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第九章 第七节 一 方向导数 二 梯度 三 物理意义 方向导数与梯度 一 方向导数 1 定义 若函数f x y z 在点P x y z 处沿方向l 方向角为 存在下列极限 则称 为函数在点P处沿方向l的方向导数 记作 2 定理 若函数f x y z 在点P x y z 处可微 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 且有 证明 由函数f x y z 在点P可微 得 故 其中 为l的方向角 对于二元函数f x y 在点P x y 处沿方向l 方向角为 的方向导数为 特别 当l与x轴同向 当l与x轴反向 例1 求函数u x2yz在点P 1 1 1 沿向量的方向导数 例2 求函数z 3x2y y2在点P 2 3 沿曲线y x2 1朝x增大方向的方向导数 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点P的切向量为 例3 设是曲面2x2 3y2 z2 6在点P 1 1 1 处指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 的方向导数 在点P处沿方向 求函数 二 梯度 方向导数公式 令向量 这说明 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 同样可定义二元函数f x y 在点P x y 处的梯度 1 定义 向量称为函数f P 在点P处的梯度 gradient 记作 gradf 即 说明 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 设fx fy不同时为零 则L 上点P处的法向量为 2 梯度的几何意义 1 书上例题见mathematica 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 2 对应函数u f x y z 有等值面 f x y z C 当各偏导数不同时为零时 其上点P处的法向量为 指向函数增大的方向 3 梯度的基本运算公式 证 试证 1 数量 标量 场 在空间任一点M存在着一个标量f M 或 它的数值是空间位置的函数 如气压场 温度场 电势等 2 向量 矢量 场 在空间任一点M存在着一个矢量 它的大小和方向是空间位置的函数 如电场 磁场 流速场等 研究任何标量场时 常引入 等值面 概念 三 物理意义 3 可微函数f M 梯度场gradf M 标量场 或势 矢量场 注意 任意一个向量场不一定是梯度场 因为它不一定是某个标量函数的梯度 例如 电场中的电势是标量场 它的梯度的负值等于电场强度 是个矢量场 例5 已知位于坐标原点的点电荷q在任意点P x y z 处所产生的电势为 试证 证 利用例4的结果 这说明场强 垂直于等位面 且指向电势减少的方向 类似的如 万有引力场和万有引力势 作业 P1082 3 6 7 8 9 4 10 1 曲线方程为参数方程的情况 切向量 一 空间曲线的切线与法平面 2 曲线为
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