（讲练测）2019-2020学年九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质（讲练）（含解析）（新版）新人教版

24.1圆的有关性质（讲练）一、知识点1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成 的图形如图所示的圆记做o.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过 圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.知识点二 ：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中： 弧ac=弧bc;弧ad=弧bd；ae=be;abcd;cd是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ( 2 )推论： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，a=c. 直径所对的圆周角是直角.如图c,c=90. 圆内接四边形的对角互补.如图a，a+c=180，abc+adc=180.二、标准例题：例1：如图，的半径为，点是弦延长线上的一点，连接，若，则弦的长为（ ）abcd【答案】c【解析】解：如图：过点o作ohab于点h，连接oa，在rtohp中，p=30，op=4， 在rtoah中，oa=3， 故选总结：本题考查了垂径定理以及勾股定理.此题难度不大，但掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用是解答本题的关键.例2：如图，cd是o的直径，弦abcd，连接oa，ob，bd，若aob100，则abd _度。【答案】25【解析】解：cd是o的直径，弦abcd，aod=bod=aob=50，abd=aod=25总结：本题考查了垂径定理和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半例3：已知：如图，o的两条半径oaob，c，d是的三等分点，oc，od分别与ab相交于点e，f求证：cdaebf【答案】见解析【解析】连接ac、bd，oaob，aob=90，oa=ob，oab=oba=45，c，d是的三等分点，ac=cd=bd，aoc=cod=dob=30，aoc=cod，oa=oc=od，aoccod，aco=ocd，oefoae+aoe45+3075，ocd=75，oefocd，cdab，aecocd，acoaec故acae，同理，bfbd又accdbdcdaebf总结：本题主要考查了全等三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等例4：如图，是半圆的直径，为弦，为弧的中点，于点，交于点，交于点.求证：.【答案】见解析.【解析】为弧的中点，b=caf，是半圆的直径，.，.是的中点，.，.总结：本题考查圆周角定理和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和等腰三角形的性质.三、练习1.在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（ ）a这两条弦所对的弦心距相等b这两条弦所对的圆心角相等c这两条弦所对的弧相等d这两条弦都被垂直于弦的半径平分【答案】d【解析】a. 这两条弦所对的弦心距不一定相等，原说法错误，故本选项错误；b. 这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误，故本选项错误；c. 这两条弦所对的弧不一定相等，原说法错误，故本选项错误；d. 这两条弦都被垂直于弦的半径平分(垂径定理)，原说法正确，故本选项正确；故选d.2如图，bd是o的直径，圆周角a = 30，则cbd的度数是（ ）a30b45c60d80【答案】c【解析】解：如图，连接cd，bd为o的直径，bcd=90，d=a=30，cbd=90-d=60故选：c3已知o的半径为5，点o到弦ab的距离为3，则o上到弦ab所在直线的距离为2的点有（ ）a1个b2个c3个d4个【答案】c【解析】解：如图od=oa=ob=5，oeab，oe=3，de=od-oe=5-3=2cm，点d是圆上到ab距离为2cm的点，oe=3cm2cm，在od上截取oh=1cm，过点h作gfab，交圆于点g，f两点，则有heab，he=oe-oh=2cm，即gf到ab的距离为2cm，点g，f也是圆上到ab距离为2cm的点，故选：c4把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）a2b2.5c3d4【答案】b【解析】如图：ef的中点m，作mnad于点m，取mn上的球心o，连接of，四边形abcd是矩形，c=d=90，四边形cdmn是矩形，mn=cd=4，设of=x，则on=of，om=mn-on=4-x，mf=2，在直角三角形omf中，om2+mf2=of2，即：（4-x）2+22=x2，解得：x=2.5，故选：b5如图，ab是o的直径，c是o上一点（a、b除外），aod136，则c的度数是（ ）a44b22c46d36【答案】b【解析】aod136，bod44，c22，故选：b6如图，是的直径，若，则圆周角的度数是（）abcd【答案】b【解析】解：，故选：b.7如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”用几何语言可表述为：cd为o的直径，弦abcd于e，ce1寸，ab10寸，则直径cd的长为（）a12.5寸b13寸c25寸d26寸【答案】d【解析】解：设直径cd的长为2x，则半径ocx，cd为o的直径，弦abcd于e，ab10寸，aebeab105寸，连接oa，则oax寸，根据勾股定理得x252+（x1）2，解得x13，cd2x21326（寸）故选：d8如图，是上的点，则图中与相等的角是（）abcd【答案】d【解析】解：与都是所对的圆周角，故选：d9若的一条弦长为24，弦心距为5，则的直径长为_【答案】26【解析】解:根据题意画出相应的图形,如图所示, ocabac=bc= ab=12在 rtaoc中,ac=12 oc=5, ,根据勾股定理得: ao= ,则圆 o的直径长为26 .故答案为:2610如图，在中，直径，弦于，若，则_【答案】【解析】由圆周角定理得，cob=2a=60，ce=ocsincoe=2=，aecd，cd=2ce=2，故答案为：2.11如图，c、d两点在以ab为直径的圆上，则_【答案】1【解析】解：ab为直径，故答案为112如图所示，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的半径是_cm.【答案】5【解析】解：如图，设圆心为o，弦为ab，切点为c如图所示则ab=8cm，cd=2cm连接oc，交ab于d点连接oa尺的对边平行，光盘与外边缘相切，ocabad=4cm设半径为rcm，则r2=42+（r-2）2，解得r=5，该光盘的半径是5cm故答案为：513如图，是圆的弦，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_【答案】【解析】解：解：连接oa，设半径为x，将劣弧沿弦ab折叠交于oc的中点d，解得，故答案为：14足球训练场上，教练在球门前画了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图，甲、乙两名运动员分别在，两处，他们争论不休，都说自己所在的位置对球门的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门的张角大？为什么？【答案】一样大，理由见解析.【解析】解：甲、乙两个人所在的位置对球门ab的张角一样大.根据圆