管理统计学11时间序列和指数.ppt

对时间序列的分析方法有哪几种 它们分别有什么优点和缺点 如何进行时间序列的预测 什么是指数 它有何作用 现实中指数是怎样的 11 1时间序列的成分 一个时间序列中往往由几种成分组成 通常假定是四种独立的成分 趋势 循环 季节和不规则 下面我们仔细研究其中的每一种成分 11 1 1趋势成分 在一段较长的时间内 时间序列往往呈现逐渐增加或减少的总体趋势 时间序列逐渐转变的性态称为时间序列的趋势 趋势通常是长期因素影响的结果 如人口总量的变化 方法的变化等等 趋势成分 时间序列的长期动向 长期影响因素 11 1 2循环成分 时间序列常常呈现环绕趋势线上 下的波动 任何时间间隔超过一年的 环绕趋势线的上 下波动 都可归结为时间序列的循环成分 循环成分 围绕长期趋势线的上下波动 11 1 3季节成分 许多时间序列往往显示出在一年内有规则的运动 这通常由季节因素引起 因此称为季节成分 季节成分 季节因素引起的一年内有规则的运动 11 1 3季节成分 例如 一个游泳池制造商在秋季和冬季各月有较低的销售活动 而在春季和夏季各月有较高的销售量 铲雪设备和防寒衣物的制造商的销售却正好相反 11 1 3季节成分 季节成分也可用来描述任何持续时间小于一年的 有规则的 重复的运动 例如 每天的交通流量资料显示在一天内的 季节 情况 在上 下班拥挤时刻出现高峰 在一天的休息时刻和傍晚出现中等流量 在午夜到清晨出现小流量 季节成分的扩展 11 1 4不规则成分 时间序列的不规则成分是剩余的因素 它用来说明在分离了趋势 循环和季节成分后 时间序列值的偏差 不规则成分是由那些影响时间序列的短期的 不可预期的和不重复出现的因素引起的 它是随机的 无法预测的 不规则成分 短期的 不可预期和不重复出现的因素引起的随机变动 11 1 4不规则成分 时间序列 不规则成分 分离出趋势成分 分离出循环成分 分离出季节成分 11 2利用平滑法进行预测 本节我们讨论三种预测方法 移动平均法 加权移动平均法和指数平滑法 因为每一种方法的都是要 消除 由时间序列的不规则成分所引起的随机波动 所以它们被称为平滑方法 三种平滑方法 移动平均法 加权移动平均法 指数平滑法 11 2利用平滑法进行预测 平滑方法对稳定的时间序列 即没有明显的趋势 循环和季节影响的时间序列 是合适的 这时平滑方法很适应时间序列的水平变化 但当有明显的趋势 循环和季节变差时 平滑方法将不能很好地起作用 平滑方法很容易使用 而且对近距离的预测 如下一个时期的预测 可提供较高的精度水平 预测方法之一的指数平滑法对资料有最低的要求 平滑方法 缺点 优点 11 2 1移动平均法 移动平均法使用时间序列中最近几个时期数据值的平均数作为下一个时期的预测值 移动平均数的计算公式如下 11 1 11 2 2加权移动平均法 移动平均法 加权移动平均法 计算移动平均数时每个观测值权数权数相同 对每期数据值选择不同的权数 然后计算最近n个时期数值的加权平均数作为预测值 通常 最近时期的观测值应取得最大的权数 而比较远的时期权数应依次递减 11 2 3指数平滑法 指数平滑法 加权移动平均法 属于 只选择一个权数 最近时期观测值的权数 其他时期数据值的权数可以自动推算出来 当观测值离预测时期越久远时 权数变得越小 11 2 3指数平滑法 指数平滑法模型 式中ft 1 t 1期时间序列的预测值 yt t期时间序列的实际值 ft t期时间序列的预测值 平滑常数 0 1 11 2 3指数平滑法 2期的预测值 3期预测值 最后 将f3的表达式代入f4的表达式中 有 11 2 3指数平滑法 因此 f4是前三个时间序列数值的加权平均数 y1 y2和y3的系数或权数之和等于1 由此可以得到一个结论 即任何预测值ft 1是以前所有时间序列数值的加权平均数 11 2 3指数平滑法 指数平滑法特点 指数平滑法提供的预测值是以前所有预测值的加权平均数 但所有过去资料未必都需要保留 以用来计算下一个时期的预测值 一旦选定平滑常数 只需要二项的信息就可计算预测值 式 11 