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投影的严格定义是：一个从向量空间V射到它自身的线性变换 P 是投影，当且仅当P2 = P。另外一个定义则较为直观：P 是投影，当且仅当存在V的一个子空间W，使得 P 将所有V中的元素都映射到W中，而且 P 在W上是恒等变换。用数学的语言描述，就是： ，使得，并且 在现实生活中，阳光在地面上留下各种影子。这就是投影变换最直白的例子。可以理想化地假设阳光都是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么，对于任意一个物体（比如说一只正在飞行的鸟），它的位置可以用向量 (x, y, z) 来表示，而这只鸟在阳光下对应着一个影子，也就是 (x, y, 0)。这样的一个变换就是一个投影变换。它将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y, 0) 。这是在 x-y 平面上的投影。这个变换可以用矩阵表示为因为对任意一个向量 (x, y, z) ，这个矩阵的作用是：注意到如果一个向量原来就是表示地面上的一点的话（也就是说它的z分量等于0），那么经过变换 P 后不会有改变。也就是说这个变换在子空间 x-y 平面上是恒等变换，这证明了 P 的确是一个投影。另外，所以 P = P2，这也证明 P 的确是投影。基本性质变换 T 是沿着 k 方向到直线 m 上的投影。T 的像空间是 m 而零空间是 k。这里假定投影所在的向量空间V是有限维的（因此不需要考虑如投影的连续性之类的问题）。假设子空间U与W分别为 P 的像空间与零空间（也叫做核）。那么按照定义，有如下的基本性质:1. P 在像空间U上是恒等变换： 2. 整个向量空间可以分解成子空间U与W的直和：。也就是说，空间里的每一个向量v，都可以以唯一的方式写成两个向量u与w的和：v = u + w，并且满足、。事实上，每一个向量v都可以写成。P(v)显然在像空间中，而另一方面，所以v P(v)在零空间中。 用抽象代数的术语来说，投影 P 是幂等的线性变换（P2 = P）。因此它的极小多项式是X2 X = X(X 1)。因式分解后可以看到，这个多项式只有相异的单根（没有多重根），因此 P 是可对角化矩阵。极小多项式也显示出了投影的特性: 像空间与零空间分别是是对应于特征值1和0的特征空间，并给出了整个空间的一个直和分解。正如日常生活中阳光沿着一定的方向将影子投射到地面上，一般的投影变换也可以称为是沿着W到U上的投影。由于向量空间分解成直和的方式一般不是唯一的（阳光可以顺着不同的方向照射），给定一个子空间 V（地面），一般的说有很多到V 的投影（沿不同的W）。正交投影如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。也就是说，任意，它们的内积(u | v)都等于0。 一个投影是正交投影，当且仅当它是自伴随的变换，这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。如果投影是在实向量空间中，那么它对应的矩阵是对称矩阵: P = PT。如果投影是在实向量空间中，那么它的矩阵则是埃尔米特矩阵:P = P * 。实际上，如果投影 P 是自伴算子，那么（P * 表示 P 的伴随算子） 所以 P 是正交投影。反过来如果 P 是正交投影，那么 ，然而 ，所以 鉴于 是任取的，必然有 P * P * P = 0。所以 P * = P * P 是一个自伴算子，因此 P 也是自伴算子。编辑 例子正交投影的最简单的情况是到（过原点）直线上的正交投影。如果 u 是这条直线的单位方向向量，则投影给出为这个算子保留 u 不变（），并且它作用在所有正交于 u 的向量上都是0（如果(u | v) = 0，那么 Pu(v) = uu * v = u(u | v) = 0），证明它的确是到包含 u 的直线上的正交投影2。这个公式可以推广至到在任意维的子空间上的正交投影。设 u1, , uk 是子空间 U 的一组正交基，并设 A 为一个nk 的矩阵，它的列向量是 u1, , uk。那么投影：3 也是正交的。矩阵 AT 是在 U 的正交补变为零的偏等距同构，而 A 是把 U 嵌入底层向量空间的等距同构。PA 的值域因此是 A 的“终空间”(final space)。ATA 是在 U 上的恒等算子也是明显的。正交条件也可以去除。如果 u1, , uk 是(不必须正交)基，而 A 是有这些向量作为列的矩阵，则投影是。4 矩阵 AT 仍把 U 嵌入到低层向量空间中但一般不再是等距的。矩阵 (ATA)1 是恢复规范的“规范化因子”。例如，秩-1 算子 uuT 不是投影，如果 |u| 1。在除以 uTu = |u|2 之后，我们得获得了到 u 所生成的子空间的投影 u(uTu)1uT。所有这些公式对于复数内积空间也成立，假如用共轭转置替代转置。编辑 斜投影术语斜投影有时用来提及非正交投影。这些投影也用来在二维绘图中表示空间图形(参见斜投影)，尽管不如正交投影常用。斜投影用它们的值域和零空间来定义。有给定值域和零空间的投影的矩阵表示的公式可如下这样找到。设向量 u1, , uk 形成了投影的值域的基，并把这些向量组合到 nk 矩阵 A 中。值域和零空间是互补空间，所以零空间有维度 nk。它推出零空间的正交补有维度 k。设 v1, , vk 形成这个投影的零空间的正交补的基，并把这些向量组合到矩阵 B 中。则投影定义为。 这个表达式一般化上面给出的正交投影公式。5编辑 在赋范向量空间上的投影当底层向量空间 X 是(不必需有限维)赋范向量空间，需要考虑无关于有限维情况的分析问题，假定现在 X 是巴拿赫空间。上面讨论的多数代数概念转移到这个上下文后幸存下来了。给定的 X 的直和分解成补子空间仍指定一个投影，反之亦然。如果 X 是直和 X = U V，则定义自 P(u + v) = u 的算子仍是有值域 U 和核 V 的投影。明显的也 P2 = P。反过来说，如果 P 是在 X 上的投影，就是说 P2 = P，则很容易验证 (I P)2 = (I P)。换句话说，(I P) 也是投影。关系 I = P + (I P) 蕴涵了 X 是直和 Ran(P) Ran(I P)。但是相对于有限维情况，投影一般不必须是连续的。如果 X 的子空间 U 在规范拓扑下不闭合，则到 U 上的投影是不连续的。换句话说，连续投影 P 的值域一定是闭合子空间。进一步的，连续投影(事实上，一般的连续线性算子)的核是闭合的。所以连续投影 P 把 X 分解成两个互补的闭合子空间: X = Ran(P) Ker(P) = Ran(P) Ran(I P)。反命题在有额外假定条件下也成立。假设 U 是 X 的闭合子空间。如果存在一个闭合子空间 V 使得 X = U V，则有值域 U 和核 V 的投影 P 是连续的。这是从闭合图定理推出的。假定 xn x 而 Pxn y。需要证明 Px = y。因为 U 是闭合的且 Pxn U, y 位于 U 中，就是说 Py = y。还有 xn Pxn = (I P)xn x y。因为 V 是闭合的且 (I P)xn V，我们有了 x y V，就是说 P(x y) = Px Py = Px y = 0，这证明了这个断言。上述论证利用 U 和 V 都是闭合的假定。一般的说，给定一个闭合子空间 U, 不需要存在一个互补的闭合子空间 V，尽管对于希尔伯特空间总是可以采取正交补得到。对于巴拿赫空间，