郭硕鸿电动力学习题解答完全版(1-6章).doc

电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律1. 根据算符的微分性与矢量性 推导下列公式(Ar Br) = Br ( Ar) + (Br )Ar + Ar ( Br) + (Ar )BrAr ( Ar) = 1 Ar 2 (Ar )Ar2解1 (Av Bv) = Bv ( Av) + (Bv )Av + Av ( Bv) + (Av )Bv首先 算符是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题将作用于 Av和Bv又是一个矢量算符 具有矢量的所有性质因此 利用公式 cv (avbv) = av (cv bv) (cv av)bv 可得上式 其中右边前两项是 作用于vvA 后两项是作用于 Bvv2 根据第一个公式 令 A B可得证2. 设 u是空间坐标 xy z的函数 证明f (u) = df udu Ar(u) = u dArdur Ar(u) = u.dAdu证明1f (u) = f (u) erx + f (u) ery + f (u) erz =dfdu xex +rdf u ery + df urez = df uuxyzdu ydu zdu2Ary (u)ydAry (u)duArx (u) +x+ Arzz(u) = dArx (u) u + u + dArz (u) urz = u du Ar(u) =dAzduxydz3rrrezeeAry )erx + (ArzArArx )erz =yrrxy Ar(u) = (x )ey + ( y xAA rzzxyAy (u) Az (u)zyzxrrrAx(u)- 1 - 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律= (dArz dAry u rdArx u dArru dA urdAr)ey + (dAu du z )ex + (u r rxyzdu x du y )ez = u dudu ydu z du x3. 设r = (x x)2+ (y y)2+ (z z)2为源点 x到场点 x 的距离 r 的方向规定为从源点指向场点r + er + er 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (= ez )与对场变数求zx xy y微商( = erx r r + ezz)的关系x + ey yrrrrrr1r 1rrrrrr = r = , = = , r3 = 0, r = 3 = 0.(r 0)rr33r(最后一式在人 r 0点不成立 见第二章第五节)2 求rr,rr,(ar )rr,(ar rr),Er0 sin(kr rr)及Er0 sin(kr rr),其中ar,kr及Er0均为常矢量证明 rr =(x xx) +(y yy) + (z z) = 3zrrreeexyzrr = 0xx xyy yzz z v(av )rr = (axevx + a yevy + azevz ) ( ex + y evy + z evz )(x x)evx + (y y)ery + (z z)evz x= (ax + ay + az )(x x)evx + (y y)ery + (z z)evz xyz= axevx + ayevy + azevz = av(av rv) = av (rv) + (av )rv + rr (av) + (rv )av= (av)rv + rv(av)+ (rvar)av= av + rv (av) + (rv )avEr0 sin(kr rr) = (sin(kr rr) Er0 + sin(kr rr)( Er0)- 2 - 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律= x sin(kr rr)erx + y sin(kr rr)ery + z sin(kr rr)erz E0= cos(kr rr)(kxerx + k yery + kzerz )Er0 = cos(kr rr)(kr Er)Er0 sin(kr rr) = sin(kr rr)Er 0+sin(kr rr) Er04. 应用高斯定理证明dV fr = S dSr frV应用斯托克斯Stokes 定理证明S dSr = Ldlr证明1)由高斯定理dV gr = S dSr grVg即(gxgVx +y +zz )dV = g xdS x + g ydS y + g zdS zyS而 frdV = ( f z z f y )ir + ( f x x f z )rj + ( f y y f x )krdVVyzx=x ( f ykr f zrj) + y ( f zir f xkr) + z ( f xrj f yir)dVr r( f zdS y f ydS z )ir + ( f xdS z f zdS x )rj + ( f ydSx f xdS y )kr( f ykr f zrj)dSx + ( f zir f xkr)dS y + ( f xrj f yir)dS zSdS f=又S=若令H x = f ykr f zrj,H y = f zir f xkr,H