2 表明 对给定的 我们只要知道t期时间序列的实际值和预测值 即yt和ft 就可计算t 1期的预测值 11 3利用趋势推测法进行预测 本节我们将说明如何对拥有长期线性趋势的时间序列进行预测 不稳定 随时间呈现持续增加或减少的形态 长期线性趋势数列 趋势推测法可行 平滑法不合适 11 3利用趋势推测法进行预测 例题11 1 考虑一某超市过去10年的自行车销售量时间序列 资料见表11 1 注意 第1年销售了21600辆 第2年销售了22900辆 第10年 即最近一年 销售了31400辆 尽管图11 1显示在过去10年中销售量有上 下波动 但时间序列总的趋势是增长的或向上的 11 3利用趋势推测法进行预测 11 3利用趋势推测法进行预测 图11 1自行车销售时间序列的图形 11 3利用趋势推测法进行预测 图11 2用线性函数对自行车销售量的趋势描述 11 3利用趋势推测法进行预测 被估计的销售量可表示为时间的函数 其表 达式如下 线性趋势方程 上式中tt t期时间序列的趋势值 b0 线性趋势的截距 b1 线性趋势的斜率 t 时间 例11 1解析 11 3利用趋势推测法进行预测 其中 例11 1解析 续 11 3利用趋势推测法进行预测 式中tt t期时间序列的值 n 时期的个数 时间序列的平均值 即 t的平均值 即 t n 例11 1解析 续 11 3利用趋势推测法进行预测 根据计算b0和b1的关系式及表11 1的自行车销售量资料 我们有如下计算结果 例11 1解析 续 11 3利用趋势推测法进行预测 因此 自行车销售量时间序列的线性趋势成分的表达式为 tt 20 4 1 1t 11 6 例11 1解析 续 11 4利用趋势和季节成分进行预测 前面我们已经介绍了如何对有趋势成分的时间序列进行预测 本节我们将把这种讨论扩展到对同时拥有趋势和季节成分的时间序列进行预测的情形 11 4利用趋势和季节成分进行预测 商业和经济中的许多情形是一期与一期的比较 例如 我们想研究和了解失业人数是否比上个月上升1 钢产量是否比上个月上升5 等问题 在使用这些资料时 必须十分小心 因为每当描述季节影响时 这样的比较会使人产生误解 11 4利用趋势和季节成分进行预测 例如 9月份电能消费量比8月份下降3 可能仅仅是由于空调使用减少这一季节影响引起的 而不是因为长期用电量的减少 事实上 在调整季节影响后 我们甚至可以发现用电量是增加的 9月份电能消费量比8月份下降3 的原因 属于长期用电量的减少 空调使用减少引起的 11 4 1乘法模型 基本模型 上式中 yt 时间序列的数值t 趋势成分s 季节成分i 不规则成分 11 4 1乘法模型 下述资料是某公司在过去4年中台式电脑的销售量 单位 千台 数据 例11 2 11 4 1乘法模型 表11 2台式电脑销售量的季度资料 11 4 1乘法模型 11 4 2季节指数的计算 第一步 计算中心化移动平均数 例11 2解析 表11 3台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 11 4 2季节指数的计算 表11 3 续 台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 11 4 2季节指数的计算 表11 3 续 台式电脑销售量时间序列的中心化的移动平均数的计算结果 11 4 2季节指数的计算 11 4 2季节指数的计算 第二步计算季节不规则值 表11 4台式电脑销售量时间数列的季节不规则值 11 4 2季节指数的计算 第三步计算季节指数 例11 2解析 续 表11 5台式电脑销售量时间数列的季节指数计算结果 11 4 3消除时间序列的季节影响 表11 6台式电脑销售量时间数列消除季节影响后的数据 11 4 3消除时间序列的季节影响 图11 5消除季节影响的台式电脑销售量时间序列 11 4 4利用消除季节影响的时间序列确定趋势 tt b0 b1t式中tt t期台式电脑销售量的趋势值 b0 趋势线的截距 b1 趋势线的斜率 第四步 进行趋势预测基本模型 