1.2.1充分条件与必要条件

1 2充分条件与必要条件1 2 1充分条件与必要条件1 2 2充要条件 学习目标 1 结合具体实例理解充分条件 必要条件的概念 重点 2 结合具体实例理解充要条件的概念 重点 3 会求或证明命题的充要条件 难点 易错点 一 充分条件与必要条件 充分 必要 充分 二 充要条件1 推出关系 p q 且q p 记作 2 简称 p是q的充分必要条件 简称 3 意义 p q 则p是q的 条件或q是p的 条件 即p与q p q 充要条件 充要 充要 互为充要条件 1 判断 正确的打 错误的打 1 若p是q的必要条件 则q是p的充分条件 2 两角不相等 是 两角不是对顶角 的必要条件 3 当p是q的充要条件时 也可说成q成立当且仅当p成立 4 若p是q的充要条件 则命题p和q是两个相互等价的命题 2 x 3 是 x2 9 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 解析 当x 3时 x2 9 但x2 9 有x 3 x 3 是 x2 9 的充分不必要条件 答案 A A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 下列式子 x 1 0 x 1 1 x 1 1 x 0 其中可以是x2 1的一个充分条件的所有序号为 解析 由于x2 1即 1 x 1 显然不能使 1 x 1成立 满足题意 答案 预习完成后 请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 1 2014 广东高考 在 ABC中 角A B C所对应的边分别为a b c 则 a b 是 sinA sinB 的 A 充分必要条件B 充分非必要条件C 必要非充分条件D 非充分非必要条件 解析 由正弦定理 知a b 2RsinA 2RsinB R为 ABC外接圆的半径 sinA sinB 故选A 答案 A 2 2015 阜宁高二检测 log3M log3N 是 M N 成立的 条件 从 充分 必要 中选择一个正确的填写 解析 由log3M log3N 又因为对数函数y log3x在定义域 0 上单调递增 所以M N 当M N时 由于不知道M N是否为正数 所以log3M log3N不一定有意义 故不能推出log3M log3N 所以 log3M log3N 是 M N 成立的充分条件 答案 充分 3 已知命题 若p m0对x R恒成立 试判断p是q的 q是p的 填 充分条件 或 必要条件 解析 因为m0对x R恒成立 已知命题为真命题 所以p是q的充分条件 q是p的必要条件 答案 充分条件必要条件 充分条件 必要条件和充要条件反映了条件p与结论q之间的因果关系 在具体判断时 常用如下方法 1 定义法 若p q 但q p 则p是q的充分不必要条件 若q p 但p q 则p是q的必要不充分条件 若p q 且q p 则p是q的充分必要条件 简称充要条件 若p q 且q p 则p是q的既不充分也不必要条件 2 集合法 当所要判断的命题与方程的根 不等式的解集 以及集合有关 或所描述的对象可以用集合表示时 我们可以借助集合间的包含关系进行充分条件与必要条件的判断 对于集合A x x满足条件p B x x满足条件q 具体情况如下 若A B 则p是q的充分条件 若A B 则p是q的必要条件 若A B 则p是q的充要条件 若A B 则p是q的充分不必要条件 若A B 则p是q的必要不充分条件 若A B且A B 则p是q的既不充分又不必要条件 3 等价法 将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题 判定充分条件 必要条件时 可以与四种命题的关系结合起来 把p与q分别记作原命题的条件与结论 则原命题与逆命题的真假同p与q之间的关系如下 如果原命题为真 逆命题为假 那么p是q的充分不必要条件 如果原命题为假 逆命题为真 那么p是q的必要不充分条件 如果原命题与逆命题都为真 那么p是q的充要条件 如果原命题与逆命题都为假 那么p是q的既不充分又不必要条件 已知p 2 x 10 q x2 2x 1 m2 0 m 0 若q是p的充分不必要条件 求实数m的取值范围 解 p 2 x 10 q x2 2x 1 m2 0 x 1 m x 1 m 0 m 0 1 m x 1 m m 0 因为q是p的充分不必要条件 即 x 1 m x 1 m x 2 x 10 若不等式p q对应的数集分别为P Q 当P Q时 p是q的充分条件 q是p的必要条件 这可以用 小范围推出大范围 帮助记忆 小充分 大必要 当P Q时 则p q互为充要条件 本例中 把 充分不必要 改为 必要不充分 其他条件不变 求实数m的取值范围 解 q x2 2x 1 m2 0 m 0 1 m x 1 m m 0 q是p的必要不充分条件 即 x 2 x 10 x 1 m x 1 m 故有且m 1 10 1 m 2不同时成立 解得m 9 故实数m的取值范围为 9 已知数列 an 的前n项和Sn pn q p 0且p 1 求证 an 为等比数列的充要条件是q 1 证明 充分性 当q 1时 Sn pn 1 当n 2时 an Sn Sn 1 pn 1 p 1 当n 1时 也成立 数列 an 的通项公式为an pn 1 p 1 有关充要条件的证明问题 要分清哪个是条件 哪个是结论 谁是谁的什么条件 由 条件 结论 是证明命题的充分性 由 结论 条件 是证明命题的必要性 证明要分两个环节 一是证充分性 二是证必要性 1 对充分条件 必要条件 充要条件的判断最常用的方法是定义法 这种方法判断直观 简捷 出错率低 2 利用充分条件 必要条件 充要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系 要注意范围的临界值 3 证明充要条件问题要分别证明充分性和必要性两个方面 即若证p是q的充要条件需证p q和q p两个方面 同时注意条件的充分性和必要性不要混淆 忽略隐含条件致误已知关于x的方程x2 mx 2m 3 0 求使方程有两个大于1