第02章 受迫振动

.,第二章受迫振动2.1线性系统的受迫振动2.2几个简化的实际例子2.3任意周期激励的响应2.4非线性系统的受迫振动2.5线性系统的瞬态响应,.,第二章受迫振动,系统在外界激励下产生的振动称为受迫振动，系统的受迫振动状态称为响应。激励既可以是外界提供的直接的力、力偶，也可能是间接作用因素，如温度、电磁场、位移等变化。按激励随时间的变化形式，可分为周期、瞬态和随机激励，本章学习周期和瞬态激励下，系统响应的求解方法和规律。,.,2.1线性系统的受迫振动,1.简谐激励的受迫振动,简谐激励力写成复数形式为,阻尼系统受迫振动方程为,这是一个线性常系数非齐次常微分方程，激励项显含时间变量t，因此系统成为非自治系统。线性方程的解可用叠加法，即方程的全解齐次通解非齐次特解。齐次通解上一章已求出，为,(2.1),.,非齐次特解用试凑法，设特解为，代入（2.1），得,H(w)是激励频率w的复变函数，称为系统的频率响应函数，简称频响函数。H(w)写成指数形式为,于是特解为,(2.2),(2.4),(2.3),.,方程（2.1）的全解为为,(2.5),上式右边第一项随时间衰减，称为暂态响应，第二项是持续振动，称为稳态响应。待定常数A、j由初始条件确定。系统的最后振动状态只剩下稳态响应，下面研究稳态响应与频率的关系。稳态振动（2.4）的频率与激励频率相同，振幅|X|和相位差q是激励频率的函数，由（2.3）、（2.4）式，将它们写成无量纲参数形式,.,幅频特性,相频特性,幅频特性曲线和相频特性曲线如图2.2。,(2.6),(2.7),.,图2.2幅频特性曲线和相频特性曲线,.,由图可见，对于小阻尼和无阻尼情况，在s=1附近，放大因子有明显的极大值，这种现象称为共振，对应的激励频率称共振频率，附近的幅频特性曲线称为共振峰。共振频率的准确值由db/ds=0导出,当阻尼较小时，共振频率近似等于固有频率。因此，对受迫振动，固有频率同样是一个重要的系统参数。共振峰的高度为,幅频曲线,已没有共振峰。因此系统共振峰的高度和陡削程度由阻尼唯一确定，定量关系由系统品质因数Q描述：,(2.8),(2.9),(2.10),.,显然，对小阻尼系统，可得,(2.11),(2.12),Dw称为系统的带宽。(2.11)、(2.12)式表明，品质因素Q同时表征了共振峰曲线的高度和陡削程度，即Q越大，则共振峰越高、越陡削。,.,当系统的激励为正弦函数和余弦函数时，方程（2.1）的解为,(2.13),(2.14),.,上式中各个参数重写如下：,.,2.受迫振动的过渡过程,系统从开始受到激励到稳态振动，有一个过程，称为过渡过程。研究过度过程有实际意义，如机器的通过共振问题。为简单起见，只说明无阻尼系统的过度过程。在（2.13）式中，令阻尼等于零，得全解为,上式右边第一、二项是由初始条件引起的自由振动，第三项是激励作用下的稳态振动，第四项是激励引起的自由振动，这一项需要特别注意。振动的时间历程曲线如图2.4。,(2.16),(2.15),.,.,在实际系统中，总有阻尼存在，（2.16）式中的第一、二项会很快衰减，当激励频率与固有频率接近时，会出现一种特殊的振动现象，即拍振现象。解释如下：令s=1+2e，上述条件下（2.16）式变为,因此，x可看成是振幅（X(t)）按慢频率（慢节拍）周期变化（振幅不恒定、慢变）、位移按快频率变化（位移快变）的周期振动，时间历程曲线如图2.5。,(2.17),.,.,当激励频率等于系统的固有频率时，即共振时，从（2.15）式看，系统的稳态解为,但再经仔细研究，无穷大的振幅不是瞬间达到的，而是逐渐建立的。实际上，这时特解的假设模式应改为如下形式,代入无阻尼受迫振动方程,得,即,.,由此得无阻尼受迫振动方程的特解为,(2.18),图2.6,.,例2.1在图示系统中,已知m,c,k1,k2,f0和w。