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第二课时导数与函数零点 内容索引 核心考点 精准研析核心素养 微专题核心素养测评 思想方法化归与转化思想在函数零点 方程的根 中的应用 典例 设f x x 2lnx 1 求证 当x 1时 f x 0恒成立 2 讨论关于x的方程x f x x3 2ex2 tx根的个数 解析 1 f x x 2lnx的定义域为 0 因为f x 1 所以f x 在 1 上是单调递增函数 所以f x f 1 1 1 2ln1 0对于x 1 恒成立 故当x 1时 f x 0恒成立 2 化简方程得2lnx x3 2ex2 tx 由题知x 0 则方程可变为 x2 2ex t 令l x h x x2 2ex t 则l x 当x 0 e 时 l x 0 所以l x 在 0 e 上为单调递增函数 当x e 时 l x 0 所以l x 在 e 上为单调递减函数 所以当x e时 l x max l e 函数l x h x x e 2 t e2在同一坐标系内的大致图象如图所示 由图象可知 当t e2 即t e2 时 方程无实数根 当t e2 即t e2 时 方程有一个实数根 当t e2 即t e2 时 方程有两个实数根 思想方法指导 1 涉及函数的零点 方程的根 问题 主要利用导数确定函数的单调区间及极值点 根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系 从而求得参数的取值范围 2 解决此类问题的关键是将函数零点 方程的根 曲线交点相互转化 突出导数的工具作用 体现转化与化归的思想方法 迁移应用 已知函数f x x lnx a r 1 若函数f x 在x 1处取得极值 求实数a的值 2 若函数f x 在区间 1 2 上单调递增 求实数a的取值范围 3 讨论函数g x f x x的零点个数 解析 1 因为函数f x 在x 1处取得极值 f x 所以f 1 0 即 0 解得a 2 经检验 当a 2时 函数f x 在x 1处取得极小值 所以实数a的值为2 2 f x x 0 因为函数f x 在区间 1 2 上单调递增 所以f x 0在区间 1 2 上恒成立 即a x2 x在区间 1 2 上恒成立 易得当1 x 2时 2 x2 x 6 所以a 2 故实数a的取值范围为 2 3 因为g x f x x 所以g x 1 x x 0 令g x 0得a x3 x2 x 令h x x3 x2 x x 0 则h x 3x2 2x 1 3x 1 x 1 当x 0 1 时 h x 0 h x 在 0 1 上单调递增 当x 1 时 h x 0 h x 在 1 上单调递减 画出函数h x 的草图 易得h x h 1 1 并且图象无限靠近于原点 且当x 时 h x 故当a 1时 函数g x 无零点 当a 1或a 0时 函数g x 有一个零点 当0 a 1时 函数g x 有两个零点 分析 1 求导数 根据函数的极值点 解方程 求出a的值即可 2 求导数 利用导数确定函数的单调性 将不等式
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