陕西省2020届高三数学4月教学质量检测卷（二）理 答案.pdf

年陕西省高三教学质量检测卷 二 数学 理科 答案详解 解析 本题考查复数的运算 由题意得 的虚部为 故 选 一题多解 的虚部为 故选 解析 本题考查集合并集的运算 由题意可知集合 故选 解析 本题考查简单的线性规划 如图所示 图中 的阴影部分为不等式组所表示的平面区域 含边界 其中 先作出 的图象 然后通过平移 发现当目标函数的图象经过 点 时 取到最小值 故选 解析 本题考查平面向量的数量积及向量的投影 由题意可得 在 上的投影为 故选 解析 本题考查分段函数及分段函数的图象 作 函数 的图象如图所示 由题意可得当 时 当 时 若 则 或 解得 或 则 或 结合函数图象可知 的取值有 个 故选 解析 本题考查几何概型与正态分布的相关概率 的运算 由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是 则 标准差是 而 图中阴影部分的面积为 记 黄 豆 落 入 阴 影 部 分 为 事 件 则 阴影部分的面积 正方形面积 故选 解析 本题考查等差数列的通项公式 由题意可 设数列 的公差为 则通项公式 解得 舍去 故选 解析 本题考查三角恒等变换 由题意可得 故选 解析 本题考查三角函数图象的平移变换与性质 由 题意可得平移后的函数解析式为 若该函数图象关于坐标原点对称 则 解得 的最大值为 故选 解析 本题考查棱柱外接球表面积的运算 由题意 可知 外接圆的半径 槡 设该三棱柱外接球 的半径为 则 槡 由 可得 当且仅当 时取得最小值 该三棱柱外接球的表面积的最 小值为 故选 数学 理科 答 一题多解 由题意可知 外接圆的半径 槡 设该三棱柱外接球的半径为 则 槡 令 槡 则由 可 得槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 此时 槡 槡 槡 该三 棱柱外接球的表面积的最小值为 故选 由题意可知 外接圆的半径 槡 设该三棱 柱外接球的半径为 则 槡 由柯西不等式可知 即 当且仅当 即 时等号成立 当 时 取得 最小值 槡 该三棱柱外接球的表面积的最小值为 故选 解析 本题考查直线与抛物线的位置关系 由题 意可得抛物线 的焦点 设直线 的方程为 联立直线 与抛物线 的方程得 即 设 两点的坐标为 则由韦达定理可得 槡 槡 槡 槡 槡 直线 的方程 为 则点 到直线 的距离为 槡 槡 的面积为 槡槡 故选 一题多解 由题意可得抛物线 的焦点 设 直线 的方程为 联立直线 与抛物线 的方程得 即 设 两点的坐标为 则由韦达定理可得 槡 槡 槡 槡 槡 即 槡 槡 槡 槡 故选 解析 本题考查函数的图象与性质 导函数及利 用导函数解不等式 由题意可得 令 得 而 令 得 而 由题 意可知存在 对任意 都有 等价于 即 故选 解析 本题考查用样本估计总体 样本平均数 及中位数的计算 由题意可得从左到右每个小矩形的 面积为 所以该样本的平均数为 由 可知中位数为 所以两者之差的绝 对值为 或 解析 本 题 考 查 二 项 式 定 理 展 开 式 的 通 项 为 则由 可知 展开式中 的系数为 即 解得 或 槡 解析 本题考查余弦定理 令 则 槡 则 又点 为 的中点 在 中 由余弦定理得 故 的周长为 槡 槡 解析 本题考查双曲线的离心率 直线与双曲线 的位置关系 设直线 的方程为 槡 与双 曲线 的方程联立可得 化简得 令 数学 理科 答 则 以 为直径 的圆过坐标原点 即 又 代入化简可得 即 又 双曲线的离心率 槡 名师指导 本题考查空间面面平行的证明以及二面 角的余弦值的计算 考查运算求解能力 推理论证能 力 空间想象能力 考查数学运算 逻辑推理核心 素养 由正方形的性质知 又由相似三角形可 得 再结合面面平行的判定定理即可证明 由已知条件可推导出 两两垂直 建 立空间直角坐标系 求出平面的法向量 利用公式即 可求锐二面角的余弦值 解 证明 且 四边形 为平行四边形 分 分 平面 平面 平面 平面 分 如图 连接 相交于点 连接 四棱锥 为正四棱锥 槡 又 槡 且 同理可得 两两垂直 故建立 如图所示的空间直角坐标系 则 