初中数学中考总复习中考一轮复习第六单元-圆ppt课件

新课标 SK 第28讲圆的有关性质第29讲直线和圆的位置关系第30讲圆与圆的位置关系第31讲与圆有关的计算 第六单元圆 第六单元圆 第28讲 圆的有关性 第28课时圆的有关性质 第28讲 考点聚焦 考点1圆的有关概念 第28讲 考点聚焦 线段 考点2确定圆的条件及相关概念 第28讲 考点聚焦 垂直平分线 考点3圆的对称性 第28讲 考点聚焦 圆既是一个轴对称图形又是一个 对称图形 圆还具有旋转不变性 中心 考点4垂径定理及其推论 第28讲 考点聚焦 平分弦 考点5圆心角 弧 弦之间的关系 第28讲 考点聚焦 弧 弦 考点6圆周角 第28讲 考点聚焦 相等 一半 相等 直角 直径 直角 考点7圆内接多边形 第28讲 考点聚焦 对角互补 考点9反证法 第28讲 考点聚焦 第28讲 归类示例 类型之一确定圆的条件 命题角度 1 确定圆的圆心 半径 2 三角形的外接圆圆心的性质 10或8 例1 2012 资阳 直角三角形的两边长分别为16和12 则此三角形的外接圆半径是 第28讲 归类示例 第28讲 归类示例 1 过不在同一条直线上的三个点作圆时 只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可 没有必要作出第三条线段的垂直平分线 事实上 三条垂直平分线交于同一点 2 直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆 类型之二垂径定理及其推论 命题角度 1 垂径定理的应用 2 垂径定理的推论的应用 第28讲 归类示例 例2 2012 南通 如图28 1 O的半径为17cm 弦AB CD AB 30cm CD 16cm 圆心O位于AB CD的上方 求AB和CD的距离 图28 1 第28讲 归类示例 解析 过圆心O作弦AB的垂线 垂足为E 易证它也与弦CD垂直 设垂足为F 由垂径定理知AE BE CF DF 根据勾股定理可求OE OF的长 进而可求出AB和CD的距离 第28讲 归类示例 垂径定理及其推论是证明两线段相等 两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一 在有关弦长 弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段 构造直角三角形 第28讲 归类示例 类型之三圆心角 弧 弦之间的关系 例3 2011 济宁 如图28 2 AD为 ABC外接圆的直径 AD BC 垂足为点F ABC的平分线交AD于点E 连接BD CD 1 求证 BD CD 2 请判断B E C三点是否在以D为圆心 以DB为半径的圆上 并说明理由 第28讲 归类示例 命题角度 在同圆或等圆中 圆心角 弧 弦之间的关系 图28 2 第28讲 归类示例 解析 1 根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明 2 利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB DE DC 解 1 证明 AD为直径 AD BC BD CD BD CD 2 B E C三点在以D为圆心 以DB为半径的圆上 理由 由 1 知 BD CD BAD CBD DBE CBD CBE DEB BAD ABE CBE ABE DBE DEB DB DE 由 1 知 BD CD DB DE DC B E C三点在以D为圆心 以DB为半径的圆上 圆心角 弧 弦之间关系巧记 同圆或等圆中 有些关系要搞清 等弧对的弦相等 圆心角相等对弧等 等弦所对圆心角相等 反之亦成立 第28讲 归类示例 类型之四圆周角定理及推论 D 命题角度 1 利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数 2 直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算 第28讲 归类示例 例4 2012 湘潭 如图28 3 在 O中 弦AB CD 若 ABC 40 则 BOD A 20 B 40 C 50 D 80 图28 3 解析 先根据弦AB CD得出 ABC BCD 40 再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 