2013二次函数2012年汇编大题周矶中学专题复习

（2012河北省24,9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在550之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元（利润=出厂价-成本价）。求一张薄板的利润与边长这之间满足的函数关系式。当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线的顶点坐标是。【解析】（1）根据每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，设出出厂价的表达式（为一次函数）再根据表格中的数据，求出解析式。（2）根据利润=出厂价-成本价，列出利润的关系式，为二次函数，再利用顶点坐标，求出当边长为多少时，博班利润最大？最大利润是多少？但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。【答案】解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n2分由表格中数据得 解得 y=2x+10（2）设一张薄板的利润为P元，它的成本价为mx2元，由题意得P=22x+10-mx2将x=40，P=26代入P=2x+10-mx2中，得26= 解得m= 当（在550之间）时，即出厂一张边长为25cm的薄板，所获得的利润最大，最大利润为35元【注：边长的取值范围不作为扣分点】【点评】本题是一次函数、二次函数的用，求表达式，求极值。一次函数求极值是根据y随x的增大而增大还是缩小；二次函数的极值分为两部分：顶点极值和非顶点极值。是每次中考都要考查的重点内容。教学时要多加注意。难度中等。（2012黑龙江省绥化市，23，6分）如图，二次函数的图像经过坐标原点，与x轴交与点A(-4，0)（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足，请直接写出点P的坐标【解析】解：（1）把点A（-4,0）及原点（0,0）代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；解得所以，此二次函数的解析式为y=-x2-4x；（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可由已知条件得（2）点A的坐标为（-4，0），AO=4，设点P到x轴的距离为h，则SAOP=4h=4，解得h=4， 当点P在x轴上方时，-x2-4x=4，解得x=-2，所以，点P的坐标为（-2，4）； 当点P在x轴下方时，-x2-4x=-4，解得x1=-2+2，x2=-2-2所以，点P的坐标为（-2+2，-4）或（-2-2，-4），综上所述，点P的坐标是：（-2，4）、（-2+2，-4）、（-2-2，-4） 【答案】 ；点P的坐标是：（-2,4）、（-2+，-4）、（-2-，-4）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上的点的坐标特征，（2）要注意分点P在x轴的上方与下方两种情况讨论求解难度中等（2012甘肃兰州，27,10分）若x1、x2是关于x一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：.把它们称为一元二次方程根与系数关系定理。如果设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形（1）当ABC为等腰直角三角形时，求的值；（2）当ABC为等边三角形时，求的值第27题图解析：（1）当ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以ABC为等腰直角三角形，过C作CDAB于D，则AB=2CD根据本题定理和结论，得到，根据顶点坐标公式，得到，列出方程，解方程即可求出的值；（2）当ABC为等边三角形时，解直角ACD，得，据此列出方程，解方程即可求出的值解：（1）当ABC为等腰直角三角形时，过C作CDAB于D，则AB=2CD抛物线与x轴有两个交点，=b2-4ac0，则|b2-4ac|=b2-4aca0，AB=又, =2=, b2-4ac=0，=4；（2）如图，当ABC为等边三角形时，由（1）可知CE=AB，=0，=12.点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等（2012山东省滨州中考，24,10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点（1）求抛物线y=ax2+bx+c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值【解析】（1）将A、O、B三点代入此抛物线求出抛物线的解析式即可。（2）求出此抛物线的对称轴以及对称轴的垂直平分线的方程，画出它们，由几何关系可求得AM+OM的最小值解：（1）把A（2，4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得解这个方程组，得a=，b=1，c=0所以解析式为y=x2+x（2）由y=x2+x=（x1）2+，可得抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OBOM=BMOM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小过点A作ANx轴于点N，在RtABN中，AB=4，因此OM+AM最小值为【点评】本题考查二次函数的性质：二次函数的求法、二次函数对称轴的求法、二次函数对称轴的求法以及对称的性质待定系数法求二次函数的解析式是二次函数常考查的问题，二次函数性质的综合应用在中考中常作为压轴题考查（2012甘肃兰州，28,12分）如图，RtABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（0，4），抛物线经过点B，且顶点在直线上.（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把ABO沿x轴向右平移得到DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连结BD，已知在对称轴上存在一点P是的PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作MNBD交x轴与点N，连结PM、PN，设OM的长为t，PMN的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围。S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由。