一次函数及反比例函数.doc

教育是一项良心工程第七讲 一次函数及反比例函数一、课标下复习指南1常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数3自变量的取值范围(1)整式：自变量取一切实数(2)分式：分母不为零(3)偶次方根：被开方数为非负数(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当xa时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做xa时的函数值5函数的表示法(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法6函数的图象把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来7一次函数(1)一次函数如果ykxb(k、b是常数，k0)，那么y叫做x的一次函数特别地，当b0时，一次函数ykxb成为ykx(k是常数，k0)，这时，y叫做x的正比例函数(2)一次函数的图象一次函数ykxb的图象是一条经过(0，b)点和点的直线特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数ykxb(k0)的图象”，因为还有直线ym(此时k0)和直线xn(此时k不存在)，它们不是一次函数图象(3)一次函数的性质当k0时，y随x的增大而增大；当k0时，y随x的增大而减小直线ykxb与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为(4)用函数观点看方程(组)与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，a0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数ykxb(k，b为常数，k0)，当y0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线ykxb，确定它与x轴交点的横坐标二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0或axb0(a、b为常数，a0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围8反比例函数(1)反比例函数如果(k是常数，k0)，那么y叫做x的反比例函数(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线(3)反比例函数的性质当k0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小当k0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大反比例函数图象关于直线yx对称，关于原点对称(4)k的两种求法若点(x0，y0)在双曲线上，则kx0y0k的几何意义：若双曲线上任一点A(x，y)，ABx轴于B，则SAOB(5)正比例函数和反比例函数的交点问题若正比例函数yk1x(k10)，反比例函数，则当k1k20时，两函数图象无交点；当k1k20时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称(6)对于双曲线上的点A、B，有两种三角形的面积(SAOB)要会求(会表示)，如图71所示图71二、例题分析例1 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是( )解 C说明 考查函数的定义例2 下列函数中，自变量x的取值范围是x2的函数是( )ABCD解 C例3 已知函数y(2m1)，m为何值时，(1)y是x的正比例函数，且y随x的增大而增大?(2)函数的图象是位于第二、四象限的双曲线?(3)函数的图象是开口向上的抛物线?解 (1)欲符合题意，m需满足 解得 m1(2)欲符合题意，m需满足 解得(3)欲符合题意，m需满足 解得例4 从2，1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数ykxb的系数k，b，则一次函数ykxb的图象不经过第四象限的概率是_解 一次函数图象不经过第四象限的概率是例5 如图72，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1S2S3_图72解 由题意知，S1S2S32例6 在同一坐标系中，一次函数y(1k)x2k1与反比例函数的图象没有交点，则常数k的取值范围是_解 由题意知(1k)x2(2k1)xk0两函数图象无交点，例7 如图73，点A的坐标为(1，0)，点B在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为( )图73A(0，0)BCD解 当AB与直线yx垂直时，AB最短(如图74所示)图74直线yx，AOB45AOB是等腰直角三角形过B作BCx轴于CA(1，0)，OA1，此题选B说明 若两个一次函数yk1xb1(k0)与yk2xb2(k20)垂直，则k1k21，对于此题，还可以先求出过点A且与yx垂直的直线的解析式，再求它与yx的交点即可例8 已知点，AE平分BAC，交BC于点E，则直线AE对应的函数解析式是( )AByx2CD图75解 如图75，易证BAC60，ABC30AE平分BAC，EAC30AC1，可得直线AE的解析式为应选择D说明 平面直角坐标系中的几何问题，解决关键往往在于将直线的条件转化为点的坐标及线段长，只需得到线段长，就可以解三角形、解四边形，反之亦然例9 直线yx1与坐标轴交于A，B两点，点C在坐标轴上，ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有( )A4个B5个C7个D8个解 如图76所示，当ABAC时，C有三个位置，以A为圆心，AB为半径的圆与坐标轴分别交于C1，C2，C3；图76当BCAB时，C有三个位置，以B为圆心，AB为半径的圆与坐标轴分别交于C4，C5，C6；当ACBC时，C有一个位置，AB的中垂线与坐标轴交于C7(原点)应选C说明 学会用尺规作图来解决“等线段”问题，对于等腰三角形常见分类要熟练掌握有时，还要注意这些点之间是否有重合情况例10 (1)直线y2x1向下平移2个单位，再向右平移2个单位后的直线的解析式是_；(2)直线y2x1关于x轴对称的直线的解析式是_；直线y2x1关于y轴对称的直线的解析式是_；直线y2x1关于原点对称的直线的解析式是_(3)如图77，已知点C为直线yx上在第一象限内一点，直线y2x1交y轴于点A，交x轴于B，将直线AB平移后经过(3，4)点，则平移后的直线的解析式是_图77解 (1)y2x5；(2)y2x1，y2x1，y2x1；(3)y2x2提示：设所求直线上的点P(x，y)，则P点关于x轴的对称点为P1(x，y)，当P1点在直线y2x1上时，可得y2x1，所以直线y2x1关于x轴对称的直线的解析式为y2x1，同理可得其他两条直线的解析式说明 直线图形变换的本质是点的变换当两直线关于原点对称时，两直线平行，它们的一次项系数相等三、课标下新题展示例11 (2009江苏)某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关系的图象如图78中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止到15日进油时的销售利润为5.5万元(销售利润(售价成本价)销售量)图78请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：(1)销售量x为多少时，销售利润为4万元?