即可得出 BOD 2 BCD 2 40 80 第28讲 归类示例 圆周角定理及其推论建立了圆心角 弦 弧 圆周角之间的关系 最终实现了圆中的角 圆心角和圆周角 的转化 第28讲 归类示例 类型之五与圆有关的开放性问题 命题角度 1 给定一个圆 自由探索结论并说明理由 2 给定一个圆 添加条件并说明理由 第28讲 归类示例 例5 2012 湘潭 如图28 4 在 O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P AC 0 5AB 点P在半圆弧AB上运动 不与A B两点重合 过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点 图28 4 1 如图 求证 PCD ABC 2 当点P运动到什么位置时 PCD ABC 请在图 中画出 PCD 并说明理由 3 如图 当点P运动到CP AB时 求 BCD的度数 第28讲 归类示例 第28讲 归类示例 解析 1 由AB是 O的直径 根据直径所对的圆周角是直角 即可得 ACB 90 又由在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 即可得 A P 2 由 PCD ABC 可知当PC AB时 PCD ABC 利用相似比等于1的相似三角形全等 3 由 ACB 90 AC 0 5AB 可求得 ABC的度数 利用同弧所对的圆周角相等得 P A 60 通过证 PCB为等边三角形 由CD PB 即可求出 BCD的度数 第28讲 归类示例 解 1 证明 AB为直径 ACB D 90 又 CAB DPC PCD ABC 2 如图 当点P运动到PC为直径时 PCD ABC 理由如下 PC为直径 PBC 90 则此时D与B重合 PC AB CD BC 故 PCD ABC 3 AC 0 5AB ACB 90 ABC 30 CAB 60 CPB CAB 60 PC AB PCB 90 ABC 60 PBC为等边三角形 又CD PB BCD 30 圆是一个特殊的封闭图形 它具有一些特殊的性质 在给定一个圆之后 可以得到不同类型的结论 与圆有关的探究性问题是近年中考中的常见类型 由于此类试题新颖 灵活又不难 广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力 所以此类问题成为中考的热点之一 在解决这些问题的时候 要把握准圆的性质的应用 第28讲 归类示例 类型之六尺规作图 命题角度 能正确地按要求进行尺规作图 第28讲 归类示例 例6 2012 鞍山 如图28 5 某社区有一矩形广场ABCD 在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树 为了进一步美化环境 社区欲在BD上 点B除外 选一点P再种一棵景观树 使得 MPN 90 请在图中利用尺规作图画出点P的位置 要求 不写已知 求证 作法和结论 保留作图痕迹 图28 5 解析 先作出MN的中点 再以MN为直径作圆与BD相交于点P 解 如下图所示 连结MN 作出MN的垂直平分线 交MN于E 以E为圆心 EM的长为半径画圆与BD交于点P 标出点P 如图所示 点P就是所求作的点 第28讲 归类示例 第28讲 归类示例 变式题 2010 泰州 如图28 6 已知 ABC 利用直尺和圆规 根据下列要求作图 保留作图痕迹 不要求写作法 并根据要求填空 1 作 ABC的平分线BD交AC于点D 2 作线段BD的垂直平分线交AB于点E 交BC于点F 由以上作图可得 线段EF与线段BD的关系为 图28 6 互相垂直平分 解 1 作图如下图 2 作图如下图 互相垂直平分 第28讲 归类示例 中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求 完成以下基本作图 作一条线段等于已知线段 作一个角等于已知角 作角的平分线 作线段的垂直平分线 利用基本作图作三角形 已知三边作三角形 已知两边及其夹角作三角形 已知两角及其夹边作三角形 已知底边及底边上的高作等腰三角形 探索如何过一点 两点和不在同一直线上的三点作圆 了解尺规作图的步骤 对于尺规作图题 会写已知 求作和作法 不要求证明 我们在掌握这些方法的基础上 还应该会解一些新颖的作图题 进一步培养形象思维能力 第28讲 归类示例 类型之七反证法 命题角度 1 反例的作用 