素材：高中数学备课参考数学通报数学问题解答0104.doc

2001年第 4期数学通报48 数学问题解答 ADN EFG; (2)求平面 EFG与平面 = ABCD所成的锐二面角 ; MAN (3)求 A1AMN,AB = AB1 = BC, Rt AMB Rt AMG , MAN ,AM为公共边 , AMQ 2001年 3月号问题解答 (解答由问题提供人给出 ) 1301正方体 AB CD A1 B1 C1 D1中 ,E、F、G分别是棱 AB、CC1、D1 A1的中点 ,如图 .若 AB = 1 , (1)证明 B1 D平面 431703)解 (1)连 DE与B1 E,依题意 ,DE = B1 E= 2 ,则 E在线段 B1 D的中垂面上 ;同理 ,F、G也在 B1 D的中垂面上 .而 E、F、G不在同一直线上 ,它们确定的平面是唯一的.所以 B1 D平面 EFG. (2)由 B1 D平面 EFG ,则平面 BB1 D1 D平面 EFG;且平面 BB1 D1 D平面 AB CD.取 A1 B1中点 M,连 GM与 ME,则 GM B1 D1 ,ME BB1 ,则平面 EMG平面 BB1 D1 D.平面 EMG平面 EFG ,平面 EMG平面 AB CD.则 EGM为平面 EFG与平面 A1 B1 C1 D1所成锐二面角的平面角 . EM 1tg EGM = = 2 ,GM 2/ 2 则平面 EFG与平面 AB CD所成角为 arctg 2. (3)过 M作 EG的垂线交 EG于 N,则由平面 EMG平面 EFG于 EG ,则 MN平面 EFG;在 Rt EMG中 ,MN = ME MG = 3 .ME2 + MG2 连 A1 C1交 MG于 P,则 A1 P MG,且 MP = PG, A1 P平面 EFG , A1到平面 EFG的距离为 6 . 1302正方形 ABCD的边 BC、CD上各有一点 M, N,满足 MAN = 45,求证 : BM DN =BC2 -BC MN . (福建厦门市九中陈四川 361004)条高 AG、 使 DN = BM =MG,BQ = GN =ND. ANF = 90-NAF = 45= NA F , AF = NF,又 4 + AMN = 90, 5 + AMN = 90, 4 = 5 , Rt A FP Rt NFM,AP = MN .又 N PG AMG, PG = MG ,MG GN = NG AG AG PG = AG (AG -AP) BM DN =BC2 -BC MN . 1303 AB C中 ,BC = a,CA = b,AB = c,D、 E、F分别是三条边 BC、CA、AB上的点 ,求证 :DE + EF+ FD acosA+bcosB+ccos C (浙江衢州市教研室李世杰 324002)证记 AF = x,BD = y,CE = z,则 BF =c-x, CD =a-y,AE =b-z根据余弦定理 ,在 A EF中 2EF2 = x +(b-z) 2 2 x(b-z) cosA 2 = x +(b-z) 2 + 2 x(b-z) cos(B + C) = xcos C+ (b-z) cosB2 +xsin C(b-z) sin B2 xcos C+ (b-z) cosB2 EF xcos C+ (b-z) cosB(1)同理 DF ycosA+ (c-x) cos C(2)DE zcosB+ (a-y) cosA(3) (1) +(2) +(3)即可得 DE+ EF+ FD acosA+bcosB+ccos C. 1304x,y,z 0 , ,求证 :2 cos(y-z) cos(z-x) cos(x-y) sin2 xsin2 ysin2 z. (江西永修县一中宋庆330304)证明cos 2 (y-z) =(cos ycosz+ sin zsin y) 2 = cos 2 ycos 2 z+ sin2 zsin2 y + 2cos ycoszsin ysin z 4cos ycoszsin ysin z = sin2 ysin2 z.且 sin2 ysin2 z 0 ,cos(y-z) 0 , cos(y-z) sin2 ysin2 z,满足题目条件 ; (2)求合于题设条件的 a5的最小值. (湖南吉首大学数学与计算机科学系彭明海416000) 1308已知递推式3 an= an+1 an-1 + 2 an an -1(n N) , a0 = 1 ,a1 = 16. (1)求证 : an可被 2 n整除 ; (2)求证 :a2000能被 101000整除. (江苏省江都市滨湖中学王庆国225268) 1309已知 a1 ,a2 , , an, b1 ,b2 , , bn 1 ,2 ,nn 且ai = bi ,求证 : i= 1 i= 1 a ai 2 i 3 i = n1 bi 2 i = n1 (广东省中山市中山