第三节、期权套期保值

第三节 期权对价格变化的敏感性指标 The Greeks 及期权套期保值 一 期权对价格变化的敏感性指标 The Greeks 期权价格的敏感性 Greeks 是指期权价格决定因素的变动对期权价格的影响程度 即当影响期权价格因素发生一个微小变化时 期权价格的变动程度 或是期权价格对其决定因素变动的反应程度 常用的 Greeks 有 delta gamma vega 和theta pho 1 TheDelta Delta 表示期权标的物价格的变动对期权价格的影响程度 例如一个期权的delta是0 5 说明标的物价格上升1 期权价格上升50美分 一般地 无收益资产欧式看涨和看跌期权的delta为 无收益资产欧式看涨期权的delta 0 1 无收益资产欧式看跌期权的delta 1 0无风险利率水平越高 无收益资产看涨期权和欧式看跌期权的delta也越高 根据N d1 的公式分析 1 TheDelta 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的delta为 forcalloption forputoption 期货欧式看涨和看跌期权的delta为 forcalloption forputoption 0 期权价格与标的物价格同向变动 0 期权价格与标的物价格反向变动 1 1 期权价格变动小于标的物价格变动 其它资产的delta 标的资产本身的delta为1债券的delta为0 假设与股票市场无关 股票远期合约的delta 无收益资产与支付已知现金收益资产的delta为1 因为 f S Ke r T t f S I Ke r T t 对于支付已知收益率的资产 其股票远期合约的delta为 e q T t 因为f Se q T t Ke r T t 对各种期货的delta无收益资产与支付已知现金收益资产 其期货的delta为er T t 因为 F Ser T t F S I er T t 对于支付已知收益率的资产 其期货的delta为 e r q T t 因为F Se r q T t 证券组合的delta Wherewidenotestheweightcoefficientoftheithasset anddenotesthedeltaofithasset 当一个证券组合的delta为0时 我们称之为delta中性组合 Thegeometricinterpretationofthepartialderivative OptionPriceandDelta 2 TheGamma Gamma 表示当期权标的物价格发生很小变动时 对期权delta变化的影响程度 例如一个期权的gamma是0 1 说明标的物价格上升1 期权的delta上升0 1 一般地 无收益资产欧式看涨和看跌期权的gamma为 longposition forcallandputoptions 根据计算公式 平价期权Gamma最大 同时 当有效期很短时 T t 越小 Gamma越大 2 TheGamma 有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Gamma为 期货欧式看涨和看跌期权的Gamma为 forcallandputoption 其它资产的Gamma标的资产 债券 远期合约 期货的Gamma值均为0 根据它们的delta值求得 当一个证券组合的为Gamma0时 我们称之为Gamma中性组合 Thecurvatureofthecurvesinthefigures ApositivegammaexamplePositiveGammaunderlyingAssetPriceAnegativegammaexampleNegativeGammaUnderlyingAssetPrice 3 Vega Vega反映标的物价格的波动性对期权价格的影响程度 即标的资产的价格波动性的微小变化导致期权价格的变化 例如 一个期权vega是2 则说明当标的资产的价格波动性增加1 期权的价格增加2美分 一般地 当一个证券组合的vega为0时 我们称之为vega中性组合 Vega的计算 无收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega为有红利收益资产欧式看涨和看跌期权的Vega为 期货欧式看涨和看跌期权的Vega为 forcallandputoption 当一个证券组合的vega为0时 我们称之为vega中性组合 其它资产的Vega 标的资产本身的Vega为0 认为标的资产与标准差无关 标的资产远期合约的Vega为0因为各类资产的远期合约价值均与与标准差无关f S Ke r T t f S I Ke r T t f Se q T t Ke r T t 对各种期货的Vega为0因为各类资产的期货价值均与与标准差无关 F Ser T t F S I er T t F Se r q T t 债券的Vega为0当一个证券组合的vega为0时 我们称之为vega中性组合 4 Rho Rho反映的是利率变化对期权价格的影响程度 其计算公式为 无收益资产欧式看涨期权的Rho为无收益资产欧式看跌期权的Rho为 这两个公式对于支付连续收益率和期货期权同样适用 对N d2 做适当的调整即可 对应于国外利率的欧式外汇看涨期权的Rho为 对应于国外利率的欧式外汇看跌期权的Rho为 Rho的特点 看涨期权的Rho一般为正 看跌期权的Rho一般为负 说明利率对看涨期权的价格有正的影响 对看跌期权有正负的影响 Rho与S X有关 一般越是实值的期权 Rho的绝对值越大 越是虚值的期权 Rho的绝对值越小 Rho与权利期间有关 且同方向变化 一般权利期间越长 Rho的绝对值越大 权利期间越短 Rho的绝对值越小 在到期日 Rho为0 其它资产的Rho 标的资产本身的Rho为0 