求系统动力学方程和稳态响应。,.,解：由Newton第二定律，得：,由(2)式解出x1代入（1）式，得到关于x得系统动力学方程,设方程（3）右边两项对应的稳态复数解分别为和,得：,.,其中：,所以,返回得实数解为,.,解：用Lagrange方程建立系统动力学程，取广义坐标q，本题为完整非定常系统。,.,由Lagrange方程有,即,由题设有,并认为,.,稳态解为：,而,方程（1）变为,（2）,所以,.,例2.3汽车拖车可简化为图所示的力学模型，其中m,c,k和l已知。拖车的质量为m，以匀速v在不平的路面上行驶，路面形状设由给出，x=vt，拖车对与汽车的连接点O的转动惯量为J，轮质量不计，yo远小于l因而认为O点无垂直位移。求拖车振幅达到最大值时拖车的速度。,.,解：以O点为动矩心，应用相对运动动量矩定理得：,.,.,.,2.2几个简化的实际例子1.惯性测振仪,惯性测振仪如图2.7所示。被测物体的振动（基础振动）使测振仪中的弹簧质量振子振动，用记录仪将振子的相对运动记录下来，就可给出被测物体的振动。振子相对位移x的振动方程为,(2.20),(2.19),.,其中,图2.8所示为放大率X/B、相角与频率比的曲线。作为动态测量仪器，一般要求放大率和相角（相位差）近似为常值。由图可见，z0.7的几条曲线在高频率比区域基本上能满足这一要求，实际上，此时式（2.21）在高频率比区域近似为,(2.21),式（2.20）近似为,.,.,因此，按高频率比设计的测振仪测出的是振动位移。z0.7时，式（2.21）在低频率比区域近似为,式（2.20）近似为,因此，按低频率比设计的测振仪测出的是振动加速度。鉴于上述原因，一般测振仪的阻尼比取值z0.7。,.,2.振动的隔离,前面已经看到，弹性、阻尼元件能改变振动系统的振动特性，因此可以对系统附加弹性、阻尼元件来改变振动的传递特性，即隔振。在振动设备与地基之间采取隔振措施，使传到地基的振动力减小，称为主动隔振；反之，使振动地基传到设备的振动减小，称为被动隔振。图2.9为隔振模型。,（1）对主动隔振，假设设备上产生简谐振动力为F(t)=F0eiwt，如果不隔振，振动力1:1传到地基，隔振后，系统的振动方程为,幅频特性为,图2.9,.,传到地基的力为,（2）对被动隔振，假设地面的位移振动为y(t)=Yeiwt，如果不隔振，振动力1:1传到设备，隔振后，系统的振动方程为,.,可见，主、被动隔振的隔振系数表达式是相同的，但前者是力的传递系数，后者是位移地传递系数。隔振系数的幅频、相频曲线如图2.10。由图可见，设计隔振系统时，要选取弹性元件使频率比大于2.5或3，再按共振峰的削减要求选取阻尼元件。,.,频率比s,.,3.转子的临界转速,图2.11为简化的柔轴偏心转子。其质心运动微分方程为,(2.22),.,在小阻尼条件下，当s=1时，系统共振、振幅达到最大。使系统达到共振的转速称为转子的临界转速。当s时，b1=1，q1=p，这时转子的质心与轴线上O点重合，这种现象称为自动定心现象。,因为式中各矢量是xy平面内的平面矢量，故可用复数代替,方程（2.22）变为复微分方程,(2.23),与测振仪的方程形式完全相同，设特解为r=A1exp(wt-q1)，由（2.21）式，振幅放大因子和相角为,.,2.3任意周期激励的响应,1.谐波分析法,当激励F(t)为周期函数时，可将其展成Fourier级数：,其中,Fn称为F(t)的离散频谱，Fnnw的图形称为频谱图。,(2.24),.,对实周期函数F(t)，将其展成实Fourier级数往往更方便：,其中,实际上，以上所有积分中的积分区间只要任意取一个周期即可。另外，F(t)如果是偶函数，F(t)可展成余弦级数；F(t)如果是奇函数，F(t)可展成正弦级数。