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无穷级数练习题1. 讨论下列级数的敛散性：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。2. 对级数，若，证明：时级数收敛，时级数发散。3. 设正项级数收敛，证明：（1）收敛；（2）收敛。4. 设n充分大时，且收敛，证明：收敛。5. 设，讨论级数的敛散性。6. 下列级数是否收敛？如收敛是绝对收敛还是条件收敛？（1）； （2）。7. 对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？8. 设正项数列单调减少，且发散，讨论的敛散性。9. 设，（1）求的值；（2）讨论的敛散性。10. 设幂级数在处条件收敛，求的收敛区间。11. 求级数的收敛域（1）； （2）； （3）。12. 求下列级数的和：（1）； （2）； （3）； （4）。13. 求下列幂级数的和函数：（1） （2） （3）14. 利用幂级数展开式求导数：（1） （2）15. 求下列函数关于x 的幂级数展开式，并指出收敛域：（1）； （2）。16. 把展开为 的幂级数。答案：1：收敛；收敛；收敛；收敛；发散2，3，4：略。 5：。 6：条件收敛；条件收敛。7：条件收敛，发散。8：收敛。 9：1，收敛。 10： 11：时时，。12：。 13： ，14：，15（2） 16：，。无穷级数部分例题解答例1. 设数列满足，若级数都收敛，证明：也收敛。 证：由知：； 再由都收敛，得收敛。根据正项级数的比较判别法得收敛。所以 收敛。例2. 设），讨论级数的敛散性。解：级数收敛，证明如下：因为），所以 由于 ，所以从而级数前n项的和 + =即正项级数前n项的和有界。所以正项级数收敛。例3 （1）讨论级数的敛散性。 （2）证明：数列 收敛； （3）求。解： （1） 根据常用不等式 可知：，所以级数是正项级数，由于故由比较判别法，得级数与同收敛。（2） 由于收敛，故前n项的和有极限，即 有极限，上式可变形为 ，所以数列 收敛；（3）例4 设级数条件收敛，极限存在，求r的值，并举出满足这些条件的例子。解：r = 1，证明如下：若，则，它说明级数收敛，与条件收敛矛盾。若，则，它说明级数发散，与条件收敛矛盾。若，则n充分大时，它说明同号（同为正，或者同为负），级数收敛时就是绝对收敛，矛盾。综上所述，r = 1。满足这些条件的例子为： 例5 设k为常数，讨论级数的敛散性，并在收敛时说明是绝对收敛还是条件收敛。（PPT上题目与这里有出入，以这里为准）解： 此时级数发散；考虑 因为，故由收敛得：收敛，级数收敛；且是绝对收敛。故由发散得：发散，此时级数不是绝对收敛；由于显然满足： 根据交错级数的莱布尼滋判别法知：级数收敛；且是条件收敛。级数前n项的和 = 即正项级数前n项
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