浅谈微积分基本定理的发现.doc

浅谈微积分基本定理的发现摘要：17世纪上半叶，微分与积分的基本问题被看作不同的类型来处理虽然也有人注意到了某些联系，但并没有人能将这些联系作为一般规律明确提出只有莱布尼兹和牛顿将微分和积分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算，即微积分基本定理而这正是微积分建立的关键所在，只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学本文主要介绍牛顿和莱布尼兹对微积分基本定理的发现及两种学说的比较“微积分基本定理”也称为牛顿莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算微积分基本定理是微积分乃至数学史中的重要定理，当然，它有着不短的历史15-16世纪，欧洲文艺复兴以来，一大批数学家沿着古人的道路，在求切线、求面积的方法中，为微积分基本定理的诞生做出了贡献以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的沃利斯是在牛顿和莱布尼兹以前，将分析方法引入微积分方面贡献最为突出的数学家他最重要的著作是无穷算术（1655），书名表明他用本质上是算术的也就是牛顿所说“分析”的途径发展积分法因此，站在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家们面临的艰巨任务经过了半个世纪的酝酿，牛顿和莱布尼兹出场了时代的需要与个人的才识，使他们完成了微积分创立中最后也是最关键的一步在此过程中，他们共同分享着这份伟大的荣耀1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在1673-1676年间也发表了微积分思想的论著牛顿将曲线切线和求面积之间的互逆关系从纯几何形式推广到代数形式的互逆运算形式，这是历史上第一次明确给出微积分基本定理1675-1676年间，莱布尼兹也给出了微积分基本定理1693年，他给出了上述定理的一个证明过程微积分基本定理的发现，不但使看起来毫不相关的求积与求变化率紧密相连，而且使求积的方法有了革命性的突破微积分基本定理的要义之一，就是说求积是求变化率的反运算，所以会求变化率就能解决许多求积的问题，而微分学通过有系统的发展后，求变化率的计算变成远比求积简单的一种运算 牛顿与微积分基本定理17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克牛顿（16421727）是从物理学的角度研究微积分的他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论数学史上通常把牛顿的微积分叫做流数法牛顿充分认识到他这个方法的普遍意义，并且明确指出：流数法“不仅可以用来作出任何曲线和切线，而且可以用来解出其他关于曲度（曲率）、面积、曲线长度、重心等深奥问题”这个认识是远远超过费马、巴罗等微积分先前学者的把微积分作为一种普遍有效的计算方法的第一个人是牛顿1牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题：（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学；（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系,这相当于积分学牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程；（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系 牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文流数简论，这也是历史上第一篇系统的微积分文献2在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术” （积分）；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”6流数简论标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的流数简论在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：运用无穷多项方程的分析学（简称分析学，1669）；流数法与无穷级数（简称流数法，1671）；曲线求积术（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程在分析学中，牛顿回避了流数简论中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，记作 ，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩在论文流数法中，牛顿又恢复了运动学观点他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的在流数法中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系”在流数法和分析学中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：流数法以动力学连续变化的观点代替了分析学的静力学不可分量法5牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度1687年，牛顿出版了他的力学巨著自然哲学的数学原理，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表虽然牛顿的微积分与现代微积分在概念的严格表述和理论的系统性、完整性方面存在着许多差别，但是，正如曲线图形求积术所表明的，牛顿试图以函数为考察对象，以导数为中心概念，并把它奠定在极限基础之上的做法，正确地反映了微积分发展的最终方向 纵观牛顿研究微积分的全过程，可以发现，牛顿研究的着力点与他之前的数学家有很大的不同以前人们对求积法比对切线法远为热心，这样致力研究的结果，非但不利于导数这一核心概念的形成，而且难以透彻地提示出微分和积分的可逆关系，不利于确立微积分基本原理，最终也就无法通过基本定理这条捷径来解决普通的求积问题牛顿的天才首先就在于它比任何人都清楚地看到这一点，从而把研究的重点放到导数概念及其算法规则上牛顿天才的另一表现是他敏锐地意识到无穷级数对于表示函数和参与积分的巨大作用，这使他所发明的各种方法具有普遍的可行性 莱布尼兹与微积分基本定理法国数学家、哲学家莱布尼兹（16461716）是一位博学巨人他除了数学以外，在哲学、法学、历史学、语言学、地质学、逻辑学、物理学以及钱币学、人类学等许多方面，都有过出色的贡献他留有的辉煌成就首推数学和哲学，他是微积分的又一位独立发明人 尽管牛顿发明微积分主要是依靠了高度归纳算法的能力，即“新分析法”，但自然哲学的数学原理中并没有明显的分析形式的微积分相反，整部著作却以综合几何语言写成就数学而言，这种披在微积分上的几何外衣，使牛顿的流数术显得僵硬呆板18世纪的英国数学，正是由于固守牛顿的几何形式而未能得到应有的发展与牛顿流数论的运动学背景不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考1673年，他因在帕斯卡的有关论文中“突然看到一束光明”，而提出了自己的“微分三角形”理论借助于这种无限小三角形，他迅速地、毫无困难地了建立大量定理，其中包括后来在巴罗和格里高利的著作中见到的几乎所有定理 在对微分特征三角形的研究中，莱布尼兹逐渐认识到了什么是求曲线切线和求曲线下面积的实质，并发现了这两类问题的互逆关系他的目标，是要比巴罗等人更上一层楼，建立起一种更一般的算法，将以往解决这两类问题的各种结果和技巧统一起来从自己早年关于数列的研究中，莱布尼兹找到了通向这一目标的道路6 早在1666年，莱布尼兹便在序列的求和运算与求差运算间发现了它们的互逆关系从1672年开始，莱布尼兹将他对数列研究的结果与微积分运算联系起来他通过把曲线的纵坐标想象成一组无穷序列，得出了“求切线不过是求差，求积不过是求和”的结论 莱布尼兹首先着眼于求和，从最简单的直线函数开始，并逐渐从一串离散值增量过渡到任意函数的增量在1675年10月29日的一份手稿中，他引入了我们现在熟知的积分符号“”，这显然是求和一词sum首字母的拉长稍后，在11月11日的手稿中，他又引进了微分记号dx来表示两相邻x的值的差，并开始探索 运算与d运算的关系一年之后，莱布尼兹已经能够给出幂函数的微分与积分公式不久，他又给出了计算复合函数微分的链式法则1677年，莱布尼兹在一篇手稿中明确陈述了微积分基本定理1684年莱布尼兹发表了他的第一篇微分学论文新方法，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献该文是莱布尼兹对自己1673年以来微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号，并明确陈述了函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文深奥的几何与不可分量及无限的分析这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系而正是在这篇论文中，积分号第一次出现于印刷出版物上对符号的精心选择，是莱布尼兹微积分的一大特点他引进的符号体现了微分与积分的“差”与“和”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今5 莱布尼用无穷小的方法求得很多公式，譬如指数函数、对数函数的微分式等他把积分看成无穷小的和，也知道微积分基本定理，而且更将微分及积分的运算性质和公式做个总整理而使微积分学变成一套有系统的学问莱布尼兹创造的微积分符号，正像印度阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展莱布尼兹是数学史上最杰出的符号创造者之一，他的微积分符号非常方便，牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼兹所采用的符号现今仍在使用莱布尼兹比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一 虽然莱布尼兹的论证不严格，但他的观察非常敏锐，知道怎样的公式才是对的，又设计一套非常方便的符号及运算方法，所以他对微积分的贡献非常大其不严格处，则有待极限方法的引入后，先定义导数再定义微分式这种方法来补足 