利用反例可以证明一个命题是错误的 2 反证法的含义 第28讲 归类示例 例7 2012 包头 已知下列命题 若a 0 则 a a 若ma2 na2 则m n 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 垂直于弦的直径平分弦 其中原命题与逆命题均为真命题的个数是 A 1个B 2个C 3个D 4个 B 解析 四个命题的原命题均为真命题 的逆命题为 若 a a 则a 0 是真命题 的逆命题为 若m n 则ma2 na2 是假命题 当a 0时 结论就不成立 的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等 是真命题 的逆命题是 平分弦的直径垂直于弦 是假命题 当这条弦为直径时 结论不一定成立 综上可知原命题和逆命题均为真命题的是 故答案为B 第28讲 归类示例 第28讲 归类示例 变式题 2012 攀枝花 下列四个命题 等边三角形是中心对称图形 在同圆或等圆中 相等的弦所对的圆周角相等 三角形有且只有一个外接圆 垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 其中真命题的个数有 A 1个B 2个C 3个D 4个 B 解析 等边三角形是轴对称图形 但不是中心对称图形 即 是假命题 如图 C和 D不相等 即 是假命题 三角形有且只有一个外接圆 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点 即 是真命题 垂直于弦的直径平分弦 且平分弦所对的两条弧 即 是真命题 故选B 第28讲 归类示例 第29讲 直线和圆的位置关系 第29课时直线和圆的位置关系 第29讲 考点聚焦 考点1点和圆的位置关系 d r d r d r 第29讲 考点聚焦 考点2直线和圆的位置关系 d r d r d r 第29讲 考点聚焦 考点3圆的切线 垂直于 切点 圆心 唯一 半径 垂直于 考点4切线长及切线长定理 第29讲 考点聚焦 相等 平分 考点5三角形的内切圆 第29讲 考点聚焦 三条角平分线 距离 第29讲 考点聚焦 第29讲 归类示例 类型之一点和圆的位置关系 命题角度 点和圆的位置关系 2 例1 2012 广元 在同一平面上 O外一点P到 O上一点的距离最长为6cm 最短为2cm 则 O的半径为 cm 解析 画图得 O外一点P到 O上一点的距离最长为6cm 最短为2cm 则直径为4cm 半径为2cm 第29讲 归类示例 准确理解题意解题 必要时画出图形进行观察 第29讲 归类示例 类型之二直线和圆的位置关系的判定 命题角度 1 定义法判定直线和圆的位置关系 2 d r比较法判定直线和圆的位置关系 D 例2 2012 无锡 已知 O的半径为2 直线l上有一点P满足PO 2 则直线l与 O的位置关系是 A 相切B 相离C 相离或相切D 相切或相交 第29讲 归类示例 解析 分OP垂直于直线l OP不垂于直线l两种情况讨论 当OP垂直于直线l时 即圆心O到直线l的距离d 2 r O与l相切 当OP不垂直于直线l时 即圆心O到直线l的距离d 2 r O与直线l相交 故直线l与 O的位置关系是相切或相交 第29讲 归类示例 在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法 也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较 在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法 类型之三圆的切线的性质 命题角度 1 已知圆的切线得出结论 2 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明 第29讲 归类示例 例3 2012 扬州 如图29 1 AB是 O的直径 C是 O上一点 AD垂直于过点C的切线 垂足为D 1 求证 AC平分 BAD 2 若AC 2 5 CD 2 求 O的直径 图29 1 第29讲 归类示例 第29讲 归类示例 圆的切线垂直于过切点的半径 所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法 第29讲 归类示例 类型之四圆的切线的判定方法 例4 2011 淮安 如图29 2 AD是 O的弦 AB经过圆心O 交 