时域有限差分方法林志立

电磁学中几种重要的数值计算方法 有限差分法FiniteDifferenceMethod静电场 静磁场的有限差分法 时域行波的电磁场的时域有限差分法 有限元法 FiniteElementMethod 数值求解各类独立的偏微分方程 电磁学 材料力学 工程热力学 声学等等 矩量法 MethodofMoments 适合于细线 平面形状结构的电磁场问题 电磁学基本方程 麦克斯韦方程组 MaxwellEquations JamesClerkMaxwell 1831 1879 法拉第感应定律 安培环路定律 高斯定律 电场 高斯定律 磁场 物质本构关系 ConstitutiveRelations 欧姆定律 电极化 磁化 一切电磁场和电磁波问题均可由以上方程 以及各类具体的边界条件所决定 麦克斯韦方程组中的运算符 散度 Divergence 旋度 Curl 连续函数的偏微分运算 设有一连续函数 现欲求 FDTD的基本思想 连续偏微分的有限阶近似 时域和空间域的离散化 二阶中心差分近似表达式 当越小时 上式的近似程度越高 实际上 FDTD空间域的离散化 1 空间域的分割离散化 Ex分量的空间离散分布图 Yee元胞 x y z Hx分量的空间离散分布图 节点 FDTD空间域的离散化 YEE元胞 各电磁场分量在元胞中的位置 K S Yee NumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell sequationsinisotropicmedia IEEETrans AntennasPropagat vol 14 1966 pp 302 307 例如 Hz为Ex和Ey所环绕 FDTD空间偏微分的近似 以Hz为例 类似地 可实现各电磁场分量的空间偏微分计算 FDTD时间偏微分的近似 以Hz为例 t n 1 2 t t n t t n 1 2 t 时间上的推移 1 电场在时间上取整数倍的 t t n t 2 磁场在时间上取 整数 1 2 倍的 t t n 1 2 t 麦克斯韦方程的离散化近似 以Hz为例 上式即为Hz的更新方程 由前一时刻的磁场和前半时刻的临近空间格点的电场即可求出最新时刻的磁场 麦克斯韦方程的离散化近似 采取类似的步骤 可以推导出其它场量的更新表达式 例如 对于Ez FDTD的离散参数的选择 元胞尺寸 边长小于最短波长的1 10 以减小数值色散 数值色散方程 理想色散方程 要求 例如 取 例如 取 FDTD的离散参数的稳定性条件 时间步长 Courant稳定性条件 对于非色散介质 时间步长不能大于以下表达式 vonNeumannmethod 为了保持稳定性 该方程的所有解的模必须小于1 域数值色散方程 介质电磁参量的设定 不同的元胞的电磁参量应设置为所在空间所代表的介质的介电常数和磁导率 场量与介质参数要对应 色散介质的FDTD模拟 以Lorentz介质为例 更新方程 近似 求系数 Z 变换 时域 频域 色散介质的FDTD模拟 模拟Lorentz色散介质的不同方法 MSEapproach FDTD编程流程 主循环 初始化 输出结果 编程举例1 一维FDTD问题 x 基本旋度方程 X向电导率 X向磁电导率 X向电流 X向磁流 编程举例1 一维FDTD问题 Matlab程序代码 Defineinitialconstantseps 0 8 854187817e 12 permittivityoffreespacemu 0 4 pi 1e 7 permeabilityoffreespacec 1 sqrt mu 0 eps 0 speedoflight Defineproblemgeometryandparametersdomain size 1 1Dproblemspacelengthinmetersdx 1e 3 cellsizeinmetersdt 3e 12 durationoftimestepinsecondsnumber of time steps 2000 numberofiterationsnx round domain size dx numberofcellsin1Dproblemspacesource position 0 5 positionofthecurrentsourceJz 1 定义物理常量 2 定义问题的参量和结构尺寸 InitializefieldandmaterialarraysCeze zeros nx 1 1 Cezhy zeros nx 1 1 Cezj zeros nx 1 1 Ez zeros nx 1 1 Jz zeros nx 1 1 eps r z ones nx 1 1 freespacesigma e z zeros nx 1 1 freespaceChyh zeros nx 1 Chyez zeros nx 1 Chym zeros nx 1 Hy zeros nx 1 My zeros nx 1 mu r y ones nx 1 freespacesigma m y zeros nx 1 freespace 编程举例1 一维FDTD问题 