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椭圆中焦点三角形若干问题的研究（一）教学设计与反思时间:2010-02-24 16:17来源:数学组 作者:荀金青 点击: 521次一、课标解读2010年上海高考考试手册的考试目标要求：.考查学生的数学探究能力与创新能力；在行为目标方面要求：1.学生能自主地学习一些新的数学知识，并能初步运用；会利用已有的知识和经验，发现和提高有一定价值的问题；2.能运用有关的的数学思想方法和科学研究方法，对问题进行探究，寻求数学对象的规律和联系。能正确地表达探究过程和结果，并予以证明。本节课以圆锥曲线中的椭圆焦点三角形为载体，与高考考试大纲要求一致，考查学生的探究能力及运用能力等。在数学思想方面，主要考查学生的数形结合思想、类比思想等。二、教材分析 学习椭圆、双曲线时经常遇到以其焦点和曲线上的点为顶点的三角形，一般定义为焦点三角形，该三角形中的边角关系是学生必须掌握的重点知识，也是高考的热点内容之一，尤其是近几年的出题频率呈上升趋势。焦点三角形虽然不是教材中明确的授课内容，但它是考察学生基础知识、基本技能、基本方法和三者综合运用能力的重要载体，它是对曲线定义更深层次的考察。焦点三角形问题实质是圆锥曲线定义的深化，把椭圆双曲线的焦点三角形正式定义，系统研究很有必要。三、学生情况分析本节内容是建立在直线、椭圆刚刚复习好的基础上的，学生已经掌握了椭圆的定义、标准方程、几何性质等基本问题的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。本节课以椭圆为例，探究其焦点三角形的周长、面积、张角等问题，采用了题组教学，由浅入深，学生易于接受。四、教学目标：1、系统了解椭圆焦点三角形，理解并掌握它的三个重要性质；2、会运用椭圆焦点三角形的三个性质，求解与其周长、距离、面积、张角等相关的一些问题；3、运动变化的观点以及数形结合、类比等数学思想；4、开阔视野，激发兴趣，主动进取、严谨求实。五、教学重点：椭圆焦点三角形的性质及应用 教学难点：椭圆焦点三角形面积公式的推导以及内角变化的论证六、教学设计：（一）课题引入：定义：椭圆上一点和两个焦点构成的，称之为椭圆焦点三角形。其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形（如图2中） 图1 图2 （二）问题研究：问题一、有关周长和距离问题：性质1：焦点三角形的一条边长为焦距，另外两条边长的和为定值。例题1、（08浙江卷）已知是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点， 若 _。变式：是椭圆的左,右焦点,点在椭圆上运动,则的最大值是 说明：周长和距离问题，常常要用到椭圆的定义。问题二、有关面积问题：例题2、已知是椭圆的左、右焦点，AB是经过椭圆中心的一条弦， 求面积的最大值。性质2（1）：若为椭圆上一动点，当运动到短轴端点时，所形成的焦点三角形面积最大， 即椭圆的特征焦点三角形面积最大.变式：如图， 已知椭圆方程为 (), 两焦点分别为设焦点三角形中求证： =。性质2（2）: 若为椭圆的两焦点为 (ab0),设焦点三角形中则 =。例题3：已知焦点为的椭圆上有一点M，若，则的面积为_变式1：若上述方程变为，结果会怎样？变式2：（09上海理）已知、是椭圆（0）的两个焦点，为椭圆上一点，且 .若的面积为9，则 =_变式3已知椭圆的两个焦点分别为 ,为椭圆上一点,且 ,则的值等于_说明：(1)解题中常用到利用了椭圆的定义、几何性质等；(2)注意公式的正用、逆用；(3) 在双曲线中也有类似结论，若理解并熟记了性质二结论，就能提高我们解题的起点。问题三、有关角的问题：下面给出关于椭圆特征焦点三角形顶角的一个比较有用的性质及其应用 ,以引起同学们的注意. 性质3： 椭圆特征焦点三角形的顶角是椭圆上所有的点对椭圆两焦点所成张角中最大的角.已知：在椭圆的中，是它的两个焦点，B是短轴的一个端点，M是椭圆上异于顶点的点。求证：例题4：已知点在椭圆上运动，为其左右两焦点，回答下列问题：（1）当点P运动到短轴端点B1时，恰为直角，则在椭圆上满足的点的个数是_（2）当点P运动到短轴端点B1时，为钝角，则在椭圆上满足的点的个数是_(3) 当点P运动到短轴端点B1时，为锐角，则在椭圆上满足的点的个数是_说明：要在椭圆上求解满足的点的个数，只需判断的大小。变式： （00年全国卷）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当已知为钝角时，则点的横坐标的取值范围为 拓展提高：若将（变式）中的椭圆方程换成，试探求当满足什么条件时，椭圆上不会存在点，使分别为钝角、直角？（三）课堂小结（四）课后作业：1.必做题（1）.（06四川卷）：如图，把椭圆的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于共7个点，F是椭圆的一个焦点，则_.（2）.（01上海卷）设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆的一点.已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|,求的值.（3）. 类比椭圆，研究双曲线焦点三角形的性质及应用，尝试写成小论文。2、选做题（可独立完成，亦可与同学合作，共同完成）（1）. 你还能挖掘出椭圆焦点三角形的其他性质及应用吗？（2）. 焦点四边形：如果圆锥曲线的内接四边形的对角线经过圆锥曲线的焦点，我们把这样的四边形叫做焦点四边形。圆锥曲线的焦点四边形与焦点三角形有许多相似的性质，焦点四边形中的最值问题在近几年的高考试题及全国各地的模拟试题中频频亮相，值得关注。你可以以椭圆（或双曲线、抛物线）为例，对其焦点四边形进行研究。七、板书设计： 课题：椭圆中焦点三角形若干问题的研究（一）问题一、有关周长距离 性质1： 应用：例1变式： 问题二、有关面积 性质2（1）： 性质2（2）证明： 性质2（2）： 应用：问题三、有关角 性质3： 性质3论证： 应用：课堂小结：布置作业：八、教学反思： 本堂课开门见山，引入课题，让学生在熟悉的问题情景中进入课题，充分激发学生的学习热情和兴趣。本堂课教学以和谐教学法和合作探究法为主。因为在教学中要突出学生的主体地位，培养学生的自主意识和合作意识为根本。和谐教学是一个动态的过程，从不稳定，不和谐，达到稳定和谐，这个过程师生互动，是学生成为自主，主动学习，因此，教学过程运用电子白板辅助教学，通过点的移动、图形的旋转等电子白板的特殊功的使用，能将本堂课中的内容、重点突出，难点淡化，突破了教学中的重点和难点。 本节课的教学重点是椭圆焦点三角形的性质及应用，教学难点是椭圆焦点三角形面积公式的推导以及内角变化的论证。性质1学生比较容易掌握；性质2的证明要用到正弦定理、余弦定理及半角公式，比较综合，但由于题目设计成了证明题，学生有目标可循，题目难度因此降低了。性质3，学生从图形上，能够直观地发现，但从理论上论证内角的变化还是比较困难的，教学时对学生有必要适时引导。课后思考题的设计，与本堂课例题形成呼应，而且为完备曲线焦点三角形的探索，抛砖引玉，引导学生对双曲线焦点三角形问题进行类比研究，进一步巩固延伸知识。另外，根据学生的知识能力水平，分层布置作业。学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养主要依靠解题