两种学说比较从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼兹大约早10年，但从正式公开发表的时间说牛顿却比莱布尼兹要晚牛顿系统论述“流数术”的重要著作流数术和无穷极数是1671年写成的，但因1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书1736年才发表，这比莱布尼兹的论文要晚半个世纪另外也有书中记载：牛顿于1687年7月，用拉丁文发表了他的巨著自然哲学的数学原理，在此文中提出了微积分的思想他用“0”表示无限小增量，求出瞬时变化率，后来他把变量X称为流量，X的瞬时变化率称为流数，整个微积分学称为“流数学” 莱布尼兹在1684年10月发表的教师学报上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献牛顿在1687年出版的自然哲学的数学原理的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外”因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的 莱布尼兹创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的莱布尼兹是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼兹高一等，但莱布尼兹的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展 莱布尼兹终生奋斗的主要目标是寻求一种可以获得知识和创造发明的普遍方法这种努力导致许多数学的发现，最突出的是微积分学牛顿建立微积分主要是从运动学的观点出发，而莱布尼兹则从几何学的角度去考虑3两人微积分工作的起点不同牛顿一开始就表现集大成者的姿态，在对前人工作进行分析综合的基础上，建立起一个概念明确、算法正确、应用有效、体系完善的理论牛顿十分重视思想的合理性，一再修改作为他学说出发点的概念的逻辑基础相反，莱布尼兹是在迅速发现和揭示微积分基本原理的基础上发展他的学说他的天才，表现在深刻的洞察力和有效的扩展上，而不是严密的表述和体系的逻辑完整上这种差异的形成，除了有客观上的原因外，与各自的气质很有关系牛顿是经验的，具体的和谨慎的，而莱布尼兹是富于想象的，喜欢推广的而且是大胆的 莱布尼兹的微积分思想没有牛顿那样细腻，但逻辑程式却很清楚，这与他们各人的哲学思想有关牛顿属于“英国经验主义者”，而莱布尼兹则属于“大陆理性主义者”牛顿的流数概念及理论，充满着经验主义气息莱布尼兹的微积分概念和算法程序，表现了逻辑发展的必然趋势1 就微积分本质而言，作为牛顿学说的基本概念，是以连续运动的直观思想为基础的流数，即随时间的变化而变化的变化率尤其是在后阶段，牛顿把x和y的无穷小量的增量作为求流数或导数的手段，当增量越来越小时，流数实际上就是增量之比的极限而在莱布尼兹的方法中起中心作用的概念，则是几何变量的离散的无穷小之差-微分，它直接用x和y的无穷小增量，即微分来求出它们之间的关系这种差异反映了两人不同的认识方向牛顿从物理学中看到了速度及其变化的意义；莱布尼兹则从他的哲学图式中看到了微分相应于单子的价值牛顿以变化率，即导数的概念作为其学说的核心由此出发，通过逆过程来解决面积和体积问题莱布尼兹则把独立的微分和作为基本概念，面积和体积被设想成无穷多个微分之和，只在实际计算中才用反微分来求这些和莱布尼兹并不真正认为无穷小量实际存在，他说：无穷小量是心理上的虚构他把无穷小量是否存在的问题，与将无穷小量参与运算获得正确结果这件事，区别对待不论它们是否存在，它们总可以作为一些设想的对象，以便用来普遍简写和陈述在处理微积分的许多细节上，牛顿表现的谨慎而莱布尼兹表现大胆在缺乏圆满定义的情况下，莱布尼兹经常借助于类比来说明它的无穷小微分的实质例如，他有时把微分与有限量之间的关系，类比成倾向与运动的关系，或者点与线的关系等因为运动的倾向还不成其为运动，就如点与线不同类一样，所以将运动的倾向注入实际运动中，好比把点加到线上去一样，等于不加沿着这个思路，莱布尼兹又把微分之积作为微分和的可略去不计的无穷小量于是，根据这些假说，莱布尼兹不仅推出了一些标准的微分法公式，而且用这些公式顺利地计算了微分的微分-高阶微分相反，牛顿则力求不作类比和假设即使对一些难以说清楚的概念，他宁可采用心照不宣地含糊过去，也不作明显缺乏严密性基础的类比我不作假设，是牛顿著名的口号他认为科学在方法上需要的主要是实验、归纳和数学，而不是假设他的这一科学方法论思想有片面性，但它又从一个侧面反映了牛顿严肃的治学态度牛顿和莱布尼兹都清楚，他们是在创立一门具有新的算法特征的学科但是，莱布尼兹更关心的是，用运算公式创造出广泛意义下的微积分他努力发展符号体系，建立微积分的规范，即法则和公式系统牛顿则不同，他不注重发现法则，而把主要精力放在完善学说和扩大应用上牛顿的广泛的微积分应用，不仅证明了它的价值，而且远远超过莱布尼兹的工作，刺激并决定了几乎整个18世纪分析的方向无可否认，正如恩格斯所说的，牛顿和莱布尼兹两人都是经过一个世纪孕育后的微积分的最后完成者他们各自提炼了微积分的基本概念和算法，各自给微积分穿上了算术的外衣，使其成为强有力的算法理论，又各自给微积分基本应用问题以合理的归类，最后将其