11 4 4利用消除季节影响的时间序列确定趋势 计算b0和b1的公式如下 11 8 11 9 11 4 4利用消除季节影响的时间序列确定趋势 计算结果 例11 2解析 续 11 4 4利用消除季节影响的时间序列确定趋势 tt 5 101 0 148t 因此 时间序列的线性趋势成分的表达式为 由趋势方程可分别产生第17 18 19和20季度的台式电脑销售量预测值为7617 7765 7913和8016台 例11 2解析 续 11 4 5季节调整 季节调整 表11 7台式电脑销售量时间数列的季度预测值 11 4 6基于月度资料的模型 在前面台式电脑销售量的例子中 我们利用季度资料来说明季节指数的计算 但是许多商业情况的预测使用月度资料多于季度资料 联系现实 11 4 6基于月度资料的模型 在这种情况下 首先用12个月的移动平均数代替4个季度的移动平均数 然后是计算每个月的季节指数 而不是每个季度的季节指数 除了这些改变以外 计算和预测方法都是一样的 联系现实 12个月的移动平均数代替4个季度的移动平均数 计算每个月的季节指数 而不是每个季度的季节指数 解决方案的差别 11 4 7循环成分 有时 式 11 8 的乘法模型可扩展到包括循环成分在内 即 11 4 7循环成分 同季节成分一样 循环成分也可表示为趋势的百分比 循环成分相对比较复杂 本节将不对循环成分做进一步的讨论 循环成分的复杂性 循环成分是由于时间序列的多年循环而出现的 与季节成分类似 但是它的时间周期更长一些 获得比较恰当的资料来估计循环成分常常是困难的 循环的长度是变化的 1 指数最早起源于物价指数的编制 英国人ricevaughan1965年首创物价指数 用于度量物价的变化 随后指数的应用范围不断扩大 其度量的内容和编制的方法日益丰富 形成了一个较大的体系 指数的概念 概括而言 描述报告期或报告点价格 数量或价值与基期或基准点相比的相对变化程度的指标称为指数 指数是一种对比性的统计指标 是总体各变量在不同时空的数量对比形成的相对数 11 5指数 指数实际上就是相对比率 对于时间序列y1 y2 yi yn如选其中yb为基准 那么第i时期的指数 指数的概念 11 5 1指数的作用 指数可以用做衡量同一变量在不同时期变化的方向和程度 也可提供比较有关变量变化的情况的根据 衡量同一变量在不同时期变化的方向和程度 提供比较有关变量变化情况的根据 指数 11 5 1指数的作用 指数可以用来调整在不同时期变量变化的实际情况 例如某人经过一段时间 其收入由1000元增到1500元 但消费指数在同期由100增到130 那么他的真实收入实际是 以下只考虑物价指数和物量指数 11 5 2指数的分类 从研究对象的品种数目来看 可以分为单一品种的指数和多品种的综合指数 从比率的基准来看 指数可分为定基指数和环比指数 11 5 2指数的分类 表11 8我国农副产品收购牌价分类指数 以1980年价格为100 11 5 3定基综合价格指数计算公式 单品种的价格指数和数量指数都是容易计算的 以基期价格为p0 报告期价格为p1 报告期价格指数 以基期数量为q0 报告期数量为q1 报告期数量指数 iq q1 100 q0 11 12 单品种价格指数 11 5 3定基综合价格指数计算公式 多品种的情形复杂得多 例如 根据下列资料 作出学校办公用消耗品价格指数 多品种价格指数 11 5 3定基综合价格指数计算公式 求综合价格指数时 不能简单相加如 因为 各p1i的单位不同 它们分别是元 箱 元 盒 元 桶等等 各品种作为办公用消耗品 它们的重要性也不同 11 5 3定基综合价格指数计算公式 为了解决这个问题 常用的方法是加权 以消耗数量q加权 这样得到的指数公式称为laspeyres价格指数 为了比较不同报告期的指数 报告期下标用n表示 11 13 laspeyres价格指数 11 5 3定基综合价格指数计算公式 现在计算上例的laspeyres价格指数 11 5 3定基综合价格指数计算公式 由此得学校办公用消耗品laspeyres价格指数 