第28题图解析：（1）根据抛物线经过点B（0，4），以及顶点在直线上，得出b，c即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当时，求出y即可；（4）利用MNBD，得出OMNOBD，进而得出，得到，进而表示出PMN的面积，利用二次函数最值求出即可解：（1）抛物线经过B（0,4），c=4顶点在直线上，所求的函数关系式为：（2）在RtABO中，OA=3，OB=4，AB=5四边形ABCD是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时， 当x=2时，点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，当时， （4）MNBD， OMNOBD，,即，得设对称轴交x轴于点F，则S梯形PFOM=SMON=SPNF=S存在最大值由当时，S取得最大值为此时点M的坐标为.点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键第28题图，难度较大.（2012贵州遵义，27, 分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使SPOA=2SAOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQO与AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由解析：（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；（3）先求出BOA的度数，然后可确定Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标答案：解：（1）由函数图象经过原点得，函数解析式为y=ax2+bx（a0），又函数的顶点坐标为（3，），解得：，故函数解析式为：y=x2x，由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6，0）；（2）SPOA=2SAOB，点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式得：2=x2x，解得：x1=3+，x2=3，即可得满足条件的有两个，P1（3+，2），P2（3，2）（3）存在过点B作BPOA，则tanBAP=，故可得BOA=60，设Q1坐标为（x，x2x），过点Q1作Q1Fx轴，OABOQ1A，Q1OA=30，故可得OF=Q1F，即x=（x2x），解得：x=9或x=0（舍去），即可得Q1坐标为（9，3），根据函数的对称性可得Q2坐标为（3，3）点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强（2012呼和浩特，25，12分）（12分）如图，抛物线(a0）代入双曲线解析式得m=1抛物线过点A（2，2）、B（1，4）、O（0，0） 解得抛物线的解析式为y= x23x（2）抛物线的解析式为y= x23x顶点E，对称轴为x=B（1，4）x23x=4解得x1=1,x2= 4C（4，4）SABC=56=15由A、B两点坐标为（2，2），（1，4）可求得直线AB的解析式为：y= 2x2设抛物线对称轴与AB交于点F，则F点坐标为（，1）EF=SABE=SAEF+SBEF=3= （3）SABE=8 SABE=15当点D与点C重合时，显然满足条件。当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其对应的一次函数解析式为y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)当x=3时，y= 18存在另一点D（3，18）满足条件。【点评】（1）利用反比例函数求点的坐标，并求出抛物线的解析式。（2）中利用解析式求出各个点的坐标，再求三角形的面积。（3）利用同底等高的原理作出平行线，找出另一点并求坐标。（2012湖北武汉，23，10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED16米，AE8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴y轴建立平面直角坐标系，（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离（单位：米）随时间（单位：时）的变化满足函数关系（40）且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解析：1、根据题意可得A，B，C，三点坐标分别为（-8，8）（，11）（8，8），利用待定系数法，设抛物线解析式为y=ax2+c,有,解方程组即可2、水面到顶点C的距离不大于5米，即函数值不小大于115，解方程即可解：1、依题有顶点的坐标为（，11），点的坐标为（8，8），设抛物线解析式为y=ax2+c有,解得抛物线解析式为y=x2+112、令115，解得t35，t2=3画出（40）的图像，由图像变化趋势可知，当335时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行， 禁止船只通行时间为35332（时）答：禁止船只通行时间为32小时。点评：难度中等（2012湖北武汉，25，12分）如图1、点A为抛物线C1：y =的顶点，点B的坐标为（1,0），直线AB交抛物线C1于另一点C，（1）求点C的坐标;（2）如图1,平行于y轴的直线x3交直线AB于点D，交抛物线C于点E，平行于y轴的直线xa交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE4：3,求a的值。（3）如图2将抛物线C向下平移m（m0）个单位得到抛物线C2且抛物线C2的顶点为点P交X轴负半轴于点M，交射线BC于点N，NQx轴于点Q，当NP平分MNQ时，求m的值。解析：1、求C点的坐标，可首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线与抛物线得到方程组，求解方程组即可；2、根据题意，DE的长度可求又FG：DE4：3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人两个函数解析式，用a表示F、G、纵坐标，得到关于a的方程即可；3、解决本题关键在于抓住M、P之间的联系，可设点M坐标为（t，0），根据待定系数法得抛物线C2解析式为y =，即P点坐标为（0，），又直线AB与抛物线C2的交点N坐标为（2-t，2-2t ），从而有NMO=450，进而MN与y轴交点为T（0，-t）,由特殊角三角函数和线段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，从而求得t值，进而求得m.解：（1）当x=0时，y=, A(0，)设直线AB的解析式为y=kx+b,有，解得. 直线AB的 解析式为y=2x-2.由C点为直线与抛物线y =的交点，则点C的横、纵坐标满足解得 （舍） 点C的坐标为（4，6）（2）直线x3分别交直线AB和交抛物线C1于D、E两点。yD=4, yE=, DE= FG：DE4：3FG直线分别交直线AB和抛物线C于F、G两点。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2（3）解法一：设直线MN交y轴于T，过点N作NHy轴于点H。