O于点C DAB B 30 1 直线BD是否与 O相切 为什么 2 连接CD 若CD 5 求AB的长 第29讲 归类示例 命题角度 1 利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径 判定这条直线是圆的切线 2 利用一条直线经过半径的外端 且垂直于这条半径 判定这条直线是圆的切线 图29 2 第29讲 归类示例 解析 1 连接OD 因为OA OD 所以 ODA A 30 又因为 ADB 180 A B 120 所以 ODB 90 即BD是 O的切线 2 思路一 因为AC是直径 所以 ADC 90 由于 A 30 利用直角三角形中30 角所对的直角边等于斜边的一半 所以AC 2CD 10 CDB ADB ADC 30 B 所以BC CD 5 所以AB AC BC 15 思路二 AC是直径 所以 ADC 90 A 30 求出 DOB 60 进一步得到 ODC是等边三角形 然后把AB分成三条线段的和来求 具体类似思路一 第29讲 归类示例 解 1 直线BD与 O相切 理由如下 如图 连接OD OA OD ODA DAB B 30 ODB 180 ODA DAB B 180 30 30 30 90 即OD BD 直线BD与 O相切 第29讲 归类示例 2 由 1 知 ODA DAB 30 DOB ODA DAB 60 又 OC OD DOC是等边三角形 OA OD CD 5 又 B 30 ODB 90 OB 2OD 10 AB OA OB 5 10 15 在涉及切线问题时 常连接过切点的半径 要想证明一条直线是圆的切线 常常需要作辅助线 如果已知直线过圆上某一点 则作出过这一点的半径 证明直线垂直于半径 如果直线与圆的公共点没有确定 则应过圆心作直线的垂线 证明圆心到直线的距离等于半径 第29讲 归类示例 类型之五切线长定理的运用 命题角度 1 利用切线长定理计算 2 利用切线长定理证明 第29讲 归类示例 例5 2012 绵阳 如图29 3 PA PB分别切 O于A B两点 连接PO AB相交于D C是 O上一点 C 60 1 求 APB的大小 2 若PO 20cm 求 AOB的面积 图29 3 解析 1 由切线的性质 即可得OA PA OB PB 又由圆周角定理 求得 AOB的度数 继而求得 APB的大小 2 由切线长定理 可求得 APO的度数 继而求得 AOP的度数 易得PO是AB的垂直平分线 然后利用三角函数的性质 求得AD与OD的长 第29讲 归类示例 第29讲 归类示例 1 利用过圆外一点作圆的两条切线 这两条切线的长相等 是解题的基本方法 2 利用方程思想求切线长常与勾股定理 切线长定理 圆的半径相等紧密相连 第29讲 归类示例 类型之六三角形的内切圆 命题角度 1 三角形的内切圆的定义 2 求三角形的内切圆的半径 第29讲 归类示例 例6 2012 玉林 如图29 5 Rt ABC的内切圆 O与两直角边AB BC分别相切于点D E 过劣弧DE 不包括端点D E 上任一点P作 O的切线MN 与AB BC分别交于点M N 若 O的半径为r 则Rt MBN的周长为 图29 5 C 第29讲 归类示例 解析 连接OD OE 则 ODB DBE OEB 90 推出四边形ODBE是正方形 得出BD BE OD OE r 根据切线长定理得出MP DM NP NE Rt MBN的周长为 MB NB MN MB BN NE DM BD BE r r 2r 故选C 解三角形内切圆问题 主要是切线长定理的运用 解决此类问题 常转化到直角三角形中 利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决 第29讲 归类示例 第30讲 圆与圆的位置关系 第30课时圆与圆的位置关系 第30讲 考点聚焦 考点1圆和圆的位置关系 d R r d R r R r d R r d R r d R r 第30讲 考点聚焦 考点2相交两圆的性质 考点3相切两圆的性质 第30讲 考点聚焦 切点 第30讲 归类示例 类型之一圆和圆的位置关系的判别 命题角度 1 根据两圆的公共点的个数确定 2 根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定 D 例1 2012 上海 如果两圆的半径长分别为6和2 圆心距为3 那么这两圆的关系是 A 外离B 相切C 相交D 内含 解析 