练习册 第2章《刚体定轴转动》答案

1 第 2 章 刚体定轴转动 一一 选择题选择题 1 B 2 B 3 C 4 C 5 C 二二 填空题填空题 1 62 5 1 67 2 4 0 rad 3 0 25 kg m2 4 mgl 2 1 参考解 M Md mglrrlgm l 2 1 d 0 5 2E0 三三 计算计算题题 1 有一半径为 R 的圆形平板平放在水平桌面上 平板与水平桌面的摩擦系数为 若平板 绕通过其中心且垂直板面的固定轴以角速度 0开始旋转 它将在旋转几圈后停止 已知 圆形平板的转动惯量 2 2 1 mRJ 其中 m 为圆形平板的质量 解 在 r 处的宽度为 dr 的环带面积上摩擦力矩为 rrr R mg Md2d 2 总摩擦力矩 mgRMM R 3 2 d 0 故平板角加速度 M J 设停止前转数为 n 则转角 2 n 由 J Mn 42 2 0 可得 gR M J n 16 3 4 2 0 2 0 2 一转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动 起初角速度为 0 设它所受阻力矩与转动角速 度成正比 即 M k k 为正的常数 求圆盘的角速度从 0变为 0 2 1 时所需的时间 解 根据转动定律 Jd dt k t J k d d 两边积分 t t J k 0 2 dd 10 0 得 ln2 kt J t J ln2 k 2 3 如图所示 设两重物的质量分别为 m1和 m2 且 m1 m2 定滑轮的半径为 r 对转轴的转动惯量为 J 轻绳与滑轮间无滑动 滑轮轴上摩擦不计 设开始时 系统静止 试求 t 时刻滑轮的角速度 解 作示力图 两重物加速度大小 a 相同 方向如图 m1g T1 m1a T2 m2g m2a 设滑轮的角加速度为 则 T1 T2 r J 且有 a r 由以上四式消去 T1 T2得 Jrmm grmm 2 21 21 开始时系统静止 故 t 时刻滑轮的角速度 Jrmm grtmm t 2 21 21 4 一匀质细棒长为 2L 质量为 m 以与棒长方向相垂直的速度 v0在 光滑水平面内平动时 与前方一固定的光滑支点 O 发生完全非弹性碰 撞 碰撞点位于棒中心的一侧L 2 1 处 如图所示 求棒在碰撞后的瞬 时绕 O 点转动的角速度 细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动时 的转动惯量为 2 3 1 ml 式中的 m 和 l 分别为棒的质量和长度 解 碰撞前瞬时 杆对 O 点的角动量为 LmLxxxx LL 0 2 0 2 0 0 2 3 0 0 2 1 ddvvvv 式中 为杆的线密度 碰撞后瞬时 杆对 O 点的角动量为 2 22 12 7 2 1 4 1 2 3 4 3 3 1 mLLmLmJ 因碰撞前后角动量守恒 所以 LmmL 0 2 2 1 12 7v 6v0 7L 5 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴 AC 自由转动 转动惯量为 J0 环的半径为 R 初 始时环的角速度为 0 质量为 m 的小球静止在环内最高处 A 点 由于某种微小干扰 小球沿环向下滑动 问小球滑到与环心 O 在同一高度的 B 点和环的最低处的 C 点时 环的角速度及小球相对于环的速度各为多大 设环的内壁和小球都是光滑的 小球可 视为质点 环截面半径 r R 解 选小球和环为系统 运动过程中所受合外力矩为零 角动量守恒 对地球 小球 和环系统机械能守恒 取过环心的水平面为势能零点 m2 m1 r m2g m1g r a a T1 T2 T2 T1 L 2 1 L 2 1 L O 0 v 0 v R A 0 B C 3 小球到 B 点时 J0 0 J0 mR2 2222 0 2 00 2 1 2 1 2 1 B RmJmgRJv 式中 vB表示小球在 B 点时相对于地面的竖直分速度 也等于它相对于环的速度 由式 得 J0 0 J0 mR2 代入式 得 0 2 22 00 2 JmR RJ gR B v 当小球滑到 C 点时 由角动量守恒定律 系统的角速度又回复至 0 又由机械能守恒定律 知 小球在 C 的动能完全由重力势能转换而来 即 Rmgm C 2 2 1 2 v gR C 4 v 四四 研讨题研讨题 1 计算一个刚体对某转轴的转动惯量时 一般能不能认为它的质量集中于其质心 成为一 质点 然后计算这个质点对该轴的转动惯量 为什么 举例说明你的结论 参考解答 不能 因为刚体的转动惯量 ii mr 2 与各质量元和它们对转轴的距离有关 如一匀质圆盘对 过其中心且垂直盘面轴的转动惯量为 2 2 1 mR 若按质量全部集中于质心计算 则对同一轴 的转动惯量为零 2 刚体定轴转动时 它的动能的增量只决定于外力对它做的功而与内力的作用无关 对于 非刚体也是这样吗 为什么 参考解答 根据动能定理可知 质点系的动能增量不仅决定于外力做的功 还决定于内力做的功 由于刚体内任意两质量元间的距离固定 或说在运动过程中两质量元的相对位移为零 所以每一对内力做功之和都为零 故刚体定轴转动时 动能的增量就只决定于外力的功而与 内力的作用无关了 非刚体的各质量元间一般都会有相对位移 所以不能保证每一对内力做功之和都为零 故动能的增量不仅决定于外力做的功还决定于内力做的功 3 乒乓球运动员在台面上搓动乒乓球 为什么乒乓球能自动返回 参考解答 分析 乒乓球 设乒乓球为均质球壳 的运动可分解为球随质心的平动和绕通过质心的轴的 转动 乒乓球在台面上滚动时 受到的水平方向的力只有摩擦力 若乒乓球平动的初始速度 vc的方向如图 则摩擦力 Fr的 方向一定向后 摩擦力的作用有二 对质心的运动来说 它 使质心平动的速度 vc 逐渐减小 对绕质心的转动来说 它将使转动的角速度 逐渐变小 当质心平动的速度 vc 0 而角速度 0 时 乒乓 球将返回 因此 要使乒乓球能自动返回 初始速度 vc 和初始角速度 0的大小应满足一定的关系 4 解题 由质心运动定理 t mF c r d dv 因mgFr 得 g cc 0 vv 1 由对通过质心的轴