设点M坐标为（t，0），抛物线C2 的解析式为y =0= ， y =点P坐标为（0，），点N是直线AB与抛物线y=x2-t2的交点，则点N的横，纵坐标满足解得 (舍去) 点N坐标为（2-t，2-2t ）NQ=2-2t ，MQ=NQ, MOT, NHT均为等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t，NT=NH=（2-t）,PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法二，设N坐标为（t,2t-2）,抛物线C2的解析式为y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m点P坐标为（0，+2t-2）同解法一可得MNQ=450，PNQ=MNQ=22.50，过点P作PFNQ于点F，在FN上截取FJ=FP，连线JP，NJJPPFFJNF（）PF，即（t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2点评：本题以二次函数为背景，考察了待定系数法，函数与方程组，抛物线与直线所截线段长度的计算，特殊角的三角函数，平行线、角平分线的性质等相关知识，以及数形结合的数学思想，1、2问难度不大，2问学生需注意分类讨论，也可以对线段的长度加绝对值达到分类讨论的效果；3问难度较大，学生不容易找到问题的突破口，学生可以先进行必要的计算，边算边找，只要找到NMQ=450，问题就较为明晰了。（2012湖南衡阳市，27，10）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0t）秒答案如下问题：（1）当t为何值时，PQBO？（2）设AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2x1，y2y1）称为“向量PQ”的坐标当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标解析：（1）如图所示，当PQBO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值；（2）求S关系式的要点是求得AQP的高，如图所示，过点P作过点P作PDx轴于点D，构造平行线PDBO，由线段比例关系求得PD，从而S可求出S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值；本问关键是求出点P、Q的坐标当S取最大值时，可推出此时PD为OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2x1，y2y1），即可求解答案：解：（1）A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8，AB=10如图，当PQBO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=103tPQBO，即，解得t=，当t=秒时，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如图所示，过点P作PDx轴于点D，则PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S与t之间的函数关系式为：S=（t）2+5（0t），当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）如图所示，当S取最大值时，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此时PD为OAB的中位线，则OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依题意，“向量PQ”的坐标为（4，03），即（，3）当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，3）点评：本题是典型的动点型问题，解题过程中，综合利用了平行线分线段成比例定理（或相似三角形的判定与性质）、勾股定理、二次函数求极值及三角形中位线性质等知识点第（2）问中，给出了“向量PQ”的坐标的新定义，为题目增添了新意，不过同学们无须为此迷惑，求解过程依然是利用自己所熟悉的数学知识（2012湖南省张家界市25题12分）如同，抛物线与轴交于C、A两点，与y轴交于点B，OB=4点O关于直线AB的对称点为D，E为线段AB的中点.（1） 分别求出点A、点B的坐标（2） 求直线AB的解析式（3） 若反比例函数的图像过点D，求值.（4）两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动个单位，设POQ的面积为S，移动时间为t,问：S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值，若不存在，请说明理由.yxBDPAQOC2【分析】（1）求抛物线与x轴的交点的横坐标，即求函数值为0时，x的值；（2）利用待定系数法可求；（3）求出D点的坐标，再代入反比例函数关系式即可求k值；（4）利用二次函数的最值求解.【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.C（-，0），A（2，0）（2）令AB为直线为y=k1x+2，点A（2，0）在直线上，0=K12+2，k1=-.AB的解析式为y=-x+2.（3）D点与O点关于AB对称，OD=OA=2.D点的横坐标为，纵坐标为3，即D（，3）.因为y=过点D，3=，k=3.（3）AP=t，AQ=t，OQ=2-t.点P到OQ的距离为t.SOPQ=（2-t）t=-（t-2）2+.依题意，得0t4，当t=2时，S有最大值为.【点评】本题是考查一次函数、反比例函数和二次函数，由函数及满足函数图象的点，求出相关点的坐标，然后用待定系数法，求出抛物线的解析式；再根据二次函数的最值求解问题( 2012年四川省巴中市,29,9)某种商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件；如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元. (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?【解析】根据题意，y=（60-50+x）(200-10x),整理得，y=10x2+100x+2000(0x12)； 由 得y=-10x2+100x+2000=10（x-5）22250，当x=5时，最大月利润y为2250元。【答案】y=-10x2+100x+2000(0x12) 当x=5时，最大月利润y=2250元【点评】本题是二次函数的应用问题，“最大利润问题”，根据题意准确的确定函数关系式是解决问题的关键.(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动设运动时间为x秒，PBQ的面积为y（cm2）.（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）求PBQ的面积的最大值.