Z = f xrj f yir则上式就是 HrdV = SdSr Hr ,高斯定理 则证毕V2)由斯托克斯公式有fr dlr = S fr dSrlfr dlr =l( f xdlx + f ydly + f zdlz )lS fr dSr = Sf z f y )dS x + ( f x f z )dS y + ( f y f x )dS zz z x x y(y而dlr =l(idlx + jdly +kdlz )l- 3 - 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律S dSr = S(dSz )ir + (dS x )rj + (ydS y )kr dS dS dS xyzxzyxzr rj)dS + (ri x kr)dS y + (x rj y ir)dS z=(k xyzz若令 f x = i, f y = j , f z = k则证毕5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为Pr(t) =(x ,t)x dV,r r V利用电荷守恒定律 Jr + rt = 0证明 P的变化率为dPr =dtrr J(x ,t)dV VPr = r r t x dVrV= Vjx dVr 证明trt ) x = Pr rj xdV = (x j ) (x)rj dV =r (VV( jx (x j )dV =jxdVS xrj dSr若S ,则 ( )xj dSrr= 0,(rj S = 0)rt ) y =r,(t ) z = j dV(j dVy同理即zdPr = r r j x ,t)dV (dtVmr Rr 的旋度等于标量 = mr Rr 的梯6. 若m是常矢量 证明除 R 0 点以外 矢量 Ar =rR3R3度的负值 即 Ar = 其中 R为坐标原点到场点的距离 方向由原点指向场点证明mv Rv)1r1r1 vr1r Av = (= mv ( R1 ) = (mv) + (mv ) ( )m ( )mvR3- 4 - 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律1= (mv ) ,(r 0)r = (mv Rv1r1r1r1r) = mv ( ) = mv ( ) ( ) (mv) (mv )R3( )mv = (mv )1r1r Av = 7 有一内外半径分别为 r1和 r2的空心介质球 介质的电容率为 使介质内均匀带静止自由电荷 f 求1 空间各点的电场2 极化体电荷和极化面电荷分布解1SDr dSr = f dV ,(r2rr1)即 D 4r 2 = 43 (r 3 r13) f(r 3 r13) f3r 3Er =rr,(r2 r r1)rr Q= 4(r23 r13) f ,(r r2)3 0f由 E dS =S 0Er =(r23 r13)3 0r 3r f rr,(r r2)r r1时 E 0r2) P 0eEr = 0rE = ( 0)Er 0 0P = Pr = ( 0) Er = ( 0)(r 3 r13)3r 3 f rr = 0 f (rr r r3r)13r 3= 0 f (3 0) = ( 0 ) f3 P = P1n P2n考虑外球壳时rr2n从介质 1指向介质 2 介质指向真空P2n = 0- 5 - 电动力学习题解答第一章电磁现象的普遍规律r 3 r133r 3) r23 r13 P = P1n = ( 0) f rr r=r2= (1 0 f33r2考虑到内球壳时rr2 P = ( 0) r 3 r1 f r r=r1 = 03r3r 38 内外半径分别为 r1和 r2的无穷长中空导体圆柱 沿轴向流有恒定均匀自由电流 Jf 导体的磁导率为 求磁感应强度和磁化电流解Hr dlr = I f + ddt SDr dSr =I f当r rr1时j f (r 2 r12)2rBv = (r 2 r12r2)rj f rr2当 rr2时2rH = j f (r22 r12)Br = 0(r 222)rj f rr r12r 2J M = Mr = (M Hr ) = ( 0)r 1) (rj f r2r r r12)0 )H = (02r 2= ( 1) Hr = ( 1)rj f ,(r1 r R0且 0是未置入导体球外R=R0= 0前坐标原点的电势bnR na nR n0根据有关的数理知识 可解得外Pn cos )1n由于外= E0Rcos 0即R外 a 0 + a1Rcos + anRnPn (cos) + b0+b1R2 cos +bnRn+1Pn (cos ) R = E0Rcos + 0Rn=2n=2故而有 a0 = 0,a1 = E0,an = 0(n 1),bn = 0(n 1)b0Rb12 cos外 0 E0Rcos+R- 2 - 电动力学习题解答参考第二章静电场b0R0b1又外 R=R0 = 0,即 外 R=R0 = 0 E0Rcos+2 cos = 0R0 + b0 = 00R0故而又有b1 E0R0 cos + 2 cos = 0R0得到b0 = (0 0)R0,b1 = E0R02最后 得定解问题的解为外 = E0Rcos + 0 + (0 0)R0 + E0R30cos(R R0)RR2 当导体球上带总电荷 Q时 定解问题存在的方式是22内 