2019届、百校联考高三12月教学质量检测考试数学（文）试题（解析版）

2019届江西省、广东省百校联考高三12月教学质量检测考试数学（文）试题一、单选题1已知集合A1，2，3，4，5，Bx|x2n，nA，则AB（ ）A4B2，4C1，3，5D1，2，3，4，5【答案】B【解析】利用交集定义直接求解【详解】解：集合A1，2，3，4，5，Bx|x2n，nN，AB2，4故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题2已知i为虚数单位，下列运算结果为实数的是（ ）Ai（1+i）Bi2（1+i）Ci（1+i）2Di2（1+i）2【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】解：i（1+i）1+i，i2（1+i）1i，i（1+i）2i2i2，i2（1+i）212i2i运算结果为实数的是C故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题3已知p：1x2，q：2x2x30，则p是q的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】求出不等式的等价条件，结合不等式的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可【详解】解：由2x2x30得（x+1）（2x3）0，得1x，则p是q的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，二次不等式的解法，理解不等式的关系是解决本题的关键4已知函数f（x）为奇函数，当x0时，f（x）2x+x2，则f（2）（ ）AB8CD8【答案】B【解析】根据f（x）是奇函数即可得出f（2）f（2），而根据x0时，f（x）2x+x2，即可得出f（2）8，从而求出f（2）8【详解】解：f（x）为奇函数，当x0时，f（x）2x+x2；f（2）f（2）（4+4）8故选：B【点睛】本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，考查转化能力5中国和印度是当今世界上两个发展最快且是最大的发展中国家，为了解两国经济的发展情况，收集了2008年至2017年两国GDP年度增长率，并绘制成如图折线图，则下列结论不正确的是（ ）A2010年，两国GDP年度增长率均为最大B2014年，两国GDP年度增长率几乎相等C这十年内，中国比印度的发展更为平稳一些D2015年起，印度GDP年度增长率均比中国大【答案】D【解析】根据折线图进行判断即可【详解】解：由折线图可知两国GDP年度增长率均在2010年达到最大值，故A正确；在2014年，两国GDP年度增长率几乎相等，故B正确；在这十年间，中国GDP年度增长率变化不大，而印度GDP年度增长率变化较大，故C正确；由折线图可知在2017年，印度GDP年度增长率低于中国，故D错误故选：D【点睛】本题考查了数据统计，考查折线图的意义，考查数据分析能力，属于基础题6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2，B30，ABC的面积为，则b（ ）AB1CD4【答案】C【解析】由已知利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值【详解】解：a2，B30，ABC的面积为acsinB，c2，由余弦定理可得：b故选：C【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题7函数y在其定义域内的大致图象为（ ）ABCD【答案】A【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用导数明确函数在上的单调性【详解】解：函数的定义域为x|x0，f（x）f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除C，当时， ，即在 上单调递减，排除B，D故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和极限思想，利用排除法是解决本题的关键8已知函数f（x）2sin（2x+）（|）的图象经过（，1），则f（x）的图象（ ）A关于点（，0）对称B关于直线x对称C关于点（，0）对称D关于直线x对称【答案】B【解析】根据函数过定点，求出的大小，结合三角函数的单调性求出对称轴和对称中心方程进行判断即可【详解】解：f（x）的图象经过（，1），f（）2sin（2）1，即sin（），|，则，则，即，则f（x）2sin（2x），由2xk，得x，kZ，即对称中心为（，0），kZ，由2xk，得x，kZ，即对称轴方程为x，kZ，当k0时，对称轴方程为x，故选：B【点睛】本题主要考查三角函数解析式以及性质判断，求出的值，利用三角函数的对称性是解决本题的关键9已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，若该圆锥的顶点与底面圆周均在同一个球面上，则这个球的表面积为（ ）ABCD12【答案】C【解析】取圆锥的轴截面，得出轴截面的外接圆半径等于圆锥的外接球半径，然后利用正弦定理可计算出球的直径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】解：如下图所示，取圆锥的轴截面，则该轴截面等边ABC的外接圆圆心即为圆锥的外接球球心，且ABC外接圆半径等于圆锥的外接球半径，设球的半径为R，由正弦定理得，因此，这个球的表面积为，故选：C【点睛】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于充分利用圆锥轴截面的几何性质来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题10已知A、B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FBAB，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD【答案】B【解析】利用椭圆的性质结合勾股定理转化求解即可【详解】解：A、B分别为椭圆C：1（ab0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FBAB，可得：a2+b2+b2+c2（a+c）2，即：2ac2b22a22c2，可得e2+e10，解得e，e（舍去）故选：B【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，考查转化思想以及计算能力11某正三棱柱的三视图如图所示，正三棱柱表面上的点M、N分别对应正视图上的点A，B，若在此正三棱柱侧面上，M经过三个侧面到达N的最短距离为6，则当此正三棱柱的侧面积取得最大值时，它的高为（ ）AB2C3D4【答案】C【解析】由三视图还原原几何体正三棱柱，设正三棱柱底面边长为a，高为b，由已知求得再由基本不等式求最值得答案【详解】解：由三视图还原原几何体正三棱柱如图，设正三棱柱底面边长为a，高为b，则，即，即ab6，当且仅当，即b时，三棱柱侧面积有最大值S3ab18故选：C【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，考查多面体表面距离最小值的求法，是中档题12若函数f（x），的值域是1，1，则实数a的取值范围是（ ）A（，B（，1C1，1D（，11，+）【答案】B【解析】这是一道分段函数的最值问题，可利用分类讨论来解答，注意分段函数的值域是每个分支函数的值域的并集【详解】解：当xa，ysinx的值域为1，1，而yf（x）的值域也恰好是1，1，这说明：函数的值域是1，1的一个子集则有，a1故选：B【点睛】本题考查了分段函数的最值问题，利用数形结合思想能够直观，形象地解答问题二、填空题13若倾斜角为的直线l与曲线yex+x相切于点（0，1），则sin2_【答案】【解析】由条件通过导数求出切线的斜率，利用同角三角函数的基本关系，求得sin2的值【详解】解：yex+1，故y|x02，即tan2，则sin2，故答案为：【点睛】本题主要考查函数的导数的运算，切线的斜率的求法，同角三角函数的基本关系，属于基础题14已知x，y满足约束条件，则目标函数zy2x的最大值为_【答案】5【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【详解】作出x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分）： 由zy2x得y2x+z，平移直线y2x+z，由图象可知当直线y2x+z经过点C时，直线y2x+z的截距最大，此时z最大由，解得C（4，3），代入目标函数得z32（4）5，即zy2x的最大值是5故答案为：5【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法15某中学“主持朗诵”社团的成员中，分别有高一、高二、高三年级各1、2、3名表达与形象俱佳的学生，在该校“元旦节目汇演”中，要从这6名学生中选取两人担任节目主持人，则至少有一个是高三学生的概率是_【答案】【解析】设高三的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高一的1位同学为C1，列举可得总的基本事件有15个，符合条件的有12个，由概率公式可得【详解】解：设高三的3位同学为A1，A2，A3，高二的2位同学为B1，B2，高一的1位同学为C1，则从六位同学中抽两位同学有15种可能，列举如下：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），其中高三的3位同学至少一位同学参加县里测试的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），12种可能高二至少有一名学生参加县里比赛的概率为：故答案为：【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题16在平面四边形ABCD中，ABBC，BCD120，ABD是边长为2的正三角形，E是AB边上的动点，则的最小值为_【答案】【解析】将四边形放入坐标系，结合三角函数定义求出对应点的坐标，利用向量数量积公式转化为一元二次函数进行求求解即可【详解】解：当四边形ABCD放入平面直角坐标系，ABBC，BCD120，ABD是边长为2的正三角形，D（2cos30，2sin30），即D（，1），CDB906030，BCD120CDB30，即BCD是等腰三角形，取BD的中点E，则BE1，则cos30，即BC，即C（，0），设E（0，b），0b2，则（，b1），（，b），则（，b1）（，b）2+b（b1）b2b+2（b）2+2（b）2，当b时，数量积取得最小值，故答案为：【点睛】本题主要考查向量数量积的应用，建立坐标系，利用坐标法转化为一元二次函数是解决本题的关键三、解答题17已知数列an的前n项和Sn2an1（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bnanlog2an+1，求数列bn的前n项和Tn【答案】（1）an2n1（2）Tn1+（n1）2n【解析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；（2）求得bnanlog2an+1n2n1，由数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】（1）Sn2an1，可得n1时，a1S12a11，即有a11，n2时，anSnSn12an2an1，即为an2an1，可得an为首项为1，公比为2的等比数列，可得an2n1；（2）bnanlog2an+1n2n1，前n项和Tn120+221+n2n1，2Tn12+222+n2n，相减可得Tn1+2+2n1n2nn2n，化简可得Tn1+（n1）2n【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简运算能力，属于基础题18如图，已知矩形ABCD中，AB2，AD1将矩形沿对角线BD折起，使A移到点P，P在平面BCD上的投影O恰好落在CD边上（1）证明：DP平面BCP；（2）求点O到平面PBD的距离【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由已知可证BCCD，DAAB，由A点移动到了P点，可证PDPB，过P点作POCD，利用PO面BCD，可证BC面PCD，利用线面垂直的性质得BCPD，根据线面垂直的判定定理可证PD面PBC（2）连接OB，由（1）可知DPPC，可求PC，可证OPCD，由DCPODPPC，解得OP，OC的值，可得SODB，设点O到平面PBD的距离为h，可得SDPBSABD1，根据VPDOBVODPB，即可解得h的值【详解】（1）四边形ABCD为矩形，BCCD，DAAB，A点移动到了P点，PDPB，又P点在平面BCD上的射影在CD上，过P点作POCD，PO面BCD，BC面PCD，可得：BCPD，PD面PBC，（2）连接OB，由（1）可知DP平面BCP，PC平面BCP，所以DPPC，即PC，由（1）可知OP平面BCD，而CD平面BCD，所以OPCD，由DCPODPPC，解得：OP，所以OC，可得：OD，BD，sinODB，可得SODBsinODB，设点O到平面PBD的距离为h，可得SDPBSABD1，因为VPDOBVODPB，所以SDOBPOSDPBh，可得：h，解得h即点O到平面PBD的距离【点睛】本题是对线面垂直的判定和性质以及三棱锥的体积计算的综合考查，考查了转化思想和数形结合思想的应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题19如图是某创业公司2017年每月份公司利润（单位：百万元）情况的散点图：为了预测该公司2018年的利润情况，根据上图数据，建立了利润y与月份x的两个线性回归模型：0.94+0.028；0.96+0.032lnx，并得到以下统计值：模型模型残差平方和（yi）20.0005910.000164总偏差平方和（yi）20.006050（1）请利用相关指数R2判断哪个模型的拟合效果更好；（2）为了激励员工工作的积极性，公司每月会根据利润的情况进行奖惩，假设本月利润为y1，而上一月利润为y2，计算z，并规定：若z10，则向全体员工发放奖金总额z元；若z10，从全体员工每人的工资中倒扣10z元作为惩罚，扣完为止，请根据（1）中拟合效果更好的回归模型，试预测208年4月份该公司的奖惩情况？（结果精确到小数点后两位）参考数据及公式：1.73，2.24，1n20.69，1n31.10，ln51.61相关指数R21【答案】（1）模型0.96+0.032lnx，的拟合效果更好，详见解析（2）预测2018年4月份公司应该向全体员工发放10.56万元的奖金总额【解析】（1）根据所给数据，分别计算出两种回归方程的相关指数，比较即可（2）由（1）知模型的拟合效果更好，利用模型预报4月份和3月份的利润y2，y1，代入公式求出z分析即可【详解】设模型的相关指数分别为，则10.902314，10.97289，所以，所以模型0.96+0.032lnx，的拟合效果更好（2）由（1）知，模型0.96+0.032lnx，的拟合效果更好则2018年4月份公司的利润的预报值为：y10.96+0.032ln160.96+0.0324ln21.04832（百万元），2018年3月份公司的利润预报为：y20.96+0.32ln150.96+0.032（ln3+ln5）1.04672（百万元），所以z0.1y1+0.5（y2y1）0.104832+0.50.00160.105632（百万元）10.56万元，因为z10，所以，预测2018年4月份公司应该向全体员工发放10.56万元的奖金总额【点睛】本题考查了利用相关指数判断回归分析拟合效果，主要考查计算能力，属基础题20在直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过F垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点，AOB的面积为2（1）求抛物线C的方程；（2）若过P（，0）的直线与C相交于M，N两点，且2，求直线l的方程【答案】（1）y24x（2）或【解析】（1）先得出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，求出交点A、B的坐标，可求出|AB|，然后利用三角形的面积公式可求出p的值，即可求出抛物线的方程；（2）设直线l的方程为xmy1，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），将直线l的方程与抛物线C的方程联立，并列出韦达定理，由得出y12y2，并将此关系式代入韦达定理，可求出m的值，即可得出直线l的方程【详解】（1）易知直线AB的方程为，将该直线方程代入抛物线C的方程得，、，且|AB|2p，AOB的面积为，p0，解得p2因此，抛物线C的方程为y24x；（2）设直线MN的方程为，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），y24my+4016m2160，解得m1或m1，y12y2，由韦达定理得y1+y23y24m，则，得，因此，直线l的方程为，即或【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题21已知f（x）1nx2x+1，其中a0（1）当a1时，求f（x）的极值；（2）当a0时，证明：f（x）【答案】（1）f（x）的极大值为2，无极小值（2）证明见解析【解析】（1）对f（x）求导，求出函数单调性，求出极值；（2）证明f（x）即证明f（x）max，利用导数求出f（x）的最大值即可【详解】解：（1）当a1时，f（x）lnx2x+1，所以f（x），（x0）令f（x）0得f（x）在（0，1）单调递增，令f（x）0得f（x）在（1，+）单调递减，所以当x1时，f（x）取得极大值f（1）2，无极小值；（2）当a0时，f（x）（x0），令g（x）2x2+x+a，则g（0）a0，又g（x）开口向下，且对称轴为x，所以存在x0使得g（x0）0，即a2x0，所以当x（0，x0）时，f（x）单调递增，（x0，+）是单调递减，所以当xx0时，f（x）取得最大值f（x0），f（x0）lnx02x0+1lnx02x0+1lnx04x0+2，令h（x0）f（x0），所以当x0时，h（x0）0，所以在h（x0）（上单调递减，所以h（x0）h（）lnln，所以原不等式成立【点睛】本题考查了利用导数求函数极值，利用导数证明不等式，属于综合题22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为（2sin）1（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与y轴相交于P，与曲线C相交于A、B两点，且|PA|+|PB|2，求点O到直线l的距离【答案】（1）x2+（y1）22（2）【解析】（1）把曲线C的极坐标方程变形，结合2x2+y2，xcos，ysin可得C的直角坐