解析：先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题.解：（1）SPBQ=PBBQ, PB=ABAP=182x，BQ=x，y=（182x）x，即y=x2+9x（0x4）; （2）由（1）知：y=x2+9x，y=(x）2 +,当0x时，y随x的增大而增大， 而0x4，当x=4时，y最大值=20，即PBQ的最大面积是20cm2.点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用x表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出y关于x的函数关系式，难点是求函数的最大值.（2012深圳市 22 ，9分）如图8，已知ABC的三个顶点坐标分别为（1）求经过A、B、C三点抛物线的解析式（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE图8图8-1G（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由。【解析】：（1）已知三点的坐标，代入二次函数的一般式，或利用二次函数的交点式，求出待定系数的值。（2）求出直线BC的解析式及点E的坐标，过点C向y轴作垂线，通过计算AE、CE的长来说明AE=CE；（3）抓住是这两个三角形的公共角，证明它们的夹边是否对应成比例即可。图8-1G【解答】：如图81（1）解：设抛物线的解析式为在抛物线上，故 为所求（2）过点C作CGy轴于点G，有，设直线BC的解析式为则 解之得：， 故， （3）相似由于，令，则 直线的解析式为： 同理可求直线的解析式为：，有：，解之得：故交点，易求得：可知：，又，故【点评】：几何与坐标是中考中重点考查的内容。本题主要考查用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，求直线与坐标轴交点的坐标，并能熟练将点的坐标转换为线段的长，利用勾股定理进行计算。能根据题目的特点熟练选择相似三角形的判定定理（2012山西，24，10分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【解析】（1）解：设每千克核桃应降价x元 1分 根据题意，得 （60x40）（100+20）=2240 4分 化简，得 x210x+24=0 解得x1=4，x2=66分答：每千克核桃应降价4元或6元 7分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 8分 此时，售价为：606=54（元）， 9分答：该店应按原售价的九折出售 10分【答案】（1）每千克核桃应降价4元或6元 （2）该店应按原售价的九折出售 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，利用实际生活问题构建出数学模型，考生解决此类问题的关键是充分挖掘出题目中的等量关系，然后将实际问题转化为数学问题，从而解决实际问题难度中等（2012山西，26，14分）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标【解析】（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）【答案】（1）直线AC的解析式为y=3x+3；B的坐标分别为（3，0）；顶点D的坐标为（1，4）（2）满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）M点的坐标为（，）【点评】本题综合考查了二次函数中用配方法求顶点坐标、与两坐标轴的交点的求法、待定系数法求直线解析式、三角形相似的判定及性质；平面上两点之间最短距离的转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等多个知识点和多个初数的数学思想的综合，对考生在知识和能力上均提出了很高的要求，能很好的区分不同层次的考生，达到拉开不同层次考生差距的目的难度较大（2012山东东营，24，11分）已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；APBxyO（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由【解析】(1)把A（2，0）代入即可求得b的值，配方可求P的坐标，令y=0,解方程可求B的坐标；（2）根据两组对边分平行的四边形是平行四边形，求边所在直线的解析式，然后求出交点D的坐标；（3）可判断PAB是等边三角形，因此只要作PAB的平分线交抛物线于M点即为所求的点。【答案】解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得，所以抛物线的解析式为.（*），将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）.令y=0，得，解得. 所以点B的坐标是（6，0）. （2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形. 理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 解得所以直线PB的解析式为.又直线OD的解析式为，所以直线PBOD. 设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得，解得.如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形.设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）（3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在这样的点M,使AMPAMB.【点评】综合考查了二次函数、平行四边形、特殊三角形的性质，熟练掌握所学知识，并能融会贯通，运用数形结合的思想去解题。APBxyOCMD（2012，黔东南州，24）如图，已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点。（1）、求抛物线的解析式。（2）、点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN轴交抛物线于N若点M的横坐标为，请用的代数式表示MN的长。（3）、在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在点，使BNC的面积最大？若存在，求的值，若不存在，说明理由。点的纵坐标解析：(1)我们可以设一般式：或坐标式：，（2）MN的长即N点的纵坐标减M点的纵坐标的值（3）因为，所以当最大时，BNC的面积最大.解：（1）设抛物线方程为：，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三点代入方程得，（2）设直线BC:把B（3，0）、C（0，3）代入得，.又（3），当最大时，BNC的面积最大.，所以当时，BNC的面积最大为：. 