2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课后课时精练新人教A版.docx

1.4 生活中的优化问题举例A级：基础巩固练一、选择题1某公司的盈利y(元)和时间x(天)的函数关系是yf(x)，假设f(x)0恒成立，且f(10)10，f(20)1，则这些数据说明第20天与第10天比较()A公司已经亏损B公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C公司在亏损且亏损幅度变小D公司的盈利在增加，但增加的幅度变小答案D解析导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的2某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x)400x,0x390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是()A150 B200 C250 D300答案D解析由题意可得总利润P(x)300x20000，0x390，所以P(x)300，由P(x)0，得x300.当0x0，当300x390时，P(x)400时，函数为减函数，y0)，S(x)x，令S(x)0可得x，x34V，x.当0x时，S(x)时，S(x)0，当x时S(x)最小6内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为()AR B2R CR DR答案C解析设圆锥高为h，底面半径为r，则R2(hR)2r2，r22Rhh2，Vr2hRh2h3，VRhh2.V0时，得hR或h0(舍去)当0h0；当Rh2R时，V0)，则获得最大利润时的年产量为_百万件答案3解析依题意得，y3x2273(x3)(x3)，当0x0；当x3时，y0.因此，当x3时，该商品的年利润最大8某超市中秋前30天，月饼销售总量f(t)与时间t(00，f(x)是递增的；x时，f(x)0，f(x)是递减的，所以当x时，f(x)取最大值.三、解答题10某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价解设长为x米，则宽为米根据题意得解得x16.由y400224820080800x16000，则y800.令y0，解得x18.因为函数定义域为，且当x16时，y0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y在x16处取得最小值，最小值为800161600045000.因此当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元B级：能力提升练11某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(单位：百万元)，可增加销售额约为t25t(单位：百万元，且0t5)(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造经预测，每投入技术改造费x(单位：百万元)，可增加的销售额约为x3x23x(单位：百万元)请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大(注：收益销售额投入)解(1)设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，所以当t2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大(2)设用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(3x)百万元，又设由此获得的收益是g(x)，则g(x)(3x)25(3x)3x34x3(0x3)，所以g(x)x24.令g(x)0，解得x2(舍去)或x2.当0x0；当2x3时，g(x)0，故g(x)在0,2)上是增函数，在(2,3上是减函数，所以当x2时，g(x)取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大12某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2a5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值参考公式：(eaxb)aeaxb(a，b为常数)解(1)由于年销售量为Q(x)，则500，所以k500e40，则年售量为Q(x)万件，则年利润L(x)(xa30)500e40(35x41)(2)L(x)500e40.当2a4时，33a3135，当35x41时，L(x)0，所以x35时，L(x)取最大值为500(5a)e5.当4a5时，35a3136，令L(x)0，得xa31，易知xa31时，L