圆锥曲线的统一极坐标方程.doc

圆锥曲线的统一极坐标方程一、 教学内容解析圆锥曲线的统一极坐标方程是人教版教材选修4-4里面的内容，也是理科生必需掌握的重点知识，它是学生在以前已学过曲线的极坐标方程，以及在前面几节学习了圆锥曲线的定义与标准方程以及第二定义的基础上，从几何学角度，运用坐标法进一步研究圆锥曲线的极坐标关系，极坐标与直角坐标结合思想，初步形成极坐标法解决几何问题的能力，并逐渐内化为学生的习惯和基本素质，为以后更深入学习圆锥曲线的知识打下基础。本节课内容共一个课时。教学过程中，让学生利用已有的知识，自主探索用极坐标法坐标法去研究圆锥曲线内在实质的方法，体验有关的数学思想，培养学生“用数学”以及合作学习的意识。一、 教学目标设置由于本节课在以前的学习过程已有所接触，教师准备“学案”先让学生提前思考，归纳出直圆锥曲线的极坐标方程以及对应各个参数的意义。通过学生的推导、分析、概括，促使学生把解析几何中用方程研究曲线的思想与曲线几何性质相结合，从而把传授知识和培养能力融为一体，完成本节课的教学目标。二、 学生学情分析在经历极坐标方程、圆锥曲线的第二定义学习后，学生已经具备了一定的用方程研究几何对象的能力，因此，我在教学中通过提供的丰富的数学学习环境，创设便于观察和思考的情境，给他们提供自主探究的空间，使学生经历完整的数学学习过程，引导学生在已有数学认知结构的基础上，通过积极主动的思维而将新知识内化到自己的认知结构中去同时为他们施展创造才华搭建一个合理的平台，使他们感知学习数学的快乐。高中数学教学的重要目标之一是提高学生的数学思维能力，通过不同形式的探究活动，让学生亲身经历知识的发生和发展过程，从中领悟解决问题的思想方法，不断提高分析和解决问题的能力，使数学学习变成一种愉快的探究活动，从中体验成功的喜悦，不断增强探究知识的欲望和热情，养成一种良好的思维品质和习惯。根据本节课的教学内容和我所教学生的实际，本节课的教学目标确定为以下三个方面：知识与技能目标：（1）熟练掌握圆锥曲线的统一极坐标的推导过程。（2）掌握圆锥曲线统一极坐标方程中各个参数表示的几何意义，比如，对应在图形中的几何意义。（3）重点掌握圆锥曲线极坐标方程在解决一般问题中所体现的优势性，比如定值问题、焦点弦等问题，极坐标方程为其提供了充分有利的平台。过程与方法目标：（1）通过对圆锥曲线统一极坐标方程的探究活动，经历知识的建构过程，培养学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流的学习方式。（2）强化学生用极坐标法解决几何问题的意识，培养学生分析问题和灵活解决问题的能力。情感、态度与价值观目标：通过对本节课的探究活动，加深学生对极坐标法解决圆锥曲线问题的认识，领悟极坐标法对于解决问题的优势性，体验探索中成功的喜悦，激发学习热情，养成良好的学习习惯和品质，培养学生的创新意识和科学精神。三、 教学策略分析本节课以问题为载体，学生活动为主线，让学生利用已有的知识，自主探究，培养学生主动学习的习惯。通过建立数学模型、数形结合，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生的数学素质；通过对圆锥曲线统一极坐标形式的探究，进一步提高学生的思维能力和归纳能力。在教学方法的选择上，主要采用教师组织引导的学习方式，力求体现教师的设计者、组织者、引导者、合作者的作用，通过引导，让学生对圆锥曲线极坐标方程的推导得出有很自然和直观的结果认识。四、 教学过程教学内容师生互动设计意图复习引入1、极坐标表示曲线时，应当注意几个要素？极坐标的三个基本量是什么？2、回顾圆锥曲线的第二定义，想一想以前是如何将三种曲线的定义统一起来的。3、可否将极坐标系填充到圆锥曲线的方程之中。师：让学生之间进行回忆、讨论、交流。生：自己画图、看图，并说出自己的看法。启发学生由以往的指示获取与本节课有关的知识，提前做好准备。概念形成问题1 思考引例：既然极坐标可以表示平面内的任何一点，那么对于圆锥曲线上的点，可否用极坐标=表示？师：引导学生观察图形，分析问题。生：观察图形，利用前面所复习知识，引入新课。说明极坐标与直角坐标是相通的，引出今天所学知识解决这个问题的必要性。概念深化 问题2 既然圆锥曲线上的任意点可以用极坐标表示，那么整个曲线可否用对应的极坐标方程表示呢？师：引导学生回忆圆的极坐标方程的推导与表示方法。生：回忆圆的极坐标方程的表示以及对应极点不同而导致的方程表示不同。从“第二定义”和“方程”的角度，求圆锥曲线的极坐标方程。应用举例如图所示，截取圆锥曲线的一部分，由圆锥曲线的第二定义可知，曲线上的任意一点M到定点F的距离与M到定直线l的距离之比为常数。师：指导学生回忆圆锥曲线的第二定义，即统一定义。生：第二定义即是与离心率e有关的一个定义。基础知识的夯实，对今天所学内容可以得出很自然的推导。应用举例也即|MF|MA|=e.将极坐标嵌入圆锥曲线之中，我们以圆锥曲线中规定的顶点为极点，以水平方向为极轴，建立极坐标系，则圆锥曲线上的任意一点M可以用唯一的M (,)表示。以p表示定点F到定直线的距离l之间的距离，利用几何关系，可知：|MA|=|BK|=p+*cos故p+*cos=e即：=e*p1-e*cos此方程成为圆锥曲线的统一极坐标方程。