高考数学总复习 第四章 第三节平面向量的数量积课件 文.ppt

第三节平面向量的数量积 第四章平面向量 数系的扩充与复数的引入 考纲要求 1 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3 掌握数量积的坐标表达式 会进行平面向量数量积的运算 4 能运用数量积表示两个向量的夹角 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 课前自修 知识梳理 一 平面向量的数量积的定义1 向量a b的夹角 已知两个非零向量a b 过o点作 则 aob 0 180 叫做向量a b的夹角 当且仅当两个非零向量a b同方向时 0 当且仅当a b反方向时 180 同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题 2 a与b垂直 如果a b的夹角为90 则称a与b垂直 记作a b 3 a与b的数量积 两个非零向量a b 它们的夹角为 则 a b cos 叫做a与b的数量积 或内积 记作a b 即ab a b cos 规定0 a 0 非零向量a与b当且仅当a b时 90 这时a b 0 5 a b的几何意义 a b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 二 平面向量数量积的性质设a b是两个非零向量 e是单位向量 于是有 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 三 平面向量数量积的运算律1 交换律成立 a b b a 2 对实数的结合律成立 a b a b a b r 3 分配律成立 a b c a c b c c a b 基础自测 1 2012 福建卷 已知向量a x 1 2 b 2 1 则a b的充要条件是 a x b x 1c x 5d x 0 解析 因为a b 所以a b 0 即 x 1 2 2 1 0 解得x 0 故选d 答案 d 4 已知平面向量 1 2 2 则 2 的值是 考点探究 考点一 平面向量的数量积的概念 例1 判断下列各命题正确与否 1 若a 0 a b a c 则b c 2 若a b a c 则b c当且仅当a 0时成立 3 a b c a b c 对任意向量a b c都成立 4 对任一向量a 有a2 a 2 5 0a 0 6 0 a 0 思路点拨 1 2 可由数量积的定义判断 3 通过计算判断 4 把a2转化成a a a 2可判断 对于 5 与 6 要清楚0a为零向量 而0 a为零 解析 1 a b a c a b cos a c cos 其中 分别为a与b a与c的夹角 a 0 b cos c cos cos 与cos 不一定相等 b 与 c 不一定相等 b与c也不一定相等 1 不正确 2 若a b a c 则 a b cos a c cos 为a与b a与c的夹角 a b cos c cos 0 a 0或 b cos c cos 当b c时 b cos 与 c cos 可能相等 2 不正确 3 a b c a b cos c a b c a b c cos 其中 分别为a与b b与c的夹角 a b c是与c共线的向量 a b c 是与a共线的向量 3 不正确 4 正确 5 不正确 6 正确 点评 判断上述问题的关键是要掌握向量的数量积的含义 向量的数量积的运算律不同于实数乘法的运算律 通过该题我们应搞清楚向量的数乘与数量积之间的区别与联系 变式探究 1 2012 浙江卷 设a b是两个非零向量 a 若 a b a b 则a bb 若a b 则 a b a b c 若 a b a b 则存在实数 使得b ad 若存在实数 使得b a 则 a b a b 解析 利用向量运算法则 特别是 a 2 a2求解 由 a b a b 知 a b 2 a b 2 即a2 2a b b2 a 2 2 a b b 2 a b a b a b a b cos cos 1 此时a与b反向共线 因此a错误 当a b时 a与b不反向也不共线 因此b错误 若 a b a b 则存在实数 1 使b a 满足a与b反向共线 故c正确 若存在实数 使得b a 则 a b a a 1 a a b a a 1 a 只有当 1 0时 a b a b 才能成立 否则不能成立 故d错误 答案 c 考点二 求向量的数量积 变式探究 考点三 两个向量数量积性质的应用 变式探究 3 2012 淮南市模拟 若向量a 2 1 b 3 x 若 2a b b 则x的值为 a 3b 1或3c 1d 3或1 b 考点四 两个向量垂直的充要条件的应用 例4 已知a cos sin b cos sin 0 1 求证 a b与a b互相垂直 2 若ka b与a kb的模相等 求 其中k为非零实数 1 证明 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 sin2 cos2 sin2 0 a b与a b互相垂直 变式探究 考点五 向量模公式 a 2 a2的应用 例5 2012 衡阳八中月考 已知 a b a b 2 则 3a 2b 解析 因为 a b 2 a 2 2a b b 2 4 4 2a b 4 解得a b 2 3a 2b 2 9 a 2 4 b 2 12a b 36 16 24 28 故 3a 2b 2 答案 2 变式探究 6 2012 济南市模拟 已知向量a与b的夹角为120 a 3 a b 则 b 等于 a 5b 4c 3d 1 解析 a 3 a b 2 a b 2 a2 b2 2a b 13 a 2 b 2 2 a b cos120 13 b 2 3 b 4 0 b 4 b 1 舍去 故选b 答案 b 7 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b a 0b 2c 4d 8 考点六 求向量的夹角 或其函数值 例6 2012 佛山市二模 设向量a b满足 a 1 b 2 a a b 0 则a与b的夹角是 a 30 b 60 c 90 d 120 变式探究 8 2012 新课标全国卷 已知向量a b夹角为45 且 a 1 2a b 则 b 课时升华 1 本节的重点 难点 平面向量的数量积及其几何意义 向量垂直的充要条件 利用平面向量的数量积处理有关长度 角度和垂直的问题 2 向量的数量积是向量之间的一种乘法运算 它是向量与向量的运算 结果却是一个数量 所以向量数量积的坐标表示是纯数量的坐标表示 3 向量a与b的夹角 1 当a与b平移成有公共起点时两向量所成的角才是夹角 2 0 a b 180 特别地 当 a b 0 时 两向量共线且方向相同 当 a b 180 时 两向量共线且方向相反 当 a b 90 时 两向量垂直 3 4 特别注意 1 数量积不满足结合律 即a b c a b c 2 消去律不成立 即由a b a c不能得到b c 3 由a b 0不能得到a 0或b 0 4 但是乘法公式成立 a b a b a2 b2 a 2 b 2 a b 2 a2 2a b b2 a 2 2a b b 2 感悟高考 品味高考 2 2012 湖北卷 已知向量a 1 0 b 1 1 则 1 与2a b同向的单位向量的坐标表示为 2 向