,(2.25),.,F(t)激励下的线性系统的振动方程可写为,根据线性系统的叠加原理，方程（2.26)的解为,(2.26),其中,(2.27),以上将周期函数展成Fourier级数的分析方法称为谐波分析法。,.,例2.4如图所示的系统，在凸轮的作用下受到图2.12b所示的锯齿波纹形支承运动的激励。已知m,c,k1,k2,w和a，求稳态响应。,.,解：系统动力学方程为,.,.,2.4非线性系统的受迫振动,1.谐波平衡法,设非线性系统受到任意周期激励的激励，动力学方程为,(2.28),设F(t)是均值为零的偶函数，因此可展成余弦级数,方程（2.28）写成,(2.29),.,对于非线性系统，叠加原理不适用，因此对方程（2.29）只能根据具体情况，求其近似解析解（半解析解）或数值解。假定对方程（2.29）存在周期解或拟周期解（近似周期解），并设解的均值为零，那么可将解假设成Fourier级数,（2.30）,期的周期函数，可展成Fourier级数，再令方程两边同阶谐波的系数相等，可定出an和qn。非线性振动方程的这种解法称为谐波平衡法。一般只确定解的前一、二阶谐波项。谐波平衡法是一种正交级数解法，式（2.30）也可以假设成其它正交级数，但一般不易找到合适的正交级数。谐波平衡法的缺点是事先不知道解的展式中要取多少项，对某些问题，项数取得不够，精度会很差。,.,2.用谐波平衡法求解Duffing方程的受迫振动,简谐激励的欠阻尼Duffing方程的标准形式为,方程右端为一个周期函数，方程的解应使得左端的结果也应该是一个相同的周期函数；考察左端的四项可知，如果将方程的解假设成一个与右端频率相同的周期函数，那么方程的左端的结果为相同频率的周期函数，但该周期函数的形状与右端的一般不会相同。因此可以预计，将方程（2.31）的解假设成一个与右端频率相同的周期偶函数，是一个正确的开端，接下来的任务是使方程两边的周期函数的形状尽量接近相同。根据上述分析，用一个不含常数项、基频为w的Fourier级数去逼近方程（2.31）的解是合适的，至少是值得一试的。我们取一阶谐波作为近似解，设,(2.31),.,代入（2.31），得,(2.32),.,两式平方和，得,代入C、D的表达式，得,令方程（2.31）两边一阶谐波的系数相等，得,(2.34),.,由（2.34）解出幅频特性方程为,相频特性方程由（2.33）得,(2.35),(2.36),为了由（2.35）式画出幅频特性曲线，分析如下：（1）明确s、A0；（2）曲线,(2.37),称为脊骨曲线，它将幅频特性曲线分为左、右两个分支：,.,（3）当A的某个值使得（2.35）式中的根式为零时，s的两个值相等，幅频曲线的两个分支在脊骨曲线上某点汇交，这时A达到边界值Ac，由下式确定,（2.38）,求解，得,.,因此，画幅频特性曲线的步骤如下：（1）画出脊骨曲线；（2）由（2.39）式求出Ac，并在脊骨曲线上标出Ac的位置；（3）从A=Ac值出发，在A值的变化范围内，由（2.38）式画出幅频曲线的两个分支。幅频特性曲线的示意图如图2.12。,(2.39),.,.,3.振幅跳跃现象,如图2.13，当激励频率从低到高缓慢变化时，振幅的值沿着分支1变化，一直到幅频曲线的顶点，然后振幅突变，跳到分支2上继续变化，整个路径如绿色箭头所指；当激励频率从高到低缓慢变化时，整个路径如橙色箭头所指。因此，分支2上的CD段曲线是不能实现的。,如果将相频特性曲线画出，会发现相位的变化将与幅值同步跳跃。由于跳跃现象是系统运动状态在某一参数临界值上的突变，因此是一种动态分岔现象。只有非线性系统才有这种现象。,.,例2.5（P53题2.13)用谐波平衡法确定单自由度非线性受迫振动系统的幅频曲线方程。