1998年为100 1999年 2000年 课堂练习 下表为美国某地区一组水果2000年和2005年的单位价格和销售量 若以2000年为基期 计算该组水果2005年的拉氏指数 解 计算拉氏数量指数为 计算拉氏质量指数为 11 5 3定基综合价格指数计算公式 有时不以基期消耗q0加权 而以报告期qn加权 所得指数称为paasche价格指数 paasche价格指数 11 14 11 5 3定基综合价格指数计算公式 paasche价格指数的不同 paasche价格指数与laspeyres价格指数数值不同 它的经济意义也不同 它表示学校要购买各品种的当前消耗数量时 价格的变动情况和多花或少花多少钱 paasche价格指数的不同 例题 下表为美国某地区一组水果2000年和2005年的单位价格和销售量 若以2000年为基期 计算该组水果2005年的帕氏指数 解 计算帕氏数量指数为 计算帕氏质量指数为 拉氏指数与帕氏指数的比较 1 从经济意义考虑 数量指数一般使用拉氏数量指数计算 质量指数一般使用帕氏质量指数计算 2 当价格和销售量呈反方向变动的某段时间内 根据同一项资料计算的拉氏指数大于帕氏指数 3 假如某段时间内价格与销售量呈同方向变动 那么 根据同样一项资料计算的拉氏指数小于帕氏指数 11 5 4综合数量指数 像工业产品生产量指数 农产品收获量指数和商品销售量指数都是多品种综合数量指数 和价格指数一样 各品种的数量q不能直接相加 必须用加权的方法 以价格p为权 可能有三种形式 11 5 4综合数量指数 用报告期价格为权 得 三种加权方法 11 15 用基期价格p0i为权 得 11 16 用固定价格pki为权 得 11 17 11 5 4综合数量指数 上式中pki表示第i品种在某一段时期的固定价格 不变价格 例如 我国在计算工业生产量指数和农业产量指数时就用这种方法 我国工业统计中曾使用过1952年 1957年 1970年和1980年的不变价格 11 5 5基期的变换和指数序列的拼接 当两个不同基期的指数序列需要彼此前后对照时 就要换成共同的基期 但这并不需要重新用公式计算 例如 对于下述以1999年为基期的指数序列 11 5 5基期的变换和指数序列的拼接 要换成以1996年为基期 但相对的比率关系不变 11 5 5基期的变换和指数序列的拼接 在编制较长时期的指数序列时 使用同一基期 如果指数不断增加 数值可能很大 使用并不方便 因此常常改变基期 现实中的问题和解决办法 11 5 5基期的变换和指数序列的拼接 例11 3 日本政府机关就规定 各指数每5年 公元年末位为0或5的年份 改变一次 这样便于短时期的比较 但有时有必要做长时期的观察 这就需要拼接成同一基期的指数序列 现实中的问题和解决办法 11 5 5基期的变换和指数序列的拼接 表11 9日本消费者物价指数 平均指数是以某一时期的价值指标为权数 对个体指数加权平均计算得到的总指数 其中 作为权数的价值指标通常是两个变量 如销售量和价格的乘积 个体指数可以是个体数量指标指数 即也可以是个体质量指标指数 即 当所知资料为全面资料时 可以采用综合指数和平均指数两种方法来编制总指数 但是在得不到全面资料得情况下必须运用平均指数法来编制总指数 1 加权算术平均法编制数量指标指数 适用范围 已知数量指标个体指数和基期总量权数 求数量指标指数时应采用加权算术平均数指数的计算形式 计算方法 加权算术平均法使用基期价值量指标作为权数 通常是对个体指标指数加权算术平均计算得出 因为突出其经济意义 多用于计算数量指标 数量指标 计算公式一般为 式中 是数量加权算术平均指标指数 是个体数量指标指数 例 表13 3给出了中国某地区三种水果的有关资料 计算其销售量的加权算术平均数指数 解 三种水果销售量的加权平均数指标为 计算结果表明 报告期与基期相比 销售量平均提高了24 92 1 加权调和平均法编制质量指标指数 适用范围 加权调和平均法是以报告期价值量指标作为权数 对个体质量指标指数加权调和平均计算得出 从指数经济意义出发 加权调和平均法通常用于编制质量指数 