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机械优化设计试题及答案参考版 版权没有 盗版不究 特别说明：复习笔记 因为作者水平较差，所以本材料供且仅供参考之用 一、试说明下列公式各属于何种优化方法。 （每题 2 分，共 8 分） (1) 1kkk k XXf x 采用最速下降方法。 （教材 P60 页）1 (2) 1 12kkkk k XXf xf x 采用阻尼牛顿法。P65 (3) 2 11 11 , ml k k jk j x rf xrhx gxr 采用混合惩罚函数法。P150 (4) 1 1 , m kk j j x rf xr gx 采用内点惩罚函数法。P145 二、简答题（每题 4 分，共 28 分） 1. 对二次函数用二次插值法求优时， 为什么从理论上说只需进行一次迭 代就可以求得最优点？ 答：二次插值法利用 3 点的函数值来构造一个二次插值多项式 p ，以近似 的表达原目标函数。理论上，利用 3 点构建的二次多项式与原二次多项式有相同的 极小点，因此只需一次迭代即可求得最优点。 2. 改变复合形形状的搜索方法主要有哪 4 种，条件各是什么？ 答：改变复合形形状的搜索方法主要有：P131133 (1)反射。反射是改变复合形形状的主要策略。反射成功的条件是： 01,2, jR RH gxjm f xf x (2)扩张。当求得的反射点 R x 为可行点，且目标函数值下降较多（例如 RC f xf x） ，则沿反射方向继续移动，即采用扩张的方法，可能遭到更好 1 本文档的“教材”是机械工业出版社出版由哈尔滨工业大学孙靖民教授编著的机械优化设计 第四版教材，ISBN 9787111064596 的新点 E x ， E x 称为扩张点。扩张成功的标志为：扩张点 E x 为可行点，且 ER f xf x。 (3)收缩。若在中心点 C x 以外找不到好的反射点，还可以在 C x 以内，采用收缩的方 法寻找较好的新点 k x ， k x 称为收缩点。其计算公式为： kHCH xxxx， 其中为收缩系数，一般取为 0.7，收缩成功的标志为： kH f xf x (4)压缩。 当采用上述各种方法均无效时， 还可以采用将复合形各顶点向最好点 L x 靠 拢，即采用压缩的方法来改变复合形的形状。压缩后的各顶点的计算公式为： 0.51,2, ; jLLj xxxxjk jL 3. 何谓共轭方向？共轭方向与正交方向的关系如何？ 答：所谓共轭方向是指一组非零的n维向量 12 , n s ss 若满足0 T ij s Asij 条件，则称 i s对于矩阵A与 j s为共轭的两个向量，其中A为nn阶实对称矩阵。其 中，当AI为单位矩阵时，0 T ij s s，两向量为正交（垂直） 。因此从几何意义来 理解，两共轭向量 i s与 j s通过矩阵A进行线性变换后，可以使得向量 i s与 j s正交。 4. 在约束随机方向收缩法中， 为什么有可能找到比最速下降法还要更好 的搜索方向？ 答：在随机方向搜索方法中，是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概 率特性，产生若干个随机方向，从中选择一个能使目标函数下降最快的随机搜索方 向进行搜索，最速下降法只是沿着负梯度方向，方向性比较强，而随机方向是随机 产生的，可能使方向直逼极小值点。 随机方向满足：一、新点必须满足在可行域内；二、使得目标函数下降。 5. 变尺度法的基本思想是什么？为什么变尺度法能得到广泛的应用？ 答：变尺寸法是放大或者缩小各个坐标，通过尺寸变换可以把函数的偏心程度 降低到最低限度。 经过尺寸变换后， 可以把目标函数的等值线变为球面或 （超球面） ， 使设计空间的任意点处函数的梯度都通过极小点，用最速下降法只需要一步就可以 到达极小点，所以得到广泛的应用。 6. 简述鲍威尔法的迭代过程，画出鲍威尔法的搜索路线图。 答：鲍威尔的基本算法如下： (1)任选一初始点 0 x，再选两个线性无关的向量，如坐标轴单位向量 1 10 T e和 2 01 T e作为初始搜索方向。 (2)从 0 x出发，顺次沿 1 e、 2 e作一维搜索得点 0 1 x、 0 2 x，两点连线得一新方向 100 2 dxx，用 1 d代替 1 e形成两个线性无关向量 2 e、 1 d，作为下一轮迭代的搜 索方向。再从 0 2 x出发，沿 1 d作一维搜索得点 1 0 x，作为下一轮迭代的初始点。 (3)从 1 x出发， 顺次沿 2 e、 1 d作一维搜索得点 1 1 x、 1 2 x， 两点连线得一新方向 111 20 dxx， 1 0 x、 1 2 x两点是从不同点 0 x、 1 x出发， 分别沿 1 d方向进行一维搜索而得的极小点， 因此 1 0 x、 2 1 x两点连线的方向 2 d同 1 d一起对G共轭。再从 1 2 x出发，沿 2 d作一维 搜索得点 2 x。因为 2 x相当于从 0 x出发分别沿G的两个共轭方向 1 d、 2 d进行两 次一维搜索而得到的点，所以 2 x点即是二维问题的极小点x。 鲍威尔法的搜索路线图如下图所示： 1 x 2 x 2 e 1 e 0 2 x 0 1 x 1 0 x 1 d 2 d 1 2 x x 0 x 1 1 x 7. 可行方向法中的可行方向必须满足那两个条件？写出此 2 个条件的 数学表达式。 