绘制根轨迹基本方法

第二节绘制根轨迹的基本方法 第四章根轨迹分析法 根据根轨迹的基本特征和关键点 就能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线 根据根轨迹方程 无需对闭环特征方程式求解 只需寻找所有满足相角方程的s 便可得到闭环特征方程式根的轨迹 同时 可由幅值方程来确定根轨迹所对应的Kr值 根轨迹基本特征为以下八条 八 开环极点与闭环极点的关系 七 根轨迹与虚轴的交点 六 根轨迹的出射角和入射角 五 根轨迹的分离点和会合点 四 根轨迹的渐近线 三 实轴上的根轨迹段 二 根轨迹的起点和终点 一 根轨迹的对称性和分布性 第四章根轨迹分析法 第二节绘制根轨迹的基本方法 一 根轨迹的对称性和分布性 1 根轨迹对称于实轴 闭环特征方程实数根分布在S平面的实轴上 复数根则成对出现 实部相等 虚部大小相等符号相反 根轨迹必定对称于实轴 j 0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 2 n阶系统有n条根轨迹 Kr取某一数值时 n阶特征方程有n个确定的根 Kr 0 每一个根由始点连 续地向其终点移动 形成一条根轨迹 n个根形成n条根轨迹 第二节绘制根轨迹的基本方法 1 起点 根轨迹方程 则 二 根轨迹的起点和终点 Kr 0 s pj 根轨迹起始于开环传递函数的极点 即 例 2 p1 p2 2 终点 s zi m条根轨迹终止于开环传递函数的零点 n m条根轨迹终止于无穷远 根轨迹方程 则 即 另 p3 2 p2 1 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点 开环零 极点分布 p1 0 z1 1 jz2 1 j j 1 1 1 2 0 p1 p2 p3 z1 两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点 另一条趋于无穷远 z2 第二节绘制根轨迹的基本方法 p1 p2 p3 p4 z2 z1 s1 1 2 1 2 3 4 s1的相角方程为 设实轴上任意点s1 三 实轴上的根轨迹段 系统开环零 极点分布为 s1与开环零 极点之间的矢量 180 共轭开环零 极点构成的相角正负抵消 实轴上根轨迹段右侧的开环零 极点个数之和为奇数 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 1 开环零 极点分布 p1 z1段 j 0 p1 右侧一个开环极点 右侧三个开环零极点 z1 p2 p1 0 2 实轴上根轨迹段 3 系统的根轨迹 第二节绘制根轨迹的基本方法 1 开环零 极点分布 j 0 p1 z1 p2 2 实轴上根轨迹段 p1和p2为根轨迹的起点 z1和 为根轨迹的终点 3 系统的根轨迹 p1 0 p1 p2 第二节绘制根轨迹的基本方法 四 根轨迹的渐近线 趋于无穷远的根轨迹的渐近线由下式确定 渐近线与实轴的夹角 渐近线与实轴的交点 K 0 1 2 3 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 600 1 开环零 极点 2 实轴上的根轨迹段 j 0 p1 p3 p2 1 2 p1 0 p2 1 p3 2 p1 p2 3 根轨迹的渐近线 与实轴的夹角 n m 3 K 0 K 1 4 系统的根轨迹 与实轴的交点 第二节绘制根轨迹的基本方法 五 根轨迹的分离点和会合点 闭环特征方程的根在S平面上的重合点称为根轨迹的分离点或会合点 一般将根轨迹 离开复平面进入实轴的点称为会合点 离开实轴进入复平面的点称为分离点 设系统的开环传递函数为 闭环特征方程式 KrB s A s 0 KrB s A s 0 重根必须同时满足以下两式 KrB s A s 0 即 解上式得 A s B s A s B s 注意 只有位于根轨迹上的重根才是分离点或会合点 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 1 开环零 极点 2 实轴上的根轨迹段 p1 p2 p2 2 p1 1 z1 3 