两个圆的半径分别为6和2 圆心距为3 又 6 2 4 4 3 这两个圆的位置关系是内含 类型之二和相交两圆有关的计算 命题角度 1 相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系 2 和勾股定理有关的计算 第30讲 归类示例 例2 2012 宜宾 如图30 1 O1 O2相交于P Q两点 其中 O1的半径r1 2 O2的半径r2 2 过点Q作CD PQ 分别交 O1和 O2于点C D 连接CP DP 过点Q任作一直线AB分别交 O1和 O2于点A B 连接AP BP AC DB 且AC与DB的延长线交于点E 图30 1 第30讲 归类示例 第30讲 归类示例 类型之三和相切两圆有关的计算 例3 1 计算 如图30 2 直径为a的三等圆 O1 O2 O3两两外切 切点分别为A B C 求O1A的长 用含a的代数式表示 第30讲 归类示例 命题角度 1 相切两圆的性质 2 两圆相切的简单应用 图30 2 第30讲 归类示例 图30 2 2 探索 若干个直径为a的圆圈分别按如图30 2 所示的方案一和如图30 2 所示的方案二的方式排放 探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h n 用含n a的代数式表示 第30讲 归类示例 3 应用 现有长方体集装箱 其内空长为5米 宽为3 1米 高为3 1米 用这样的集装箱装运长为5米 底面直径 横截面的外圆直径 为0 1米的圆柱形钢管 你认为采用 2 中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多 并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管 3 1 73 第30讲 归类示例 第30讲 归类示例 第31讲 与圆有关的计算 与圆有关的计算 第31讲 考点聚焦 考点1正多边形和圆 中心 半径 中心角 边心距 第31讲 考点聚焦 第31讲 考点聚焦 考点2圆的周长与弧长公式 2 R 考点3扇形的面积公式 第31讲 考点聚焦 考点4圆锥的侧面积与全面积 第31讲 考点聚焦 第31讲 考点聚焦 半径 母线 周长 ra 第31讲 归类示例 类型之一正多边形和圆 命题角度 1 正多边形和圆有关的概念 2 正多边形的有关计算 A 例1 2012 安徽 为增加绿化面积 某小区将原来正方形地砖更换为如图31 1所示的正八边形植草砖 更换后 图中阴影部分为植草区域 设正八边形与其内部小正方形的边长都为a 则阴影部分的面积为 A 2a2B 3a2C 4a2D 5a2 第31讲 归类示例 圆的内接正n边形 n 3 的每条边所对的圆心角都相等 为 第31讲 归类示例 类型之二计算弧长 命题角度 1 已知圆心角和半径求弧长 2 利用转化思想求弧长 第31讲 归类示例 例2 2012 广安 如图31 2 Rt ABC的边BC位于直线l上 AC 3 ACB 90 A 30 若Rt ABC由现在的位置向右无滑动翻转 当点A第3次落在直线l上时 点A所经过的路线的长为 结果用含 的式子表示 图31 2 第31讲 归类示例 解析 根据含30 角的直角三角形三边的关系得到BC 1 AB 2BC 2 ABC 60 点A先是以B点为旋转中心 顺时针旋转120 到A1 再以点C1为旋转中心 顺时针旋转90 到A2 然后根据弧长公式计算两段弧长 从而得到点A第3次落在直线l上时 点A所经过的路线的长 第31讲 归类示例 类型之三计算扇形面积 例3 2012 泰州 如图31 3 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中 ABC的顶点A B C在小正方形的顶点上 将 ABC向下平移4个单位 再向右平移3个单位得到 A1B1C1 然后将 A1B1C1绕点A1顺时针旋转90 得到 A1B2C2 1 在网格中画出 A1B1C1和 A1B2C2 2 计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积 重叠部分不重复计算 第31讲 归类示例 命题角度 1 已知扇形的半径和圆心角 求扇形的面积 2 已知扇形的弧长和半径 求扇形的面积 第31讲 归类示例 图31 3 解析 1 根据图形平移及旋转的性质画出 A1B1C1及 A1B2C2即可 2 将 ABC向下平移4个单位 A