答：可行方向应满足两个条件，即可行条件和下降条件。 可行条件可以表述为： T 01,2, kk j gxdjJ 下降条件可以表述为： T 0 kk f xd 三、证明题 1. 写出 22 121212 3625712f xxxx xxx的 Hessian（海赛）矩阵，并求 出其逆矩阵，同时，判断 Hessian(海赛)矩阵是否正定。 （10 分） 答：函数 f x的海赛矩阵为 22 2 112 22 2 212 62 212 ff xx x H ff xxx 矩阵正定的充分必要条件为其各阶主子式均大于0，又上述矩阵的一阶主子式 子为 det6 1240G ，从而海赛矩阵正定。 上述海赛矩阵的逆矩阵为： 1 12212211 2626det68 H G 2. 设优化问题 22 1212 2 11 22 22 312 min448 :0 0 40 f xxxxx xDR D gxx gxx gxxx (1)画出目标函数的等值线及可行域 (2)写出在 T 1.4142,1.4142 k x 处的起作用约束； (3)写出无约束最优点。 （12分） 答： （1）目标函数的等值线以及可行域（以绿色标示）为： -10-50510-10-50510 -10 -5 0 5 10 -10 -5 0 5 10 50 100 150 200 250 1 x 1 x 2 x ( ) 22 1212 448f xxxxx=+ ( ) 11 0gxx= ( ) 22 0gxx= ( ) 22 312 40gxxx=+ （2）库恩塔克条件可表述为： 22 01,2, 0 0 j j J jj j j f xgx in xx gxjJ jJ 将已知点 T 1.4142,1.4142 k x 带入，不难求得： 3 3 0 0 gx 从而起作用约束为 22 312 40gxxx （3）显然 22 1212 22 12 448 22 f xxxxx xx ； 不难得出最优点为 T 2,2 3. 设优化问题 2 2 12 2 22 112 22 31 min2 :10 0 0 f xxx xDR Dgxxx gxx gxx 已知： T 1,0 k x ， 用 K-T （Kuhn-Tucker） 条件判断它是否为约束最优点。 答：库恩塔克条件为： 22 01,2, 0 0 j j J jj j j f xgx in xx gxjJ jJ 将已知点 T 1,0 k x 代入不等式约束，可得 1 0gx ， 123 0,0,0， 1 gx为起作用约束，根据库恩塔克条件： 11 1 212 12 2220 220 1,0 xx xx xx 解上述方程，可得 1 1，满足库恩塔克条件，为约束最优点。 四、计算题 1. 用黄金分割法求解 2 710f xxx。设初始点 0 0，初始步长1h， 取迭代精度0.35 求： 1)用进退法确定初始搜索区间； 2)经一次缩短区间后的新区间范围和在此区间的最优解。此最优解是否 为目标函数最优解 答： （1）从初始点 0 开始， 0 10f， 增加步长， 0 14f xhf， 函数值减小步长加倍， 0 220f xhf 函数值减小步长加倍， 0 4412f xhf 函数值减小，搜索区间为0,4； （2）令: 1 2 0 4 0.6181.528 0.6182.472 a b abba aaba 则带入计算后可得： 1 2 010 412 1.5281.639 2.4721.193 f f f af f af 从而为保留“高低高”的趋势，应取以下值： 1 2 1.528 4 2.472 1.5280.618 4 1.5283.05 a b a a 可见，缩短一次后的区间范围为：1.528,4； 此区间上的最优解为：3.5x 此最优解是目标函数的最优解。 2. 用阻尼牛顿法（又称广义牛顿法）求解 22 1212 412110f xxxxx的最优解， 09 0,0 ,10 x 。 答：当采用阻尼牛顿法时，搜索方向（牛顿方向）为： 1 kkk sH xf x 上式中： k H x：在 k x处的海赛矩阵； k f x：在 k x处的梯度； 第一轮迭代： 22 2 112 22 2 212 80 04 ff xx x H ff x xx 01 2 8119 4113 x f x x 从而： 1 000 19 0 9 88 313 0 44 sH xf x 沿牛顿方向进行搜索，即： 1 1 9 8 3 4 kkkkk xxH xf x 带入可得： 22 1 2 93 1 256 1 93 412110 8484 9899 16 k f xf 9999 88 f 令上式为零，可得： 1 从而 1 9 8 3 4 x ，同样的，可得： 11 2 8110 4110 x f x x 实际上， 22 1 2 1 212 2 2 936 412 3 4216 86 10 41 1f xxxxx xx 由上式可见，该优化问题的解析解即为： 9 8 3 4 x 3. 设约束优化问题的数学模型为： 22 12 2 12 min2 :10 F xxx XDR D g Xxx 试用外点惩罚函数法求最优值 ,xf 。 答：构造外点惩罚函数： 22 2 12 22 1212 2 22 1212 2 ,2max1 ,0 21, kk k xx X rxxrxx xxrxxDx 令函数 , k X r的一阶偏导为零，可得其