交矩阵.性质2.2.7 是正交矩阵.证明 因为,所以.因此,也是正交矩阵性质2.2.8 是正交矩阵的充分必要条件是.证明 必要性 若是正交矩阵,则另一方面,一方面,于是,;充分性 因为是正交矩阵,若,显然也是正交矩阵.性质2.2.9 若也是正交矩阵, 则,都为正交矩阵.证明 由可知,故为正交矩阵.同理推知,均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即存在复可逆矩阵, 使,其中为的全部特征值, 即. 这些性质证明略.3.正交矩阵的应用3.1 正交矩阵在线性代数中的应用在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基-初等旋转矩阵即Givens矩阵.定义3.11 设向量则称阶矩阵 为向量下的Givens矩阵或初等旋转矩阵,也可记作.下面给出Givens矩阵的三个性质2,10性质3.1.1 Givens矩阵是正交矩阵.证明 由,则,故是正交矩阵.性质3.1.2 设,则有.证明 由的定义知, ,且,即右乘向量,只改变向量第和第个元素,其他元素不变.性质3.1.3 任意矩阵右乘,只改变的第列和列元素; 任意矩阵左乘,只改变的第行和行元素.证明 由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论.引理3.1.42 任何阶实非奇异矩阵 , 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理3.1.510 设是阶正交矩阵 若, 则可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即; 若, 则可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵, 即, 其中是初等旋转矩阵.（）.证明 由于是阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵,使（这里是阶上三角阵）,而且的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是 （3-11）注意到是正交矩阵,由（3-11）式得,即 （3-12） 设=,其中, ,则=.由上式得所以 , （3-13）即,当时,;当时, .记,注意到是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.引理3.1.61 设其中是阶正交矩阵, 是阶上三角阵,是零矩阵.定理3.1.710 设,则可以通过左连乘初等旋转矩阵,把变为的形式,其中是阶上三角阵,是矩阵.证明 由引理3.1.6知,其中是阶正交矩阵,是阶上三角阵.又根据定理1知：,则是初等旋转矩阵.(I)当时,;(II)当时, ,则.显然,是阶上三角阵,当时,与除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时时,.综上,知本定理的结论成立.设,是欧氏空间的子空间的一组基,记是秩为的的矩阵.若满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵,使 （3-14）且 所以 （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对、做同样的旋转变换,在把化为的同时,就将化成了,而的前个列向量属于子空间.综上所述可得化欧氏空间的子空间的一组基为一组标准正交基的方法:（1）由已知基为列向量构成矩阵;（2）对矩阵施行初等旋转变换,化为,同时就被化为正交矩阵,这里是阶上三角阵;（3）取的前个列向量便可得的一组标准正交基.显然,上述方法是求子空间的一组标准正交基的另一种方法.下面,我们通过实例对比Schimidt正交化求标准正交基.例 求以向量,为基的向量空间的一组标准正交基.解 方法一 用Schimidt正交化把它们正交化：,再把每个向量单位化,得,.即,就是由,得到的的一组标准正交基.方法二 （利用连乘初等旋转矩阵）设矩阵,对分块矩阵依次左乘,=,=,=,得 =,则,取,.那么就是由,得到的的一组标准正交基.对比两者的解法,用Schimidt正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.3.2正交矩阵在化学中的应用原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为,为新的杂化轨道,为参加杂化的旧轨道,为第个杂化轨道中的第个参加杂化轨道的组合系数4.在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则5：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道满足;（2）杂化轨道的正交性.;（3）单位轨道贡献.每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即=1.由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程.（A）杂化轨道.以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为,这样在形成分子时,激发态碳原子的一个2原子轨道和3个原子轨道进行杂化形成4个等同的杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道,是一组相互正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量,那么线性变换系数矩阵A必为正交矩阵,即 = .A为正交矩阵,分别是,在四个坐标轴的分量.在等性杂化中,四个基向量,在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道,进行杂化时形成四个等同的杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道和成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A.因为A 是正交矩阵,由定义可得,即,所以,得=(取正值).又因为是等性杂化轨道.有 ,=1,所以 =（取正值）.即得到.又因 ,取符合条件的,.同理, ,即 ,得,取,.又,得,.所以, .可以写出四个杂化轨道的杂化轨道式为,.（B）杂化轨道一个和一个原子轨道杂化形成两个杂化轨道.同样,线性变换的系数矩阵是正交矩阵.根据等性杂化理论有,于是,（取正值）.又,故, ,即,.所以杂化轨道式为.3.3正交矩阵在物理学中的应用任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量. 首先我们来简单认识曲率和挠率.曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.（为角变量,为弧长）趋向于0的时候,定义就是曲率.即.而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.曲线在某点的挠率记为,=.下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量6,9.设曲线与曲线只差一个运动, 从曲线到曲线的变换为 (3-21)其中,是三阶正交矩阵, 是常数.对(3-21)两边求阶导数,得.从而有. (3-22)因为是正交矩阵, 所以也有. (3-23)另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵.两边取行列式, 由,得.现在取可类似地讨论.因为, (3-24), (3-25)(3-22)代入(3-24)的右边,得=+ . （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得,.由正交矩阵的性质2.2.6知, 且由,将上面三式左右分别平方相加,=+=.写成矢量函数, 即得.于是我们可推得,.这里的分别是曲线的曲率与挠率.参考文献:1 陈景良,陈向晖.特殊矩阵.第一版.清华大学出版社,2001：353-3602 程云鹏.矩阵论.第二版.西北工业大学出版社,1999：94.99,196-2153 王萼芳,石生明.高等代数.第三版.北京：高等教育出版设,2007：162-3924 周公度,段连运.机构化学基础.第4版.北京大学出版社,2009：79-1874 王立东主编数学.第一版.大连理工大学出版社,2008：63-745 赵成大等物质结构.人民教育出版社. 1982：219-2266 强元棨,程嫁夫.力学上册.第一版.中国科学技术大学出版社：2005：332-537 张焕玲等一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法山东大学.1996.3.9卷（1）期：14-168