0(R R0)有限内R0E0Rcos + 0( 0是未置入导体球前坐标原点的电势外R外内RR0外s 0ds Q(R = R0)R解得满足边界条件的解是bnR nn=0anR nPn cosn=0内外 0 E0Rcos1 Pn cos由于外 R 的表达式中 只出现了 P1(coscos项 故 bn = 0(n 1)b0Rb12 cos外 0 E0Rcos+R又有外 R=R0 是一个常数 导体球是静电平衡b0R0b12 cos = C外 R=R0 = 0 E0R0cos+R0b1E0R0 cos + 2 cos = 0即 b1 = E0R30R0- 3 - 电动力学习题解答参考第二章静电场外 0 E0Rcos + b0+ E0R30cosRR 2外Q4 0又由边界条件s 0dsQb0 =rQ内 0,R R03 均匀介质球的中心置一点电荷 Qf 球的电容率为 球外为真空 试用分离变数法求空间电势 把结果与使用高斯定理所得结果比较提示 空间各点的电势是点电荷Qf 的电势Qf4R与球面上的极化电荷所产生的电势的叠加 后者满足拉普拉斯方程解 一. 高斯法rE dsr = Q总 Q f + QP = Q fR R0 ,由高斯定理有 0对于整个导体球在球外而言 束缚电荷QP = 0)Er =Q f4 0R2Qf积分后得 外4 0R + C.(C是积分常数又由于外 R = 0,C = 0Q f外 = 4 0R (R R0)在球内R R0 ,由介质中的高斯定理Dr dsr = Q f又 Dr = Er,Er =Q f4R2Qf4R积分后得到 内+ C2.(C2是积分常数- 4 - 电动力学习题解答参考第二章静电场Q f4 0R0 4R0Qf由于内 外 R=R0 ,故而有=+ C2Q f4 0R0Q fC2 =4R0 (R R0).Qf4R 4 0R0QfQf内4R0 (R R0Qf外Qf4R 4 0R0 4R0Qf内,R R0- 5 - 电动力学习题解答参考第二章静电场r4 均匀介质球 电容率为1 的中心置一自由电偶极子 P 球外充满了另一种介质 电f容率为 2 求空间各点的电势和极化电荷分布r rP R3 +,而满足拉普拉斯方程f提示 同上题 =4 R1解 1 内 = 2R外R内2Pf cos+lAlR又1R0 = 1(l01PlR41R03外= 2( 2Pf cos41R03Bll 2(l 1 R 2 PlR0R0比较 Pl (cos)系数B00A0 02 f3 +1A1 = 2 2 f3 232 B1,及A1 = R03B14R041R0R02(1 2) f2(1 2) f得 A1 =3 ,B1 =41(1 + 2 2)R041(1 + 2 2)比较 P2(cos )的系数3B24 , A2 = RB221A2R040R01及 A2(1+1R0 ) = 0所以 A2 = 0,B2 = 0 同理 Al = Bl = 0,(l = 2,3L)最后有r f Rr2(1 2) f f Rr3 + 2(1 2)r f Rrr内3 +3 Rcos =3 ,(R R0)4 (1 + 2 2)R41R41(1 + 2 2)R41R4 ( + 2 )R112- 6 - 电动力学习题解答参考第二章静电场球面上的极化电荷密度 P = P1n P2n,nr从 2指向 1 如果取外法线方向 则 p = P外n P球n = ( 2 0)外)n (1 0)内)n外内= ( 2 0) R + (1 0) RRR0 6 f cos 3 (1 0)6( 0 2) f cos 2(1 2) 2(1 + 2 2) cos1 1 2= ( 2 0)f4 (1 + 2 2)R034 ( + 2 )R304 (1 + 2 2)R0= 61( 0 2) + 6 2(1 0) cos = 3 0(1 2) 3 f cosf304 ( + 2 )R21(1 + 2 2)R0112求极化偶极子P = qlr可以看成两个点电荷相距 l 对每一个点电荷运用高斯定理 就得到在每个rf点电荷旁边有极化电荷 0 0qP = ( 1)q f ,qP = ( 1)(q f ) 两者合起来就是极化偶极子1 1PP = ( 1)Prfr 01r5.空心导体球壳地内外半径为 R1和 R2 球中心置一偶极子P 球壳上带电 Q 求空间各点电势和电荷分布解R2 323 = 0,3 r = 0R1 = C,2 r0 = 2rPrr1 =3 +1,1 r0为有限值4 0rBll+1 r3Pl (cos ),3 rR = C2 = C,2 r=R1 = C2rPf rr3r dS r=R1= Q3 + AlrlPl (cos) =+r dS r=R14 0r21 0- 7 - 电动力学习题解答参考第二章静电场BBB2320 + 12 cos + R P2 +L = CRR22Pf cos2 + A0 + A1R1 cos +L = C4 0R1即A0 = R0 = C,(A R1 +2Pf 2 )cos = 0,Bl = 0(l = 1.2.3L), Al = 0(l = 2.3.4L)B14R12Pf cos34 0R1Pf cosPL = 3 + A1 cos +L2 0R1又 1 = r+lAlRl11BlrB02 2 RB13 cos +Lr3 =(l 1)l+2 Pl = R113rB2 dS = RB02 dS = 4R1 2 = 4B02 B0R1dS =0则R11Pf Pf1r22