认为标的资产与利率无关 标的资产远期合约的Rho为 rho T t Ke r T t f S Ke r T t f S I Ke r T t f Se q T t Ke r T t 对各种期货的Rho为 rho T t F F Ser T t F S I er T t F Se r q T t 当一个证券组合的Rho为0时 我们称之为Rho中性组合 二 Greeks在风险管理中的应用 1 一般方法组合套利的基本思想是组合的净值必须与风险因子 如标的资产的价格 之间没有敏感性 如果我们的证券组合由三个资产组成 记 V 证券组合的价值 ni 第i个资产的数量Ai 第i个资产的市场价值保值的目标是求ni 使得当影响资产价格的因素发生变化时 证券组合的价值不变 即 求n1 n2andn3 使得当影响资产价格的因素x变化时 证券组合的价值基本不变 一般地 我们可以用n个资产构成的组合对n 1个风险因子进行套期保值 例如 可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值 2 Delta套期保值 含义 当一个组合的 为0时 称为 套期保值的组合 例如 可以用3个资产构成的组合对股票价格和利率两个风险因子进行套期保值 对于标的资产价格S的一个微小变化 组合价值基本上为常数的基本条件为 V portfolio S 0例如 卖出股票的一份看涨期权 假设S 50 K 50 T 10weeks timetomaturity 0 5 andr 0 03 则 c S K r 0 554 问题 你应当购买多少份股票可实现Delta套期保值 设我们购买ns股票 因为股票的 是1 对于Delta套期保值 我们选ns 使得 ns 1 1 0 554 0这样我们应当购买0 554份股票 Question CanweuseabondtoDelta hedgeanoption 3 Gamma套期保值 含义 当一个组合的 为0时 称为 套期保值的组合 例如 3个资产构成的组合 其 值为 如果一个组合已经delta hedged 即S的微小变化 其价值基本上是常数 为什么还需要Gamma hedge Example previousexample 1份看涨期权的空头 0 554份的股票 此组合为Deltahedged 我们看一下股票价格的不同变化对组合的影响 Smallchange 当S从50to51 根据B S公式 看涨期权空头的价值变化 减少了 为 5 064 4 492 0 572 股票的价值则上升了0 554 总的损失为 0 572 0 554 0 018 仅是股票价格变化的1 8 Example Largechange 当S从50to60 根据B S公式 看涨期权空头的价值变化 减少了 为 11 577 4 492 7 09 股票的价值则上升了5 54 总的损失为 7 09 5 54 1 55 是股票价格变化的15 5 从上例可以看出 Deltahedging的效果只有在股票价格变化微小时才是好的 在Deltahedging的基础上 再进行Gammahedging可以改进hedging的质量 为此 我们应用Taylorexpansion 购买0 554份股票可以帮助我们保值第一项 但不能保值第二项 Gammahedging可以保值第二项 当 10时 第二项为 1 8 它基本上可以弥补 1 55的损失 差异在Taylorexpansion的第三 四项 问题 1 CanGamma hedgingalonebemoreeffectivethanDelta hedging 2 CanweuseafixedstockpositiontoGamma hedgeanoption 3 Canweuseanothercalloptiononthesamestockbutwithdifferentstrikepriceofsay K 55 toGamma hedgeourwrittencalloption withK 50 4 Delta和Gamma套期保值的综合运用 设计一个组合 使其既Delta中性又Gamma中性 Example 应用以上的例子 有一个看涨期权的空头 其 0 554 0 0361 应用股票和第二个看涨期权 标的物相同 K 55 T 10weeks 构造一个Delta 和Gamma hedged的组合 根据Black Scholes公式 第二个看涨期权的 0 382 0 0348 假设需要ns份股票 n2第二个看涨期权 这样 组合的价值为 V nsS n2C2 C1组合的Delta和Gamma分别为 ns 0 382n2 0 554 00 0 0348n2 0 0361 0解之得 ns 0 158 n2 1 037 分析 看保值效果如何 V ns S n2 C2 C1当S从50to51 组合价值的变化仅为0 1 当S从50to60 组合价值的变化 increases 为20cents 大大低于 1 55的水平 onlyDeltahedged 问题 Whydoweusuallyneed3assetstoformaportfoliothatisbothDelta hedgedandGamma hedged Ingeneral weneednassetstoformaportfoliothatisneutraltosmallvariationsofn 1factors 5 交易费用与套期保值 为了保证组合处于中性 要不断调整组合 然而频繁调整组合会增加交易费用 在实际中 常使用等参数来评估组合的风险 然后根据对等的预测 来考虑是否有必要对组合进行调整 如果风险对自己有利或可以接受 则不调整 否则 则进行调整 例如 某管理者的5月份投资组合中有股票A 10000股 他准备将股票A的市场风险减少一半 即将股票A的 由10000减少为5000 不卖出股票 此时 市场中的有关信息如下