第七章 平行线的证明ppt课件

知识详述 1 推理证明的必要性我们认识事物 可能有偏差 有时是 想当然 过于草率 有时是 乱花迷人眼 观察产生了错觉 但无论哪一种情况 没有严格的证明都是不能令人放心和信服的 如当n 1 2 3 4时 n2 5n 5 2都是等于1 是不是可以归纳得出 当n取任意正整数时 n2 5n 5 2的值都是1 2 检验数学结论是否正确的常用方法检验数学结论常用的方法 实验验证法 举出反例 推理论证等 3 定义 对一些名称和术语的含义加以描述 作出明确的规定 也就是给出它们的定义 注意 定义必须是严密的 在表述时 一般避免使用含糊不清的术语 例如 大约 大概 差不多 左右 等 正确的定义能把被定义的事物或名词与其他的事物或名词区别开来 4 命题 判断一件事情的句子叫做命题 命题是一个 判断句 判断 是 或 非 其中正确的命题叫做真命题 不正确的命题叫做假命题 如 对顶角相等 是真命题 相等的角是对顶角 是假命题 注意 1 命题必须是一个完整的句子 常为陈述句 2 而且必须对某件事情作出肯定或否定的判断 如对 两直线相交 这个句子 我们无法判断它是正确的还是错误的 因而它不是命题 又如 相等的角是对顶角 这个句子 我们可以判断它是错误的 因而是命题 而且是假命题 5 命题是由条件和结论两部分组成 条件是已知的事项 结论是由已知事项推断出的事项 命题通常可写成 如果 那么 的形式 其中 如果 引出的部分是条件 那么 引出的部分是结论 注意 对于不具有这种形式的命题 它的条件和结论往往不明显 为了指出它的条件和结论 我们可以把命题写成 如果 那么 的形式 这样命题的条件和结论就显而易见了 6 公理 证明 定理的概念 1 公认的真命题称为公理 即在长期的实践中 人们总结出来的一些基本事实 如 两点确定一条直线 两点之间 线段最短 等等 2 除公理外 其他命题的真假都需要通过演绎推理的方法进行判断 演绎推理的过程称为证明 3 经过证明的真命题称为定理 定理只能用公理 定义和已经证明为真命题的命题来证明 7 证明假命题的方法证明一个命题是假命题 只需举一个 反例 即可 也就是举出一个符合命题的条件而不符合结论的例子 8 定义 命题 公理和定理之间的联系与区别这四者都是句子 都可以判断真假 即定义 公理和定理也是命题 不同的是定义 公理和定理都是真命题 都可以作为进一步判断其他命题真假的依据 只不过公理是最原始的依据 而命题不一定是真命题 因而它不一定能作为进一步判断其他命题真假的依据 随堂演练 例1 先观察 再验证 1 图 中黑色的边是直的还是弯曲的 2 图 中两条线段a与b 哪一条更长 分析 先观察得出结论 再实验验证 解 对于 1 题 直接观察图 可得出结论 黑色的边是弯曲的 但实际上 黑色的边是直的 对于 2 题 直接观察图 可得出结论 线段b比线段a短 但实际上 这两条线段同样长 点拨 要判断一个数学结论是否正确 仅仅依靠经验 观察是不够的 必须给出严格的证明或实验验证 例2 当x为任意实数时 x2 4x 5的值都大于零吗 解 x2 4x 5 x2 4x 4 1 x 2 2 1 因为 x 2 2 0 所以 x 2 2 1 0 所以当x为任意实数时 x2 4x 5的值都大于零 方法归纳 本题在检验数学结论时采用了推理的方式 熟练运用完全平方公式是解此题的关键 例3 请仔细观察下列各式 25 52 1225 352 112225 3352 11122225 33352 试写出表示一般规律的等式 并说明理由 分析 从给出的等式可以发现 等式右边是一个完全平方数 等式左边是以5结尾 由1 2 5组成的数 然后由1 2的个数与3的个数作比较找出规律 从而写出表示一般规律的等式 解 一般规律 例4 下列语句中不是命题的是 A 相等的角不是对顶角B 两直线平行 内错角相等C 两点之间线段最短D 过点O作线段MN的垂线 解析 根据命题的定义可知 只有对一件事情作出判断 才能叫命题 A B C项都对某件事情作出了判断 只有D没有对事情作出任何判断 答案 D 方法归纳 判断一个语句是否为命题应抓住两条 命题是叙述某件事情的句子 必须对该件事情作出判断 通常不完整的句子 祈使句 疑问句 感叹句均不是命题 例5 判断下列命题是真命题还是假命题 若是假命题 请举一反例加以说明 1 两个角的和是180 则这两个角是邻补角 2 同位角相等 3 如果a2 b2 那么a b 分析 1 邻补角必须有公共边 两个没有公共边的角也可能和为180 2 若两条直线不平行 则同位角就不相等 3 a2 b2 a与b可能相等 也可能互为相反数 方法归纳 识别命题的真假 关键是在条件成立的前提下 看结论是否正确 可先举 特例 验证 特例成立 还不能证明为真命题 要由特殊形式转化成一般形式 再用推理的方法证明结论正确 若特例不成立 则原命题一定是假命题 解 1 假命题 如图1所示 l1 l2 则 1 2 180 但 1与 2不是邻补角 2 假命题 如图2所示 