公式推导只是截取了圆锥曲线的一部分，我们可以将整支曲线放入极坐标系中，体会这里的定点与定直线对应的意义。0e1时表示双曲线；e=1时表示抛物线例1、经过椭圆的焦点F1任意做两条互相垂直的弦AB和CD，求证：ABCD为定值。师：注意这里的几何关系，怎样将其推导在极坐标方程之中。生：圆锥曲线的第二定义与上极坐标工具，公式的得出很自然。师：抛物线、椭圆、双曲线之中，这里的定点F和定直线l分别表示那个对应的几何量。生：学生观察图形，给出直观作答。师：未学极坐标方程之前，这样的题目我们是如何求解的？生：设点，联立方程求交点，再证明。体会公式推导的思想方法，关注量与量之间的关系。使学生以更深层次的角度对基础知识有直观理解。温习旧知识，体现温故知新。应用举例问题3：F为极点建立极坐标系，怎样去处理这里的证明关系式？问题4：回顾以前采用直角坐标解决这道题的方法，是否可以提现出极坐标在解决圆锥曲线问题中的优越性？问题5：在极坐标系中，选取的极点不同，是否对应得出曲线的极坐标方程形式也不同呢？师：引导学生对例题建立极坐标系，并对所求的长度关系应用极坐标表示。生：互相讨论、交流。通过分析、抽象、归纳，得出求直线方程的一般思路。师：引导学生通过运算过程，体会各种方法的差异性。生：极坐标方程简化了许多不必要的运算过程，节省时间。师：学生自己猜想，结论留给学生课余推导证明。生：方程形式应该不同，因为极坐标和直角坐标类似，坐标系不同，点和曲线的坐标位置不同。提高对数学思想方法的理解和运用。进一步开解极坐标方程对于运算过程的优越性。给予学生发挥的空间，充分尊重学生的想法和观点，巩固所学过的知识，进一步理解和掌握极坐标方程。归纳总结问题6：请你梳理一下本节课的内容，可以从知识、技能、数学方法、数学经验等方面进行？此外你从其他同学那里又学到的什么，以后的学习过程中有需要注意什么？师：引导学生从各个不同角度思考、分析问题。生：互相讨论、交流，学生自己总结本节课所学内容。回顾、反思、总结形成知识体系。课外作业请同学们完成2012年重庆市高考题的第14题。生：学生独立完成。巩固所学知识。五、 教学评价设计新课程强调学习过程的评价，因此，在对学生学习结果评价的同时，更应高度重视学生学习过程中的参与度、自信心、合作意识、独立思考的能力及学习的兴趣等。根据本节课的特点，我从以下几个方面进行教学评价：通过问题情境，激发学生的学习兴趣，使学生找到要学的与以学知识之间的联系；问题串的设置可让学生主动参与到学习中来；在判断方法的形成与应用的探究中，师生的相互沟通调动学生的积极性，培养团队精神；知识的生成和问题的解决，培养学生独立思考的能力，激发学生的创新思维；通过练习检测学生对知识的掌握情况；根据学生在课堂小结中的表现和课后作业情况，查缺补漏，以便调控教学。圆锥曲线的统一极坐标方程（学案）学习目标：（1）通过圆锥曲线极坐标方程的推导，进一步领会极坐标法的思想方法。（2）掌握极坐标法对于解决圆锥曲线问题的常用步骤。（3）通过解决实例，进一步感受数形结合思想等的应用，理解解析几何的几何本质。一、复习：1、平面的任意一点用极坐标法如何表示？2、以前所学的知识，是如何将三种圆锥曲线统一起来的？3、极坐标和圆锥曲线特征量表示的几何意义是什么？二、教学过程设计问题1：思考引入：用几何法，将极坐标方程嵌入圆锥曲线之中，并将对应的极坐标方程推导出来。问题2：得出的统一极坐标方程=e*p1-e*cos各个参数表示的意义需弄清。问题3：体会这一系列过程中所蕴含的数学思想方法。三、结合以上的推导过程，解决下列数学问题：例1、经过椭圆的焦点1任意做两条互相垂直的弦和，求证：ABCD为定值。解：法1：直角坐标系解析法以椭圆的中心O为坐标原点，建:立如图所示的坐标系，则F1-c,0，A(x1,y1), B(x2,y2)，C(x3,y3) Ax4,y4,设AB所在直线l1:y=k(x+c),则CD所在直线为l2:y=-1k(x+c),并设椭圆的标准方程为O：x2a2+y2b2=1，联立方程，利用距离公式。联立O和l1y=k(x+c)x2a2+y2b2=1代换yx2a2+k2(x+c)2y2=1化简即:x2a2k2+b2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0利用韦达定理：x1+x2=-2a2k2ca2k2+b2,x1x2=a2k2c2-a2b2a2k2+b2则 AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2y=k(x+c)1+k2(x1-x2)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2故化简可得AB=a2k2+b22ab2(1+k2) ,同理CD=a2+b2k22ab2(1+k2)则ABCD=a2+b22ab2法2 极坐标法：以椭圆的焦点F1为极点，建立极坐标系：则此时椭圆的极坐标方程为：=e*p1-e*cos又设A(1,), B(2,+), C(2,+2) ,D(3,+32)则FA=e*p1-e*cos，FB=e*p1-e*cos(+),那么AB=FA+FB=1+2=2ep1-e2cos2同理CD=2ep1-e2sin2 ,则ABCD=2-e22ep问题4：通过以上两种方法的对比，你是否已经体验出极坐标方程对于