向量的坐标表示.doc

4.1 平面向量 （四） 平面向量的直角坐标及运算一、 复习旧知：（1）坐标系和点的坐标表示； （2）数和向量的意义和表示方法。导入：哲学家卡尔.波普尔曾指出“科学与知识的增长永远始于问题，终于问题愈来愈深化的问题，愈来愈能启发新问题的问题”，这对数学亦不例外。因此，在新课的引入中首先提出 “在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示”。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”启发学生思考二、 新授：1、 用坐标表示起点为原点的平面向量：i、 j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量。则MNxyji0A(4,3)一般地，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j，则对平面内任一向量a，都有唯一一对实数x、y，使得a=xi+yj我们把有序数对（x,y）叫做向量a的直角坐标，记作a=(x,y)我们把 ( x , y ) 叫做向量的直角坐标，记作 其中x叫做在 x 轴上的坐标， y叫做在y轴上的坐标。2、运算律：（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：（其中）（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标： 如果，则；（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若，则；例题1： 用:单位向量、分别表示向量、，并求它们的坐标；方法一：=2+3，=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法二：A（2，2），B（4，5）=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）方法三：=（2，2），=（4，5）=-=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）同理=（-2，3），=（-2，-3），=（2，-3）（2，2）=（2，3） 例题2：已知a=（1,2）,b=(-5,3),求a+b,a-b,3a-2b分析：用向量的运算律进行计算 :拓展练习：例题3：已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标；分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；解：设D点坐标为（x，y）=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）=（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y） 由=得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为 （2，2）三、练习已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若，试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？四 小结:（1）用坐标表示起点为原点的平面向量：（2）运算律 五、作业：教材第94页2、3、4题 练习课一、复习：（1）平面向量的坐标表示； （2）平面向量的坐标运算律导入：某人在推小车，水平方向位移为s推力F的方向与地面夹角为30度，它做的功W等于力F在小推车位移：W=FScos30小车位移方向二、新授：1、平面向量的数量积的定义：（1）向量的夹角：已知两个非零向量，过O点作，则AOB=（001800）叫做向量的夹角。当且仅当两个非零向量同方向时，=00，当且仅当反方向时=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（2）垂直；如果的夹角为900则称垂直，记作。（3）的数量积：两个非零向量，它们的夹角为，则叫做称的数量积（或内积），记作，即=规定=0 非零向量 当且仅当时，=900，这时=0。（4）在方向上的投影：（注意是射影）所以，的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。2、 平面向量数量积的性质设是两个非零向量，是单位向量，于是有：（1）（2）（3）当同向时，；当反向时，特别地，。3、平面向量数量积的运算律（1）交换律成立：（2）对实数的结合律成立：（3）分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0（4）但是乘法公式成立： ；等等。4平面向量数量积的坐标表示（1）若=(x1,y1),=(x2,y2)则=x1x2+y1y2（2）若=(x,y),则|=.=x2+y2,（3）若A(x1,y1),B(x2,y2),则此式可以用来计算平面上任意两点间的距离。例1：判断下列各命题正确与否：（1）；（2）；（3）若，则；3、 若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。例2：已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角。解：由题意，且与的夹角为，所以，同理可得 而，设为与的夹角，则 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。例3已知，求a.b点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。例4：已知点A（-