l1与l2不平行 1和 2是同位角 但 1 2 3 假命题 例如 3 2 32 但 3 3 所以是假命题 例6 指出下列命题的条件和结论 1 等角的补角相等 2 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 分析 不仅真命题是命题 假命题也是命题 对于条件和结论不明确的命题 先把它改写成 如果 那么 的形式 解 1 改写成 如果两个角相等 那么这两个角的补角相等 条件 两个角相等 结论 这两个角的补角相等 2 改写成 如果两个三角形中的两边及其夹角分别相等 那么这两个三角形全等 条件 两个三角形中的两边及其夹角分别相等 结论 这两个三角形全等 规律总结 把条件和结论不明确的语句先写成 如果 那么 的形式 再指出它的条件和结论 注意命题有真假之分 假命题也是命题 也可以指出它的条件与结论 平行线的判定平行线的性质 1 平行线的判定 1 判定公理 两条直线被第三条直线所截 如果同位角相等 那么这两条直线平行 简述为 同位角相等 两直线平行 2 判定定理 一 两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线平行 简述为 内错角相等 两直线平行 3 判定定理 二 两条直线被第三条直线所截 如果同旁内角互补 那么这两条直线平行 简述为 同旁内角互补 两直线平行 2 平行线的性质定理 1 性质定理 一 两条平行直线被第三条直线所截 同位角相等 简述为 两直线平行 同位角相等 2 性质定理 二 两条平行直线被第三条直线所截 内错角相等 简述为 两直线平行 内错角相等 3 性质定理 三 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补 简述为 两直线平行 同旁内角互补 3 证明的一般步骤解答证明题一般有以下三个步骤 1 画出图形 根据题意画出图形 标上必要的字母 2 写已知 求证 用字母 符号表示命题的条件和结论 3 写证明过程 用 再注明相应依据的方式 写出证明过程 注意 通常文字证明题要有以上三个步骤 而在我们所接触到的证明题中 有相当一部分不是文字证明题 题目已经明确用字母 符号把命题表示出来 甚至也画出了示意图 对于不是文字证明的题 我们只需从第三步开始写即可 随堂演练 例1 如图所示 若 B 35 CDF 145 问AB是否与CE平行 分析 B与 BDE是同旁内角 只要 BDE 145 AB与CE即可平行 而 CDF与 BDE是对顶角 解 AB与CE平行 理由如下 CDF 145 已知 BDE CDF 145 对顶角相等 B BDE 35 145 180 AB CE 同旁内角互补 两直线平行 方法归纳 利用 同旁内角互补 两直线平行 证明两条直线平行时 要找准哪两个角是相应的同旁内角 再证明这两个角互补 例2 已知 如图所示 C COA D BOD 求证 AC BD 分析 因为 C D 那么AC BD 而 COA BOD COA C BOD D 可得 C D 证明 C COA D BOD COA BOD C D 等量代换 AC BD 内错角相等 两直线平行 规律总结 本题中所形成角是内错角 所以先设法证明内错角相等 例3 如图所示 直线a b被直线c所截 且 1 2 180 求证 a b 分析 可利用 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 或 同旁内角互补 两直线平行 证明 证法1 1 3 对顶角相等 1 2 180 已知 3 2 180 等量代换 a b 同旁内角互补 两直线平行 证法2 1 4 180 平角定义 1 2 180 已知 2 4 同角的补角相等 a b 同位角相等 两直线平行 证法3 1 5 180 平角定义 1 2 180 已知 2 5 同角的补角相等 a b 内错角相等 两直线平行 点拨 证明两直线平行 关键是找到与待证结论相关的角 例4 如图所示 在 ABC中 D E F分别为AB AC BC上的点 且DE BC EF AB 求证 ADE EFC 分析 要证 ADE EFC 只要证出 ADE和 EFC都和 B相等即可 而由DE BC EF AB 可知这两个角都和 B相等 证明 DE BC 已知 ADE B 两直线平行 同位角相等 EF AB 已知 B EFC 两直线平行 同位角相等 ADE EFC 等量代换 规律总结 在有平行线的前提下 若要求证相等的两个角不是两平行线被截所得的角 要借助一个中间量 将两者联系起来 例5 如图所示 1与 2互补 B D 求证 AB CD 分析 要证AB CD 要寻找同位角相等或内错角相等 或同旁内角互补 题中条件不能直接应用 但可作为桥梁 证明 1 3 对顶角相等 1与 2互补 已知 2与 3互补 等量代换 DE BF 同旁内角互补 两直线平行 B 4 已知两直线平行 同位角相等 B D 已知 4 D 等量代换 AB