函数法证明不等式(精选多篇)

函数法证明不等式(精选多篇) 函数法证明不等式 已知函数f(x)=x-sinx,数列an满足0 证明0 证明an+1 它提示是构造一个函数然后做差求导，确定单调性。可是还是一点思路都没有，各位能不能给出具体一点的解答过程啊? (1)f(x)=x-sinx,f(x)=1-cosx 00,f(x)是增函数,f(0) 因为0 且an+1=an-sinan (2)求证不等式即(1/6)an3-an+1=(1/6)an3-an+sinan0 构造函数g(x)=(1/6)x3-x+sinx(0 g(x)=x-sinx,由(1)知g(x)0,所以g(x)单增,g(x)g(0)=0 所以g(x)单增且g(x)g(0)=0,故不等式成立 因此an+1 证毕! 构造分式函数，利用分式函数的单调性证明不等式 【例1】证明不等式：(人教版教材p23t4) 证明：构造函数f(x)=(x0) 则f(x)=1-在上单调递增 f(|a|+|b|)=f(|a+b|)=且|a|+|b|a+b| f(|a|+|b|)f(|a+b|)即所证不等式正确。 点评：本题还可以继续推广。如：求证：。利用分式函数的单调性可以证明的教材中的习题还有很多，如： p14第14题：已知cab0,求证: p19第9题:已知三角形三边的长是a，b，c，且m是正数，求证： p12例题2:已知a，b，m，都是正数，且a二、利用分式函数的奇偶性证明不等式 【例2】证明不等式：(x0) 证明：构造函数f(x)= f(-x)= =f(x) f(x)是偶函数，其图像关于y轴对称。 当x0时，0，f(x)0; 当x0,故f(x)=f(-x)0 0，即 三、构造一次函数，利用一次函数的单调性证明不等式 【例3】已知|a|1，|b|1，|c| |a|1，|b|1 -10 f(c)的(-1，1)上是增函数 f(1)=1-ab+a+b-2=a+bab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)0 f(1)0，即(1-ab)c+a+b-2f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，求 证：af(a)bf(b) 【解】由已知 xf?(x)+f(x)0 构造函数 f(x)?xf(x)， 则f(x)? xf?(x)+f(x)0， 从而f(x)在r上为增函数。 ?a?b f(a)?f(b) 即 af(a)bf(b) 【警示启迪】由条件移项后xf?(x)?f(x)，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数f(x)?xf(x)， 求导即可完成证明。若题目中的条件改为xf?(x)?f(x)，则移项后xf?(x)?f(x)，要想到 是一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 5、主元法构造函数 1?x)?x,g(x)?xlnx 例（全国）已知函数f(x)?ln( (1) 求函数f(x)的最大值； (2) 设0?a?b,证明 ：0?g(a)?g(b)?2g(a?b)?(b?a)ln2. 2 分析：对于（ii）绝大部分的学生都会望而生畏.学生的盲点也主要就在对所给函数用不上.如果能挖掘一下所给函数与所证不等式间的联系，想一想大小关系又与函数的单调性密切相关，由此就可过渡到根据所要证的不等式构造恰当的函数，利用导数研究函数的单调性，借助单调性比较函数值的大小，以期达到证明不等式的目的.证明如下： 证明：对g(x)?xlnx求导,则g(x)?lnx?1. 在g(a)?g(b)?2g(a?b)中以b为主变元构造函数, 2 a?xa?xa?x. )?lnx?ln),则f(x)?g(x)?2g(222设f(x)?g(a)?g(x)?2g( 当0?x?a时，f(x)?0,因此f(x)在(0,a)内为减函数. 当x?a时,f(x)?0,因此f(x)在(a,?)上为增函数. 从而当x?a时, f(x) 有极小值f(a). 因为f(a)?0,b?a,所以f(b)?0,即g(a)?g(b)?2g( 又设g(x)?f(x)?(x?a)ln2.则g(x)?lnx?lna?b)?0. 2a?x?ln2?lnx?ln(a?x). 2 当x?0时,g(x)?0.因此g(x)在(0,?)上为减函数. 因为g(a)?0,b?a,所以g(b)?0,即g(a)?g(b)?2g( 6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例已知函数f(x)?ae?xa?b)?(b?a)ln2. 212x 2 (1)若f(x)在r上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x0时,f(x)1+x x解：(1)f(x) ae， （）在上为增函数，f(x)对恒成立， -即对恒成立 -x记（），则()=(1-x)e， 当时，（），当时，（） 知（）在(-,1)上为增函数,在(1,+ )上为减函数, g(x)在x=1时,取得最大值，即g(x)max=g(1)=1/e, a1/e, 即a的取值范围是1/e, + ) (2)记f(x)=f(x) (1+x) =e? xx12x?1?x(x?0) 2则f(x)=e-1-x, xx令h(x)= f(x)=e-1-x,则h(x)=e-1 当x0时, h(x)0, h(x)在(0,+ )上为增函数, 又h(x)在x=0处连续, h(x)h(0)=0 即f(x)0 ,f(x) 在(0,+ )上为增函数,又f(x)在x=0处连续, f(x)f(0)=0,即f(x)1+x 小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m?f(x)(或m?f(x)恒成立，于是m大于f(x)的最大值（或m小于f(x)的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方法 7.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式） 例：证明当x?0时 ,(1?x)1?1 x?e1?x 8.构造形似函数 例：证明当b?a?e,证明a?b ba 例：已知m、n都是正整数，且1?m?n,证明：(1? m)n?(1?n)m 【思维挑战】 1、（xx年，安徽卷） 设a?0,f(x)?x?1?lnx?2alnx 2求证：当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1， 2、（xx年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 2 f(x)?52122x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a0，且b?a?3alna，22 求证：f(x)?g(x) 3、已知函数f(x)?ln(1?x)? 恒有lna?lnb?1?x，求证：对任意的正数a、b， 1?xb. a 4、（xx年，陕西卷）f(x)是定义在（0，+）上的非负可导函数，且满足xf?(x)?f(x)0，对任意正数a、b，若a b，则必有（） （a）af (b)bf (a) （c）af (a)f (b) 【答案咨询】（b）bf (a)af (b) （d）bf (b)f (a) 2lnx2a2lnx?1 ，当x?1，a?0时，不难证明xxx f?(x)?0，即f(x)在(0,?)内单调递增，故当x?1时， 2f(x)?f(1)?0，当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1 1、提示：f?(x)?1? 123a2 22、提示：设f(x)?g(x)?f(x)?x?2ax?3alnx?b则f?(x)?x?2a? 2x (x?a)(x?3a)= (x?0) ?a?0， 当x?a时，f?(x)?0， x 故f(x)在(0,a)上为减函数，在(a,?)上为增函数，于是函数f(x) 在(0,?)上的最小 值是f(a)?f(a)?g(a)?0，故当x?0时，有f(x)?g(x)?0，即f(x)?g(x) 3、提示：函数f(x)的定义域为(?1,?)，f?(x)?11x ?221?x(1?x)(1?x) 当?1?x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(?1,0)上为减函数 当x?0时，f?(x)?0，即f(x)在x?(0,?)上为增函数 因此在x?0时,f(x)取得极小值f(0)?0，而且是最小值 x1，即ln(1?x)?1? 1?x1?x a