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文档简介

综合练习题A一.单项选择题1.三阶矩阵的特征值为，则下列矩阵中非奇异矩阵是（ ）A.； B. ； C.； D.答案：A 解 因为若为三阶矩阵的特征值，则，也即当为矩阵的特征值时，矩阵为奇异矩阵. 由于不是矩阵的特征值，所以，即矩阵非奇异. 故答案A正确.2.与矩阵相似的矩阵是（ ）A.； B.； C.； D. 答案：C解 由于答案A，B，C，D均为上三角矩阵，其特征值均为，它们是否与矩阵相似，取决于对应特征值四个矩阵与单位矩阵的差的秩是否为1，即.由于只有答案C对应的，即对应有两个线性无关的向量，所以答案C正确.3.二次型的矩阵是（ ）.A.； B. ； C. ； D. 答案：C 解 因为，所以二次型矩阵为，故答案C正确.4.对于二次型，其中为阶实对称矩阵，下述各结论中正确的是（ ）.A.化为标准形的可逆线性变换是唯一的；B.化为规范形的可逆线性变换是唯一的；C.的标准形是唯一的； D.的规范形是唯一的.答案：D解 因为二次型的规范形是唯一的，所以答案D正确，而答案A,B,C均不正确.故答案D正确. 二、解答下列各题1.试证:由所生成的向量空间就是.证设 ，因为于是，故线性无关.由于均为三维且秩为3. 所以为此三维空间的一组基，故由所生成的向量空间就是.2.利用施密特正交化方法，将向量组化为正交的单位向量组解 令=，=， =，=（，再将向量组单位化，即得到正交的单位向量组 3.判别矩阵是否对角化？若可对角化，试求可逆矩阵，使为对角阵解 矩阵的特征多项式为=由，得矩阵的特征值为对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系.对于，解齐次线性方程组，可得方程组的一个基础解系，.由于有三个线性无关的特征向量，故可对角化令 则4.求一个正交变换将二次型化为标准形.解 二次型的矩阵为，其特征多项式为令，得矩阵的特征值为当时, 解方程组，由. 得基础解系 . 当时，解方程，由 得基础解系 . 当时，解方程，由 得基础解系 .将单位化，得,于是正交变换为. 且标准形为 5.判别二次型=是否为正定二次型.解 二次型的矩阵为.由于，即的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的.三、证明题如果为阶实对称矩阵，为阶正交矩阵，证
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