CD 内错角相等 两直线平行 例6 求证 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 分析 这是一道文字证明题 先要画出图形 写出已知 求证 再写出证明过程 已知 如图所示 直线a c b c 求证 a b 证明 a c b c 已知 1 90 2 90 垂直的定义 1 2 等量代换 a b 同位角相等 两直线平行 方法归纳 解答文字叙述类证明题的关键是正确理解文字信息 把文字表示的命题 翻译 成用图形和符号表示 即画图形 写出已知 求证 最后再写出证明过程 三角形的内角 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180 三角形的内角和与三角形的大小 形状都没有关系 随堂演练 例1 1 在 ABC中 若 A 50 B C 则 B 2 若一个三角形的三个内角之比为4 3 2 则这个三角形的最大内角为 3 在Rt ABC中 A B 135 则 B的度数是 A 45 B 90 C 45 或90 D 不能确定 答案 1 65 2 80 3 C 提示 1 三角形三个内角的和等于180 题中为等腰三角形 已知顶角 可求出其中一底角 2 已知三个内角之比4 3 2 180 4 3 2 20 再按三个比值分别求出三个角 其中最大内角为20 4 80 3 在不能确定哪个角是直角的情况下 那么 B的度数有两个 例2 1 ABC中 A B C 则 ABC是 三角形 2 不能判定三角形是直角三角形的条件是 A A B CB A B CC A 90 BD A B 90 3 一个三角形中 至少有 个角是锐角 至多有 个角是钝角或直角 提示 1 根据题中比例关系 用一元一次方程的方法建立方程解答 2 能判断三内角中有一个角是直角的是A B C 选D 答案 1 钝角 2 D 3 21 例3 如图所示 1 2 3 4 2 如图所示 1 2 3 4 5 6 提示 三角形三个内角的和等于180 把这六个角分到两个三角形求内角和 答案 1 280 2 360 例4 1 如图Rt ABC中 ACB 90 A 50 将其折叠 使点A落在CB上A 处 折痕为CD 则A DB等于 A 40 B 30 C 20 D 10 2 如图 在 ABC中 C 90 EF AB 1 50 则 B的度数为 A 50 B 60 C 30 D 40 提示 1 折叠后的两个三角形对应的角 边都相等 2 利用 两直线平行内错角相等 的性质 可推出 A 1 50 便可以求出 B 答案 1 D 2 D 例5 如图所示 将三角形纸片ABC的一个角折叠 折痕为EF 若 A 80 B 68 CFE 78 求 CEF的度数 提示 利用三角形内角和求出 C的度数 而 C又为图中两个三角形的公共角 已知 CFE 78 即可得出 CEF的度数 答案 70 例6 如图所示 B处在A处的南偏西60 方向 C处在A处的南偏东20 方向 C处在B处的南偏东80 方向 求 ACB的度数 答案 60 例7 如图 DP平分 CDA BP平分 ABC 则 P A C之间的关系怎样 请说明理由 提示 根据三角形内角和定理 在类似如图八字形的三角形中 对顶角相等 另外两组内角之和也相等 答案 2 P C A 三角形的外角 1 三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角 叫做三角形的外角 如图 像 ACD那样 三角形的一边与另一条边延长线组成的角就是三角形的外角 外角特征 1 顶点在三角形的一个顶点上 如 ACD的顶点C是 ABC的一个顶点 2 一条边是三角形的一边 如 ACD的一条边AC正好是 ABC的一条边 3 另一条边是三角形某条边的延长线如 ACD的边CD是 ABC的BC边的延长线 2 性质 1 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 2 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 3 三角形的外角和为360 随堂演练 例1 1 如图所示 下列结论正确的是 A 1 2 AB 1 A 2C A 2 1D 2 1 A 提示 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 答案 A 2 如图 1 100 2 145 那么 3等于 A 55 B 65 C 75 D 85 提示 利用三角形的外角和为360 求出 3的邻补角 从而得 3的度数 答案 B 3 在 ABC中 A 53 B 63 那么 ABC的最小外角是 A 117 B 63 C 116 D 53 提示 利用三角形内角和定理求出 C 最大内角的邻补角就是最小外角 答案 C 4 如图 AD与BC相交于O AB CD B 20 D 40 那么 BOD的度数为 提示 因为AB CD 所以 A D 4