第七节--计算机控制系统的稳定性.ppt

第7节计算机控制系统的稳定性分析 一稳定性的一般概念二S平面和Z平面的相互关系三离散系统的稳定条件四采样周期对系统稳定性的影响 一稳定性的一般概念 离散系统稳定性的概念与连续系统一样稳定性是指系统扰动作用下偏离原平衡点 当扰动作用消失以后 系统恢复到原平衡状态的性能 若系统能恢复平衡状态 称系统是稳定的 若系统在扰动作用消失以后 不能恢复平衡状态 则称系统是不稳定的 系统的稳定性是系统的固有特性 它与扰动的形式无关 只取决于系统本身的结构参数 二S平面和Z平面的相互关系 复变量z和s之间的关系 令s j 则 由此可得S平面和Z平面的基本对应关系 S平面虚轴映射为Z平面的单位圆 S左半平面映射在Z平面的单位圆内 右半平面则映射在单位圆外 角频率 与Z平面相角的关系 当S平面的点沿虚轴由 变化到 时 Z平面的相角也从 变化到 且 每变化一个 s Z平面的相角就变化2 即转了一周 S平面上的主带与旁带 将重复映射在整个Z平面上 S平面可分为许多宽度为 s的平行带 其中的带称为主带 其余均为旁带 解 S平面实部相同而虚部相差 s的整数倍的点均映射为Z平面同一点 若 s 10 试求它们映射在Z平面上的点 例 如图所示 在S平面有三个点 分别为 S平面上实轴的平行线 等频率 映射到Z平面是从原点出发的射线 S平面上虚轴的平行线 等衰减 映射到Z平面是同心圆 S左半平面主带映射为Z平面单位圆S左半平面的旁带也映射为Z平面单位圆 且与主带上相对应的点都唯一地映射在Z平面的同一点上 S右半平面主带与旁带均映射为Z平面同一单位圆的外部区域 且主带与旁带上相对应的点都唯一地映射在Z平面的同一点上 三离散系统的稳定条件 1离散系统稳定的充要条件离散系统对应的特征方程的解必须全部位于单位圆内 只要有一个根在单位圆外 系统就不稳定 若系统的根位于单位圆上 系统处于稳定边界 亦称为不稳定 2离散系统稳定判据劳斯 古尔维茨判据劳斯 古尔维茨判据为连续系统的稳定判据 可以通过一种变换 双线性变换 将离散系统特征方程对应的单位圆内的根映射位为左半平面的根 这样就可用劳斯判据来分析离散系统的稳定性 设离散系统的特征多项式为P z 证 引入双线性变换 可以将转化为 然后就可借助劳斯判据判断稳定性 例1 设采样系统的特征方程为 根据劳斯判据F w 在w右半平面有两个根 故该采样系统有两个根在单位圆外 因此系统不稳定 例2 如图所示的系统 为保证系统闭环稳定 放大系数的倍数K的取值范围 该系统的广义对象为 朱利 阿斯特隆姆稳定判据这是一个在数学上直接判断离散系统特征方程的根的模值是否小于1 即在单位圆内 的判据 设离散系统的特征方程为构造朱利表 朱利表 从第3行开始 所有奇数行n用以下公式计算 第 n 2 行系数 第 n 1 行系数 上两行末列系数之商 朱利 阿斯特隆姆稳定判据若特征方程式中a0 0 则只有当朱利表中所有奇数行第一列系数均大于零时 该方程的全部特征根才位于单位圆内 即 若其中有小于零的系数 则其个数等于特征根在Z平面单位圆外的个数 例 已知系统的特征方程为 解 构造朱利表 试判断其稳定性 其奇数行首列系数有两个小于零 故系统不稳定 且有2个根位于单位圆外 离散系统特征方程的解均位于单位圆内的必要条件是 判断系统稳定性可用如下步骤 判断必要条件是否成立 若不成立 系统不稳定 若必要条件成立 再构造朱利表进一步判断 例2 已知系统特征方程为试判断其稳定性 解 检验必要条件 系统满足必要条件 构造朱利表 可见奇数行首列系数均大于零 故系统稳定 构造朱利表 最后一行不必再判断 3二阶离散系统的稳定判据 设系统特征方程为系统稳定的必要条件为 为使系统稳定 须满足 由此可推得即 这等价于 由此可得二阶离散系统稳定充要条件的简便形式 例 已知采样系统如图所示 其中 T 1秒 试求使系统稳定的k值范围 解 开环传函 闭环特征方程 综合起来有 为使系统稳定 须满足二阶离散系统稳定的充要条件 四采样周期对系统稳定性的影响 解 系统开环传函为 例 已知如图所示采样统 试讨论采样周期对系统稳定性的影响 系统闭环特征方程为 取T 1 则取T 0 1 则取T 0 01 则 即特征根为 为使系统稳定 该特征根应在单位圆内 即 可得 可见 当采样周期减小时 则使系统稳定的k值范围将增大 反之则减小 为使系统稳定要求 当k值一定时 如k 2 系统特征方程为 可见 必须要有足够小的采样