质量指标 计算公式一般为 式中 是质量加权调和平均指标指数 是个体质量指标指数 例题13 6 表13 3给出了中国某地区三种水果的有关资料 计算其销售量的加权调和平均数指数 解 三种水果单位价格的加权调和平均数指标为 计算结果表明 三种水果的价格报告期比基期平均降低了2 5 1 指数体系概念和应用 在实际中 为了更深入研究社会经济相互关系的现象 除了确定单个指数的计算方法 更重要的是确定几个指数组成的指数体系 指数体系是指相互联系且在数值上具有一定数量对等关系的一系列指数所形成的体系 每一个指数体系中 一个指数称为总变动指数 其余的称为因素指数 总变动指数是反映现象总量变动的指数 等于报告期与基期总量之比 指数间的这种数量对等关系最典型的表现形式是 一个总变动指数等于若干个 两个或两个以上 因素变动指数的乘积 例如 销售额指数 销售量指数 价格指数 1 进行因素分析 即分析各种因素指数对总变动指数影响的方向和程度 2 进行指数间的相互推算 即根据已知的指数推算未知的指数 指数体系的主要作用 1 指数体系的因素分析 因素分析的分类 1 按影响因素的多少 两因素分析和多因素分析 2 按分析指标的表现形式 总量指标变动因素分析和平均指标变动因素分析 因素分析是借助指数体系来分析社会经济现象变动中各种因素变动发生作用的影响程度 总量指标变动因素分析 1 指数体系的因素分析 总量指标变动因素分析 两因素分析 在指标体系中 若某个总量指标 结果指标 是两个因素指标的乘积 则可以根据指标关系构造指数体系 它是总量指标因素分析法的基础 总体总量指标 数量指标 质量指标 总量指标指数中的对等关系除了乘法关系外还有加法关系 即结果指数的分子分母之差等于各因素指数分子分母之差的和 总量指标变动额 数量指标变动额 质量指标变动额 例题 根据例13 2数据资料 结合上面得出的计算结果 利用指数体系分析价格和销售量变动对销售额的影响 解 销售额指数 价格指数 146 95 销售量指数 105 8 三者的乘法数量关系为 由此也可以看出 2005年与2000年相比 三种水果的销售额提高了55 47 其中由于价格变动而使得销售额提高了46 95 由于销售量变动而使得销售额提高了5 8 例题 根据例13 2数据资料 结合上面得出的计算结果 利用指数体系分析价格和销售量变动对销售额的影响 解 续上页 销售额变动 39 5120 25 4143 14 0977价格变动的影响额 39 5120 26 8874 12 6246销售量变动的影响额 26 8874 25 4143 1 4731三者的加法数量关系为 14 0977 12 6246 1 4731表明2005年与2000年相比 三种水果的销售额增长了14 0977美元 其中由于价格变动而使得销售额增加了12 6246美元 由于销售量变动而使得销售额增加了1 4731美元 1 指数体系的因素分析 总量指标变动因素分析 多因素分析 根据分析研究问题的需要 还可建立多个因素指数组成的指数体系 对总量变动作多因素分析 例如 分析工业总产值的变动 可以按全体职工人数 工人占全部职工人数的比重 与工人劳动生产率等三个因素的组合 进行三因素分析 用乘法关系表示如下 1 指数体系的因素分析 总平均数指数因素分析 指数因素分析 除了采用综合指数的形式对总量指标的变动进行外 还可结合总平均数指数进行 平均指标是反映社会经济现象总体一般水平的指标 总体一般水平决定于两个因素 1 总体内部各部分的水平 2 总体的结构 即各部分在总体中所占的比重 平均指标的变动是这两个因素变动的综合结果 1 指数体系的因素分析 总平均数指数因素分析 对总平均指标的变动进行因素分析 也就是对总平均数指数进行因素分析 总平均数指数是两个时期的总平均数直接对比计算 即平均数变动指标 式中 是各组变量值 是各组的权数 表现的是总体单位数结构 1 指数体系的因素分析 总平均数指数因素分析 固定构成指数 影响平均数的一个因素是变量值 为了测定它的变动可计算固定构成指数 把总体单位数结果固定下来 测定各组变量值的变动