全称量词与存在量词(恢复)

1 4全称量词与存在量词 思考1 下列语句是命题吗 1 与 3 2 与 4 之间有什么关系 1 x 3 2 2x 1是整数 3 对所有的x R x 3 4 对任意一个x z 2x 1是整数 1 2 不是命题 但是 3 4 是陈述句 并且能判定真假 所以 3 4 是命题 情景设置一 思考2 语句 1 与 3 有什么不同 思考3 语句 3 和 4 有什么共同特点 思考2 语句 1 与 3 有什么不同 提示 语句 3 在 1 的基础上 加了对x范围的限定条件 对所有x R 能够判断真假变成了命题 思考3 语句 3 和 4 有什么共同特点 提示 都有对变量x的限定条件 对所有的x R 对任意一个x Z 常见的全称量词有 对所有的 对任意一个 对一切 对每一个 任给 所有的 等 短语 对所有的 对任意一个 在逻辑中通常叫做全称量词 并用符号 表示 含有全称量词的命题 叫做全称命题 新知探究一 全称命题 全称命题 对M中任意一个x有p x 成立 可用符号简记为读作 对任意x属于M 有p x 成立 一 你能否举出一些全称命题的例子 例如 命题 对任意的n Z 2n 1是奇数 所有的正方形都是矩形 三角形的内角和是180 等都是全称命题 例1 判断下列全称命题的真假 1 所有的素数都是奇数 2 x R x2 1 1 3 对每一个无理数x x2也是无理数 解 1 2是素数 但2不是奇数 所以 全称命题 所有的素数都是奇数 是假命题 2 x R 总有x2 0 因而x2 1 1 所以 全称命题 x R x2 1 1 是真命题 3 2是无理数 但 2 2是有理数 所以 全称命题 对每一个无理数x x2也是无理数 是假命题 全称命题强调命题的一般性 对一个全称命题真假的判断 1 要证明它是真命题 需对集合M中的每一个元素x 证明p x 成立 2 要判断它是假命题 只要在集合M中找到一个元素x0 使p x0 不成立即可 规律 方法 总结 练习1 判断下列命题是否是全称命题 并判断真假 1 每个指数函数 都是单调函数 2 任何实数都有算术平方根 3 x0 x x是无理数 x02是无理数 真命题 假命题 假命题 思考1 下列语句是命题吗 1 与 3 2 与 4 之间有什么关系 1 2x 1 3 2 x能被2和3整除 3 存在一个x0 R 使2x0 1 3 4 至少有一个能被2和3整除 1 2 不是命题 但是 3 4 是陈述句 并且能判定真假 所以 3 4 是命题 情景设置二 思考2 语句 3 和 4 量词有何特点 与全称量词有何区别 提示 语句 3 4 在 1 2 的基础上 加了短语 存在一个 至少有一个 对变量进行了限定 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑上通常叫做存在量词 并用符号 表示 含有存在量词的命题 叫做特称命题 常见的存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 有一个 有的 对某个 等 新知探究二 特称命题 特称命题 存在M中的一个x 使p x 成立 可用符号简记为读作 存在一个x0 使p x0 成立 例2 判断下列特称命题的真假 1 有一个实数x0 使x02 2x0 3 0 2 存在两个相交平面 垂直于同一条直线 3 有些整数只有两个正因数 解 1 由于x R x2 2x 3 x 1 2 2 2 因此使x2 2x 3 0的实数x不存在 所以 特称命题 有一个实数x0 使x02 2x0 3 0 是假命题 2 由于垂直于同一条直线的两个平面是相互平行的 因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线 所以 特称命题 存在两个相交平面垂直于同一条直线 是假命题 3 由于存在整数3只有两个正因数1和3 所以特称命题 有些数只有两个正因数 是真命题 特称命题强调结论的存在性 对一个特称命题真假的判断 1 要证明它是真命题 只需在集合M中 找到一个元素x0 使p x0 成立即可 2 要判断它是假命题 需对集合M中的每一个元素x 证明p x 不成立 练习2 判断下列命题是否是特称命题 并判断真假 1 x0 R x0 0 2 至少有一个整数 它不是合数 也不是素数 3 x0 x x是无理数 x02是无理数 4 有些内接于圆的四边形是等腰梯形 5 存在一个三角形 它的内角和小于1800 真命题 真命题 真命题 真命题 假命题 思考应用 1 全称命题中一定含有全称量词吗 2 同一个全称命题或特称命题的表达形式唯一吗 思考应用 1 全称命题中一定含有全称量词吗 提示 对于含有一个量词的命题 容易知道它是全称命题或特称命题 一般地 省略了量词的命题是全称命题 可加上 所有的 或 对任意 如 三角形的内角和是180 2 同一个全称命题或特称命题的表达形式唯一吗 提示 不唯一 因为采用的自然语言不同 其表达形式也可以不同 练习 判断下列命题是全称命题还是特称命题 并判断真假 1 末位是0的整数 可以被5整除 2 线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等 3 负数的平方是正数 4 梯形的对角线相等 5 有些实数是无限不循环小数 6 有些三角形不是等腰三角形 7 有些菱形是正方形 8 存在两个三角形全等 这两三角形面积不相等 真命题 真命题 真命题 假命题 真命题 真命题 真命题 假命题 用符号 与 表示下列含有量词的命题 1 自然数的平方大于零 2 圆x2 y2 r2上的任一点到圆心的距离是r 3 存在一对整数x y 使得2x 4y 3 4 存在一个无理数 它的立方是有理数 n N n2 0 P P P在圆x2 y2 r2上 OP r O为圆心 x y x y x y是整数 2x 4y 3 x x x是无理数 x3 q q是有理数 总结 一 全称量词 1 所有的 任意一个 每一个 任何的 都是 2 全称命题x M p x 3 判断真假的方法 要证明它是真命题 需对集合M中的每一个元素x证明p x 成立 要判断它是假命题 只要在集合M中找到一个元素x0 使p