续 3 初始化场量和介质参量阵列 电场电流部分 磁场磁流部分 CalculateFDTDupdatingcoefficientsCeze 2 eps r z eps 0 dt sigma e z 2 eps r z eps 0 dt sigma e z Cezhy 2 dt dx 2 eps r z eps 0 dt sigma e z Cezj 2 dt 2 eps r z eps 0 dt sigma e z Chyh 2 mu r y mu 0 dt sigma m y 2 mu r y mu 0 dt sigma m y Chyez 2 dt dx 2 mu r y mu 0 dt sigma m y Chym 2 dt 2 mu r y mu 0 dt sigma m y 编程举例1 一维FDTD问题 续 4 计算更新方程系数 电场部分 磁场部分 DefinetheGaussiansourcewaveformtime dt 0 number of time steps 1 Jz waveform exp time 2e 10 5e 11 2 source position index round nx source position domain size 1 Subroutinetoinitializeplottinginitialize plotting parameters 编程举例1 一维FDTD问题 续 5 定义场源 源波形为高斯型 6 作图初始化 Ez positions 0 nx dx Hy positions 0 nx 1 0 5 dx v 0 0 1 0 1 0 0 10 1 00 10 1 00 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 10 1 10 10 1 10 1 0 1 f 1234 5678 axis 01 0 20 2 0 20 2 lez line Ez positions Ez 0 Ez Color b LineWidth 1 5 lhy line Hy positions 377 Hy Hy 0 Color r LineWidth 1 5 linestyle set gca fontsize 12 FontWeight bold axissquare legend E z H y times377 Location NorthEast xlabel x m ylabel A m zlabel V m gridon p patch vertices v faces f facecolor g facealpha 0 2 text 0 1 1 1 PEC horizontalalignment center fontweight bold text 1 1 1 1 PEC horizontalalignment center fontweight bold FDTDloopfortime step 1 number of time steps UpdateJzforthecurrenttimestepJz source position index Jz waveform time step UpdatemagneticfieldHy 1 nx Chyh 1 nx Hy 1 nx Chyez 1 nx Ez 2 nx 1 Ez 1 nx Chym 1 nx My 1 nx UpdateelectricfieldEz 2 nx Ceze 2 nx Ez 2 nx Cezhy 2 nx Hy 2 nx Hy 1 nx 1 Cezj 2 nx Jz 2 nx Ez 1 0 ApplyPECboundaryconditionatx 0mEz nx 1 0 ApplyPECboundaryconditionatx 1m Subroutinetoplotthecurrentstateofthefieldsplot fields end 编程举例1 一维FDTD问题 续 7 主循环程序 引入电流源 更新磁场 更新电场 设置完美电导层 跟新图面 subroutineusedtoplot1Dtransientfieldsdelete lez delete lhy lez line Ez positions Ez 0 Ez Color b LineWidth 1 5 lhy line Hy positions 377 Hy Hy 0 Color r LineWidth 1 5 linestyle ts num2str time step ti num2str dt time step 1e9 title timestep ts time ti ns drawnow 编程举例1 一维FDTD问题 续 7 更新画面 运行程序 fdtd 1d code m 开放模拟空间的模拟 完美匹配层 PerfectlyMatchedLayer 的概念 吸波材料 损耗介质 完美匹配层 PerfectlyMatchedLayer 材料的特点 形成PML必须符合的两个条件 从计算空间到PML层的阻抗必须