点评：本题考查了二次函数和几何知识的综合应用，难度较大.（2012山东莱芜， 24，12分）如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B.(1) 求抛物线的表达式；(2) 设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD, 求ACD的面积；（3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由题意可设抛物线的表达式为.点C在抛物线上，解得.抛物线的表达式为，即（2）令，即，解得，.设BC的解析式为将代入得，解得.直线BC的解析式为当时，.所以(3) 假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似，BCO是等腰直角三角形，则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EFOC得DEF=45，故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点 点F为直角顶点时，DFEF，此时DEFBCO，所以DF所在的直线为由，解得将代入，得，将代入，得， 当D为直角顶点时，DFED，此时EFDBCO.点D在对称轴上，DA=DB ，CBA=45，DAB=45,ADB=90,ADBC,故点在直线AD上设直线AD的解析式为将代入得：，解得，所以直线AD的解析式为，由，解得。将代入，得，将代入，得，.综上所述，点E的坐标可以是，【答案】（1）抛物线的表达式为，即；（2）2；（3）存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似，点E的坐标可以是，【点评】本题考查的知识点有待定系数法求函数解析式，一元二次方程的解法，和差法计算三角形的面积，关于三角形相似的分类讨论。考查的知识点全面，考查了学生综合利用所学知识分析问题和解决问题的能力。此类问题通常前两个小题简单，最后一小题难度较大.(2012广东汕头，24，12分)如图，抛物线y=x2x9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）分析：（1）已知抛物线的解析式，当x=0，可确定C点坐标；当y=0时，可确定A、B点的坐标，进而确定AB、OC的长（2）直线lBC，可得出AED、ABC相似，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题干条件：点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围（3）首先用m列出AEC的面积表达式，AEC、AED的面积差即为CDE的面积，由此可得关于SCDE、m的函数关系式，根据函数的性质可得到SCDE的最大面积以及此时m的值；过E做BC的垂线EF，这个垂线段的长即为与BC相切的E的半径，可根据相似三角形BEF、BCO得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解解答：解：（1）已知：抛物线y=x2x9；当x=0时，y=9，则：C（0，9）；当y=0时，x2x9=0，得：x1=3，x2=6，则：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9（2）EDBC，AEDABC，=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0m9）（3）解法一：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SABCSADE=mm2=（m）2+0m9，当m=时，SCDE取得最大值，最大值为此时，BE=ABAE=9=记E与BC相切于点M，连接EM，则EMBC设E的半径为r在RtBOC中，BC=BOC=EBM，COB=EMB=90BOCBME，=，=，r=所求E的面积为：（）2=解法二：SABC=AEOC=m9=m，SCDE=SAECSADE=mm2=（m）2+0m9，当m=时，SCDE取得最大值，最大值为此时，BE=ABAE=9=SEBC=SABC=如图2，记E与BC相切于点M，连接EM，则EMBC，设E的半径为r在RtBOC中，BC=SEBC=BCEM，r=，r=所求E的面积为：（）2=点评：该题主要考查了二次函数的性质、相似三角形的性质、图形面积的求法等综合知识在解题时，要多留意图形之间的关系，有些时候将所求问题进行时候转化可以大大的降低解题的难度（2012四川成都，26，8分） “城市发展 交通先行”，成都市今年在中心城区启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程，建成后将大大提升二环路的通行能力研究表明，某种情况下，高架桥上的车流速度V(单位：千米时)是车流密度(单位：辆千米)的函数，且当028时，V=80；当28188时，V是的一次函数. 函数关系如图所示. （1）求当28188时，V关于的函数表达式； （2）若车流速度V不低于50千米时，求当车流密度为多少时，车流量P(单位：辆时)达到最大，并求出这一最大值 (注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量=车流速度车流密度)解析：本题先用待定系数法求出V关于的函数表达式，然后建立车流量关于车流密度的二次函数解析式，最后将解析式化成顶点式，得到函数的最大值。答案：（1）当28188时，设（2）根据题意，得=可见，当车流密度x为94辆/千米时，车流量P最大，为4418辆/时。点评：待定系数法是中考出现频率比较高的知识点，解题时要注意运算准确迅速，格式正确；将二次函数的一般式化成顶点式，也要能正确运算，避免出错。(2012重庆，25，10分)企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理。某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行。1至6月，该企业向污水厂输送的污水量（吨）与月份(，且取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量（吨）与月份(，且取整数）之间满足二次函数关系式为。其图象如图所示。1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元(l）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出与之间的函数关系式；(2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；(3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30)%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50的补助若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值(参考数据：)解析