第二章极限与连续第7、8、9节

1 7无穷小的比较 一般 无穷小量的商有下列几种情形 定义1 设lim x 0 lim x 0 则称 x 是比 x 高阶的无穷小量 记作 x o x 或称 x 是比 x 低阶的无穷小量 则称 x 是比 x 低阶的无穷小量 则称 x 和 x 是同阶无穷小量 记作 x O x 则称 x 是 x 的k阶无穷小量 则称 x 和 x 是等价无穷小量 记作 x x 显然 若 x x 则 x 和 x 是同阶无穷小量 但反之不对 比如 i ii iii n 100 10 010 20 105 1000 010 00010 020 01005 10000 0010 0000010 0020 0010005 定理1 设 x x x x 是某极限过程中的无穷小量 f x 是另一变量 且 x x x x 则 只须右端极限存在或为无穷大 证 1 因为 x x x x 所以 类似可证 2 3 例1 解 由于当x 0 tgx x 从而tg2x 2x 当x 0 sinx x 从而sin5x 5x 故 例2 解 1 例3 解 0 或 0 1 0 例4 解 1 事实上 若作代换 有 显然 这个结果是错误的 例5 当x 0时 tgx sinx是x的几阶无穷小量 解 首先注意结论 若当x 0时 f x O x g x O x 则f x g x O x 其中 均大于0 由于tgx sinx tgx 1 cosx 因tgx x 而1 cosx O x2 故tgx sinx tgx 1 cosx O x3 常用的等价无穷小 当x 0时 sinx x tgx x arctgx x arcsinx x ex 1 x ln 1 x x 事实上 当y 0时 y elny 从而 1 注1 用符号 表示无穷小量比无穷小量的极限问题 用符号 表示无穷大量比无穷大量的极限问题 用符号 0 表示无穷小量乘以无穷大量的极限问题 三种类型可以互化 比如 注2 若当x 0时 f x O x g x O x 0 则f x g x O x 1 8函数的连续性与间断点 一 函数的连续性 例 火箭升空时 质量变化情形如图 m0 t0 一般 当f x 连续变化时 其图形是一条连续曲线 反之 若f x 图形是一条连续曲线 f x 则是连续变化的 x x y y x y x y x0 f x0 A B x x0 x x0 从图上可看出 x 在x0间断 但f x 在x0连续 x 在x0的极限不存在 而 y y x0 y x y f x 定义1 设f x 在x0的某邻域U x0 内有定义 且 则称f x 在x0连续 x0称为f x 的连续点 否则称f x 在x0间断 x0称为f x 的间断点 或称为不连续点 由于当f x 为多项式时 有 所以 多项式及正 余弦函数在任何点x0处连续 连续定义也可用 语言给出 若对 0 0 使得当 x x0 时 对应的函数值f x 满足 f x f x0 则称f x 在x0处连续 注 与极限定义比较 将 a 换成 f x0 将 0 x x0 换成 x x0 例1 证 又因为f 0 0 如图 还可得到 x 在任何点x0处连续 称为x0的右邻域和x0的左邻域 定义2 则称f x 在x0处右 左 连续 设f x 在x0的某右邻域 某左邻域 内有定义 定理1 f x 在x0处连续 f x 在x0左连续且右连续 例2 问a为何值时 f x 在x 0连续 解 f 0 3 3 f x 在x 0右连续 为使f x 在x 0连续 必须f 0 0 f 0 f 0 0 即 a 3 故 a 3时 f x 在x 0连续 a 例3 问f x 在x 0是否连续 解 f 0 1 1 右连续 故 f x 在x 0间断 1 f 0 不左连续 图形为 若f x 在 a b 内每一点连续 则称f x 在开区间 a b 内连续 记作f x C a b C a b 表示在 a b 内连续的函数全体所成集合 其中 若f x 在 a b 内连续 且f x 在x a右连续 在x b左连续 则称f x 在闭区间 a b 上连续 记作f x C a b 一般 设变量u从初值u0变到终值u1 记 u u1 u0 称为变量u的增量 改变量 u可正 可负 还可为0 另外 u1 u0 u 记 y f x f x0 f x0 x f x0 称为y在x0处相应于 x的增量 改变量 设f x 在U x0 有定义 x U x0 记 x x x0 称为自变量x在x0处增量 改变量 且x x0 x 定义3 设y f x 在U x0 有定义 若当 x x x0 0时 有 y f x0 x f x0 0 则称f x 在x0连续 连续定义可用函数的增量的形式给出 如图 B x0 A x0 x y C D x0 x 0 y CD的长 y x f x0 x0 x x0 x x0 x 0 x 0 y M N y CD的长 y MN的长 C D y f x 1 9连续函数运算与初等函数的连续性 定理1 若f x g x 在点x0处连续 则 1 af x bg x 在x0处连续 其中a b为常数 2 f x g x 在x0连续 3 当g x0 0时 一 连续函数的和 差 积 商的连续性 定理2 设若y f x 由y f u u x 复合而成 若u x 在x0连续 u0 x0 而y f u 在u0 则复合函数y f x 在x0连续 连续 证 要证y f x 在x0连续 只须证 0 0 当 x x0 时 有 f x f x0 即可 二 复合函数的连续性 0 因y f u 在u0连续 故 0 当 u u0 有 f u f u0 又因u x 在x0连续 从而对上述 0 0 当 x x0 时 有 u u0 x u0 进而有 f x f x0 f u f u0 故y f x 在x0连续 将这个定理与定理1比较 这里少了条件 x0 使得在 x0 内 x u0 这是因为f u 在u0连续 注意 定理1中条件 x u0 不能少 如 设 而u x 1 x R 则当x x0时 u x 1 而当u 1时 y f u 2 即按P52 定理2 应有 但 推论 若lim x A 且y f u 在u A连续 则limf x f lim x 式子 f x0 相当于 因此 有 例4 解 定理3 若y f x 在区间I上单调增加 减少 且连续 则其反函数x f 1 y 在相应区间上单调增加 减少 且连续 定理4 若y f x 在x0连续 且f x0 0 0 0 三 初等函数的连续性 定理6 1 基本初等函数在其定义域内连续 2 初等函数在其定义域内连续 例5 例6 称形如y f x g x 的函数为幂指函数 其中f x 0 根据对数恒等式y elny y 0 有 f x gx eg x lnf x 即 因此 当f x g x 均连续时 f x g x 也连续 则 例7 若limf x A 0 limg x B 存在 例8 21 2 例9 例10 若limf x 1 limg x 称l