新人教A版必修一两角差的余弦公式ppt课件.ppt

5.5三角恒等变换5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式,两角差的余弦公式公式:cos(-)=coscos+sinsin.(1)简记符号:C(-)(2)适用条件:公式中的角,都是任意角.,【思考】1.公式写成cos(-)=cos+sin或cos(-)=coscos-sinsin可以吗?提示:不可以.,2.公式的结构特征是怎样的?提示:左端为两角差的余弦,右端为角,的同名三角函数积的和,即差角余弦等于同名积之和.,3.公式中的角,可以为几个角的组合吗?提示:可以.公式中,都是任意角,可以是一个角,也可以是几个角的组合.,【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)cos(70-40)=cos70+cos40.()(2)对于任意实数,cos(-)=cos-cos都不成立.(),(3)对任意,R,cos(-)=coscos+sinsin都成立.()(4)cos30cos60+sin30sin60=1.(),提示:(1).cos(70-40)=cos30cos70+cos40.(2).当=-45,=45时,cos(-)=cos(-45-45)=cos(-90)=0,cos-cos=cos(-45)-cos45=0,此时cos(-)=cos-cos.,(3).结论为两角差的余弦公式.(4).cos30cos60+sin30sin60=cos(60-30)=cos30=,2.cos95cos35+sin95sin35等于()A.cos130B.sin130,【解析】选D.原式=cos(95-35)=cos60=,3.cos15=_.,【解析】cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30答案:,类型一两角差的余弦公式的简单应用【典例】1.cos555的值为(),2.计算sin7cos23+sin83cos67的值为(),【思维引】1.把555转化为两个特殊角的差,利用两角差的余弦公式求解.2.先利用诱导公式对角进行转化,再利用两角差的余弦公式求解.,【解析】1.选B.cos555=cos(720-165)=cos165=cos(180-15)=-cos15=-cos(45-30)=-(cos45cos30+sin45sin30),2.选B.sin7cos23+sin83cos67=cos83cos23+sin83sin23=cos(83-23)=cos60=,【内化悟】一般地,利用两角差的余弦公式可以解决什么类型的题目?提示:(1)求非特殊角的余弦值;(2)求两角的同名三角函数积的和.,【类题通】利用两角差的余弦公式解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路有:(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差,正用公式直接求值.,(2)充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.,【习练破】求下列各式的值:(1)(2)sin460sin(-160)+cos560cos(-280).,【解析】(1),(2)原式=-sin100sin160+cos200cos280=-sin100sin20-cos20cos80=-(cos80cos20+sin80sin20)=-cos60=,【加练固】的值为(),【解析】选C.原式=,类型二给值求值问题【典例】1.已知则cos+sin的值为(),2.设,都是锐角,且cos=sin(+)=则cos=世纪金榜导学号(),【思维引】1.对所求式逐步变形,直至可代入已知条件即可.2.考虑如何用已知角,+的差来表示所求角,进而利用两角差的余弦公式解决.,【解析】1.选B.cos+sin=,2.选A.依题意得sin=cos(+)又,均为锐角,所以0cos(+).,因为所以cos(+)=于是cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=,【素养探】本例2主要考查三角函数求值问题,突出考查了数学运算的核心素养.本例2若改为:已知,为锐角,且cos=cos(+)=求cos的值.,【解析】因为00所以0+.由cos(+)=得sin(+)=又因为cos=所以sin=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin,【发散拓】常值代换用某些三角函数值代替某些常数,使之代换后能运用相关的公式,我们把这种代换称为常值代换,其中特别要注意的是“1”的代换.如1=sin2+cos2,1=,tan45,1=sin90等.再如等均可视为某个特殊的三角函数值,从而将常数代换为三角函数使用.,【延伸练】cos15+sin15=_.,【解析】因为=cos60,=sin60,所以cos15+sin15=cos60cos15+sin60sin15=cos(60-15)=cos45=答案:,【类题通】(1)解决三角函数的给值求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.其解题策略有:当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;,当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.,(2)常见的配角技巧:2=(+)+(-),=(+)-,等.,【习练破】1.已知为锐角,为第三象限角,且cos=sin=则cos(-)的值为(),【解析】选A.因为为锐角,且cos=所以sin=因为为第三象限角,且sin=,所以cos=所以cos(-)=coscos+sinsin=,2.已知则cos+sin的值为_.,【解析】因为cos=coscos+sinsin=cos+sin=所以cos+sin=答案:,【加练固】若00,则=(),【解析】选C.,类型三给值求角问题【典例】已知cos(-)=sin(+)=-,+2,求的值.世纪金榜导学号,【思维引】先求2的余弦值,再由角的范围确定2及的大小.,【解析】因为-,cos(-)=所以sin(-)=因为+2,sin(+)=,所以cos(+)=所以cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-),因为-,+2,所以2sin,所以0所以0-故-=答案:,2.已知,为锐角,cos=sin(+)=则=_.,【解析】因为为锐角,且cos=所以sin=又,为锐角,所以+(0,).,又sin(+)=sin,所以+所以cos(+)=,所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin又为锐角,所以