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 槡 令平面 的法向量为 则 即 槡 槡 槡 槡 解得 槡 取 则 槡 故 槡 同理可得平面 的一个法向量 槡 槡 槡 槡 锐二面角 的余弦值为槡 分 名师指导 本题考查等差数列和等比数列的通项公 式及求和公式 错位相减法求数列的前 项和 考查 运算求解能力 考查数学运算核心素养 利用等差数列的定义即可求出数列 的通项 公式 结合 中结论可以求出数列 的通项 公式 然后利用错位相减法求出 再利用作差法即 可得出结论 解 由题意可得当 时 当 时 分 数列 的奇数项是公差为 的等差数列 偶数项 也是公差为 的等差数列 又 数列 是公差为 的等差数列 分 证明 由 知 分 两式相减得 分 当 时 分 分 名师指导 本题考查独立性检验 分层抽样 古典概 型及二项分布的期望和方差 考查运算求解能力 数 据处理能力 考查数学运算 数据分析核心素养 利用已知数据代入公式直接计算即可 按照 分层抽样的方法抽取男 人和女 人 然后利用古典 概型概率公式计算即可求解 分析数据易知随机 变量 服从二项分布 应用公式即可求解 解 由 列联表可得 没有 的把握认为 创城知识的知晓程度是否 为优秀与性别有关 分 数学 理科 答 调查结果为一般的市民中有男 人 女 人 人数之比为 所以按分层抽样抽取的 人中 男 人 女 人 设 这三位市民中男女都有 为事件 则 或 分 由 列联表可得在样本中任选一人 其优秀 的概率为 随机变量 的期望为 方差为 分 名师指导 本题考查导数及其应用 考查运算求解能 力 化归与转化思想 考查数学运算核心素养 先求导 然后利用导数去求解函数的极值 由 先求出两个极值点的具体值 然后再代入 求得 的表达式 化简后通过构造函数求得其单 调性 即可证明结论 解 由题意可得 当 时 函数 的单调性和极值 如表 递增 极大值递减极小值递增 极大值 极小值 当 时 函数 在 上单调递增 无极值 当 时 函数 的单调性和极值 如表 递增 极大值递减极小值递增 极大值 极小值 综上所述 当 时 函数 的极大值为 极 小值为 当 时 无极值 当 时 函数 的极大值为 极小值 为 分 证明 由题意得 即 由 可知 令 则 在 上单调递减 即 分 名师指导 本题考查椭圆的标准方程 直线与椭圆的 位置关系 考查推理论证能力 运算求解能力 考查逻 辑推理 数学运算核心素养 利用椭圆的离心率可以求得 利用 距 离的最大值求出 的值 即可求得椭圆 的标准方 程 联立直线方程与椭圆方程 为避免直线方程 斜率是否存在的讨论 可设直线方程为 先 求 两点间距离 再求点 到直线的距离 即可 求面积 因为面积 由底和高两部分构成 所以分别 求出两部分的最大值 即可求出面积 的最大值 解 解法一 由题意可得离心率 槡 又 槡 令点 为椭圆 上任意一点 则 槡 槡 槡 槡 槡槡 椭圆 的标准方程为 分 解法二 由题意可得离心率 槡 又 槡 令椭圆上任意一点 数学 理科 答 当 时 满足 当 时 解得 槡 负值舍去 槡 则 不满足条件 舍去 综上 椭圆 的标准方程为 分 设 点坐标为 直线 的方程为 联立直线方程与椭圆方 程化简得 令 两点的坐标分别为 由韦达定理可得 分 则 槡 槡 化简得 槡 槡 点 到直线 的距离 槡 的面积 槡 分 令 则 槡 槡 当 时 当且仅当 时等号成立 此时 槡 槡 当且仅当 时 取 到最大值为 此时 面积 取到最大值 分 即 槡 此时直线 的方程为 点 的坐 标为 综上 面积的最大值为 槡 分 名师指导 本题考查直角坐标方程与极坐标方程的 互化 参数方程与普通方程的互化及参数的几何意 义 考查运算求解能力 考查数学运算核心素养 将直线 的参数方程消参 即可得直线 的普通 方程 要注意 将曲线 的极坐标方程两边同乘 再将 代入 即可得曲线 的 直角坐标方程 先将直线 的直角坐标方程化为 极坐标方程 再将 代入直线 和曲线 的极坐标方程中 可得点 对应的极径 利用 计算 即可求解 解 由 得 分 将 为参数 消去参数 得直线 的普通方程为 分 由 得 分 将 代入上式 分 得 所以曲线 的直角坐标方程为 分 由 可知直线 的