j 0 p1 z1 p2 1 2 3 3 根轨迹的渐近线 n m 1 5 根轨迹 4 分离点和会合点 A s s2 3s 2 B s s 3 B s 1 A s 2s 3 A s B s A s B s 整理得 s2 3s 2 2s 3 s 3 s2 6s 7 0 s2 4 4 根轨迹的会合点 解方程得 s1 1 6 根轨迹的分离点 第二节绘制根轨迹的基本方法 例试确定系统分离点 解 前例已求得根轨迹的渐近线和实轴上的根轨迹段 600 j 0 p1 p3 p2 1 2 根轨迹的分离点 A s B s A s B s 3s2 6s 2 0 s1 0 43 s2 1 57 s2没有位于根轨迹上 舍去 第二节绘制根轨迹的基本方法 六 根轨迹的出射角和入射角 出射角 设开环零 极点分布 根轨迹在复数起点处的切线与正实轴的夹角 p1 p2 p3 p4 z1 1 1 2 3 4 s1 s1为根轨迹上的点 则 s1 p3 即有 出射角的一般表达式 同理 可得入射的一般表达式 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 1 开环零 极点为 p2 2 5 p1 0 z1 1 5 P3 4 0 5 j1 5 z2 3 2 j j 0 p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 2 实轴上的根轨迹段 p1 z1 3 根轨迹的渐近线 n m 1 4 根轨迹的出射角 59 108 90 37 79 同时可得 第二节绘制根轨迹的基本方法 开环零 极点分布 j 0 p1 p2 p3 p4 z1 z2 z3 5 根轨迹的入射角 2 149 5 63 5 199 121 6 系统根轨迹 第二节绘制根轨迹的基本方法 七 根轨迹与虚轴的交点 设与虚轴相交的闭环极点为 解方程即可求得 代入闭环特征方程 Kr 第二节绘制根轨迹的基本方法 例已知系统的开环传递函数 试确定系统的根轨迹图 解 j 0 1 1 开环零 极点 2 实轴根轨迹段 3 根轨迹的渐近线 p3 4 1 j z1 2 p2 3 p1 0 p1 p2 p3 p4 z1 p1 z1 n m 3 1 6 1 6 4 根轨迹的出射角 26 6 5 与虚轴的交点 s s 3 s2 2s 2 Kr s 2 0 s4 5s3 8s2 6s Krs 2Kr 0 Kr 0 Kr 7 2 3 1 6 1 0 解得 6 系统根轨迹 第二节绘制根轨迹的基本方法 八 开环极点与闭环极点的关系 在一定条件下 开环极点与闭环极点间有着固定的关系 根据这种关系可判别闭环特征根的走向 n阶系统闭环特征方程为 sn a1sn 1 a2sn 2 an 1s an s s1 s s2 s sn 1 s sn 开环零极点 闭环极点 根据代数方程的根与系数间的关系 如果满足条件 则 n m 2 开环极点之和等于闭环极点之和 为常数 如果一些闭环极点往s平面左边移动 则必有另一些闭环极点往s平面的右边移动 第二节绘制根轨迹的基本方法 例 试确定系统的根轨迹图 解 1 开环零 极点 j 0 p2 3 4 j2 p1 0 p1 p2 p3 2 实轴上的根轨迹段 n m 3 3 根轨迹的渐近线 2 7 4 5 2 3 3 4 根轨迹的出射角 153 4 90 63 4 5 与虚轴的交点 系统闭环特征方程为 s3 8s2 20s Kr 0 代入 4 5 j3 3 8 2 j20 Kr 0 Kr 160 2 3 4 5 Kr 0 1 0 6 分离点和会合点 3s2 16s 20 0 s1 2 s2 3 33 A s B s A s B s 7 系统根轨迹 解得 第二节绘制根轨迹的基本方法 例 试确定系统的根轨迹图 解 1 开环零 极点 j 0 p1 p3 4 2 j4 p1 0 p2 4 p2 p3 p4 2 实轴上根轨迹段 p1 p2 3 根轨迹的渐近线 n m 4 2 4 根轨迹的出射角 180 90o 90 2 2 3 16 3 16 5 根轨迹与虚轴的交点 闭环特征方程为 s4 8s3 36s2 80s Kr 0 8 3 80 0 4 36 2 Kr 0 Kr 0 Kr 2