(2)分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式；(3)我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA，AB，BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大?(直接写出答案)解 法一(1)由题意知，当销售利润为4万元时，销售量4(54)4万升答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元(2)点A的坐标为(4，4)，从13日到15日利润为5.541.5，所以销售量为1.5(5.54)1，所以点B的坐标为(5，5.5)设线段AB所对应的函数关系式为ykxb，则解得线段AB所对应的函数关系式为y1.5x2(4x5)从15日到31日共销售5万升，利润为11.5415.5(万元)本月销售该油品的利润为5.55.511(万元)，则点C的坐标为(10，11)设线段BC所对应的函数关系式为ymxn，则解得所以线段BC所对应的函数关系式为y1.1x(5x10)(3)线段AB段的利润率最大解法二 (1)根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y(54)x，即yx(0x4)当y4时，x4，所以销售量为4万升时，销售利润为4万元答：销售量x为4万升时，销售利润为4万元(2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y14(5.54)(x4)，即y1.5x2(4x5)把y5.5代入y1.5x2，得x5，所以点B的坐标为(5，5.5)此时库存量为651当销售量大于5万升时，即线段BC所对应的销售关系中，每升油的成本价4.4(元)，所以，线段BC所对应的函数关系式y(1.552)(5.54.4)(x5)1.1x(5x10)(3)线段AB段的利润率最大例12 (2009上海)已知：如图79，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，4)，直线CMx轴点B与点A关于原点对称，直线yxb(b为常数)经过点B，且与直线CM相交于点D，连接OD图79(1)求b的值和点D的坐标(2)设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标解 (1)因为点B与点A关于原点对称，点A的坐标为(1，0)，所以点B的坐标为(1，0)因为直线yxb(b为常数)经过点B，所以01b，解得b1，所以直线为yx1因为点C的坐标为(0，4)，直线CMx轴，所以点D的纵坐标为4因为直线yx1与直线CM交于点D，当y4时，4x1，解得x3，所以点D的坐标为(3，4)(2)因为O为原点，点D的坐标为(3，4)，点C的坐标为(0，4)，所以OC4，CD3，所以OD5因为点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，则分三种情况：当PDPO时，有因为所以，解得所以点P的坐标为当PDOD时，PO2CD6，所以点P的坐标为(6，0)当ODPO时，PO5，所以点P的坐标为(5，0)例13 (2009呼和浩特)如图710，已知反比例函数(x0)的图象与一次函数y的图象交于A，B两点，点C坐标为，连接AC，AC平行于y轴(1)求反比例函数的解析式及点B的坐标；(2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P在反比例函数图象上的A，B之间的部分滑动(不与A，B重合)，两直角边始终分别平行于x轴，y轴，且与线段AB交于M，N两点，试判断P点在滑动过程中PMN是否总与CAB相似，并简要说明判断理由图710解 (1)由得A(1，2)，代入反比例函数中，得m2反比例函数解析式为点B的坐标同时满足及y由化简得x25x40解 得x14，x21经验验，x14，x21是原方程的解所以B点的坐标为(2)无论P点在AB之间怎样滑动，PMN与CAB总能相似因为B，C两点纵坐标相等，所以BCx轴，又因为ACy轴，所以CAB是直角三角形同时PMN也是直角三角形，ACPM，BCPNPMNCAB例14 (2008威海)如图711，点A(m，m1)，B(m3，m1)都在反比例函数的图象上图711(1)求m，k的值；(2)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的解析式解 (1)由题意可知m(m1)(m3)(m1)解 得m3A(3，4)，B(6，2)k4312(2)存在两种情况，如图712当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为(x1，0)，N1点坐标为(0，y1)图712四边形AN1M1B为平行四边形，点A对应点N1，点B对应点M1点A的横坐标为3，点B的纵坐标为2线段N1M1可看做由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的N1点的坐标为(0，42)，即N1(0，2)；M1点的坐标为(63，0)，即M1(3，0)设直线M1N1的函数表达式为yk1x2，把x3，y0代入，解得直线M1N1的函数表达式为2当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为(x2，0)，N2点坐标为(0，y2)ABN1M1，ABM2N2，ABN1M1，ABM2N2，N1M1M2N2，N1M1M2N2线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称M2点坐标为(3，0)，N2点坐标为(0，2)设直线M2N2的函数表达式为yk2x2，把x3，y0代入，解得直线M2N2的函数表达式为2综上所述，直线MN的函数表达式为2或四、课标考试达标题(一)选择题1函数y(m1)图象是双曲线，在每一象限内，y随x的增大而增大，则m的值为( )A1B1C1D2已知点(2，6)在函数ykx图象上，则函数y图象在( )A一、三象限B二、四象限C一、四象限D二、三象限3已知反比例函数图象经过(x1，y1)，(x2，y2)两点，且y1y20，则x1，x2的大小关系为( )Ax1x20Bx1x20Cx2x10Dx2x104(2007连云港)如图713所示，在ABC中，ABAC2，BAC20动点P，Q分别在直线BC上运动，且始终保持PAQ100设BPx，CQy，则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )图713A B C D5函数ykx1与(k0)在同一坐标系中的图象可能是( )A B C D6(2009黄冈)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图714所示下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位回到家门口需要的时间是( )图714A12分钟B15分钟C25分钟D27分钟(二)填空题7若函数y3xb和yax3的图象交于点P(2，5)，则不等式3xbax3的解集是_8(2009重庆)在平面直角坐标系xOy中，直线yx3与两坐标轴围成一个AOB，现将背面完全相同，正面分别标有数的5张卡片洗匀后，背面朝上，从中任取一张，将该卡片上的数作为点P的横坐标，将该数的倒数作为点P的纵坐标，则点P落在AOB内的概率为_9(2009沈阳)如图715，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(1，0)，点B的坐标是，点C在坐标平面内，若以A，B，C为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为30，则满足条件的点C有_个图715(三)解答题10(2008大连)如图716，点A是函数0)图象上任意一点，过A点分别作x，y轴的平行线交函数图象于点B，C，过C点作x轴的平行线交函数图象于点D图716(1)设