,(2),(1),代人方程，得,.,.,（3）,.,.,例2.6当e充分小时，为确定非线性受迫振动系统幅值为a的共振解，可用线性受迫振动系统等效代替谐波原非线性系统。这一方法称为等效线性化法。分别用谐波平衡，能量平衡和误差平方累计最小三种方法，证明,.,（1）,（2）,（3）,.,（4）,按能量平衡原则，令非线性力与线性力在一个周期内的平均功率相等，有,(5),.,即,.,例2.7单自由度系统的动力学方程为,其中f(x)分别由图a、b和c给出。用谐波平衡法求振幅为A时自由振动固有频率的近似值。,.,解：图a、b为图c的两种特殊情况，因此，我们对图c的一般情况进行求解。设系统的一阶近似解为,(1),系统动力学方程，得,(2),显然，f为f的偶函数，同时由f(x)的特征，得,因此，f为f的以2p为周期、零均值的周期偶函数，由此可将f展成f的余弦级数。设,(3),.,其中,由式（1），得,将此代入式（4）并利用（1）式作变量代换，得,(5),(4),.,下面计算（4）式中的两个积分：,.,.,将I1、I2代入（4）式，得,(6),将（6）式代入（3）式、再代入（2）式，令各界谐波动系数等于零，得,注：在上述结果中，令k1=k、k2=0，即得对应于图a的结果；令k1=0、k2=k，即得对应于图b的结果。,.,2.5线性系统的瞬态响应,Duhamel积分法,线性系统在任意激励下的响应称为瞬态响应或暂态响应。本节介绍两种求瞬态响应的方法。,如图2.14，任意激励可以分割成一系列作用时间为dt的矩形激励的连续作用，如果激励为力，那么每个矩形激励就是一个冲量，对于其它类型的激励，统称为脉冲。理论上脉冲的作用时间趋近于零，因此任意激励可以认为是无穷多个脉冲的连续作用。因为线性系统的响应可以用叠加原理，因此各个脉冲的响应叠加起来，就得到系统的瞬态响应。为此先求系统的脉冲响应。,(2.40),式中d(t)为单位脉冲函数，也称Dirac-d函数。在数学上这是一个广义函数，其定义为,.,其函数形状如图2.15，根据定义，d函数有如下基本性质,第二个性质称为选择特性。从力学意义上讲，单位脉冲就是t=0时刻，在无穷小时间内作用一个无穷大的力，总的作用效果为一个单位冲量。设系统原来处于静止，在脉冲作用的瞬间，系统的加速度为无穷大，但由于脉冲的幅值与作用时间乘积的极限值为有限值，因此加速度与脉冲作用时间乘积（即系统的,(2.41),(2.42),.,速度）的极限值也必须为有限值，即在脉冲作用完的瞬间，系统的速度为有限值，进而系统的位移为零，即脉冲作用前后两个瞬间系统的位置不变。,根据以上分析，可以来求解方程（2.40）。设系统原来处于静止，我们计算脉冲作用完成的瞬间，系统的状态。方程两边同乘dt，再在区间（-e，e）上对t积分并取极限，得,因此，脉冲作用完成的瞬间，系统状态为,(2.43),.,以此作为初始条件，系统将作自由振动，也就是脉冲作用后系统的响应，称为脉冲响应，记为h(t),当脉冲作用时刻为t=t，即d(t-t)，则系统的脉冲响应为,当方程（2.40）右端为任意时变函数F(t)时，即,(2.46),F(t)可写成,(2.44),(2.45),.,应用式（2.45）和叠加原理，方程（2.46）的解为,(2.47),方程（2.47）中的积分称为Duhamel积分。,2.Fourier变换法,(2.46),重写方程（2.46）如下：,方程的求解思想是借用Fourier级数展开的方法，将任意激励函数F(t)展成谐波函数之和，再应用叠加原理。因此将函数F(t)看成周期T为无穷大的周期函数，于是其频率为Dw=2p/T0。复域上的Fourier级数为,.,其中,当T、Dw=2p/T0时，nDw将在频率轴w上连续排列，即nDw=w。于是式（2.50）的右端变成,(2.48),(2.49),(2.49)式可写成,(2.50)