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矩阵与柯西不等式 / 林磊矩阵与柯西不等式华东师范大学数学系 林磊一、教学目的利用TI-92计算器，探讨运用矩阵来证明以及设计一类重要的不等式。二、柯西不等式在中学里，我们就熟悉了如下的一个不等式： ， （*）其中，为任何实数。且等号成立当且仅当向量与成比例。这就是著名的柯西不等式。如果我们将不等式（*）用内积的形式来表示，则可将它改写成此处，表示与的标准内积（或点积），而即为向量的长度。上述不等式是柯西不等式的一般形式（且此处的内积可以是任意确定的内积，不必局限于标准内积）。三、正定矩阵我们将个数排成一个行列的数表称为一个行列的矩阵。如果，则称为阶方阵。如果一个阶方阵中的每个数都是实数，并且对于所有的，的位置上的数与位置上的数均相等，则称为（阶实）对称矩阵。对于任何一个实对称矩阵，我们都可以定义一个元的二次函数：称为由所定义的二次型。例如：如果，则由所定义的二次型为。如果是由对称矩阵所定义的二次型。并且，对所有的实数，有，而且等号成立当且仅当，则称为正定矩阵。例如，取矩阵，则它所定义的二次型。显然且当且仅当。所以是正定矩阵。又如，取，则。由于，所以不是正定矩阵。那么对于一个实对称矩阵，我们如何来判别它是否为正定矩阵？我们可以通过在TI-92计算器中编制一个程序来加以判定。至于判定一个实对称矩阵是否为正定矩阵的根据，这就要用到线性代数的相关知识了，在此我们不作介绍。四、柯西不等式与正定矩阵的关系柯西不等式与正定矩阵之间有什么关系呢？设是一个阶正定矩阵，则对任何向量与，定义 （*）则可以证明由（*）式定义的一定是维向量间的内积。反之，对于维向量间的任意一种内积，一定存在一个阶正定矩阵，使得对任何向量和，可由（*）式来定义。因此，给定了一个阶正定矩阵，在维向量间就可由该矩阵定义一个内积，从而可得到相应的柯西不等式：。五、具体例子 例1证明不等式 对所有实数和均成立。证明：从不等式来看，可知它相当于，其中是由矩阵所定义的。但要证明是内积还需证明是个正定矩阵。为此，我们利用TI-92计算器来判定这一点。首先，在计算器中输入矩阵（如图1）。然后，我们执行一个名为zdjz（即正定矩阵的拼音缩写）的程序（该程序预先已编制好），并输入矩阵。从程序中得知，该矩阵为正定矩阵（见图2）。从而可看出该不等式就是由所确定的内积所产生的柯西不等式，因此不等式成立。 图1 图2注：上述不等式可以推广为 ，其中是正整数，而，是任意实数。 例2试利用矩阵给出一个对应的柯西不等式。解：我们首先来确定是否为正定矩阵。为此，执行一下程序zdjz，得出是正定的（见图3）。因此由可定义一个内积，从而得柯西不等式 。当然，并非所有实对称矩阵都是正定的。 图3 图4例3设矩阵，试判断的正定性。解：执行程序zdjz，输入矩阵，由程序判断可知不是正定的（见图4）。图5该程序还可以判别输入的矩阵是否为实对称矩阵。例如，
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