数字图像处理第三章图像的正交变换

数字图像处理,第3章图像信号的正交变换,数字图像信号的正交基表示,3.3,沃尔什变换和哈达玛变换,3.4,上节知识点回顾,1、DFT,2、二维DFT的实现,3、一维DCT表达式的推导,4、DFT和DCT频谱特点,3.3数字图像信号的正交基表示,一、变换核的一般表达式,其中x,y,u,v=0,1,2,.,N-1，g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正变换核和反变换核。,若,则变换核是可分离的。,若,则变换核是对称的。,此时，变换可写成：,正变换式：F=PfQT反变换式：f=P1FQ1T,其中F为二维频谱按u行，v列排列成的频谱方阵，f是按x行、y列排列成的图像方阵。,二、变换的矩阵表达式,P、P1分别是由P(u,x)、P1(u,x)按u行x列排列成的方阵；而Q、Q1T分别是Q(y,v)Q1T(y,v)按y行、v列排列成的转置方阵。,F=PfQT,f=P-1F(QT)-1,f=(P)TFQ,P1=(P)T,Q1=(Q)T,三、基本图像和基本频谱,将P、Q写成向量形式：P=(P0P1PN-1)，Q=(Q0Q1QN-1)，其中Pi，Qi为列向量，并将矩阵f分解成求和形式：,将正变换和反变换写成外积的形式,是固定矩阵，只和该正交变换阶数有关，称为基本图像，其物理意义：在以变换域系数Fij作为权值的情况下，由此基本图像组合，可得到原始图像f。,看成基本频谱，图像频谱可以看成以图像域系数fij作为加权的基本频谱之和。,例：以55的DFT为例，讨论基本图像和基本频谱。,由已知P1、Q1是对称酉矩阵，可得：P1=(P)T、Q1=(Q)T和P=Q,PiPjT为55基本图像，PiPjT为55基本频谱，根据i、j不同取值，它们均有25个55矩阵。,基本图像形成过程：,利用周期性,其任何一列和任意一行的转置相乘后(外积)可得到一个55矩阵，即一个基本图像，这样的图像有25个。任意一幅55图像都可以表示为这25个基本图像的加权和，权值大小为其相应位置的傅立叶频谱系数。,结论：任一幅55图像的频谱是由25个基本频谱加权得到，加权系数为相应图像的像素值，从而每一个频谱系数都和整幅图像相关，即整幅图像对某一个频谱分量都有贡献，同样每一个像素值是所有频谱分量的贡献。,举例：,P(u,x)=,Q(y,v)=,156159158155158156159158160154157158157159158158156159158155158156159158160154157158157159158158156153155159159155156155155155155157156159152158156153157156153155154155159159156158156159157161,f(x,y)=,0.61180.62350.61960.60780.61960.61180.62350.61960.62750.60390.61570.61960.61570.62350.61960.61960.61180.62350.61960.60780.61960.61180.62350.61960.62750.60390.61570.61960.61570.62350.61960.61960.61180.60000.60780.62350.62350.60780.61180.60780.60780.60780.60780.61570.61180.62350.59610.61960.61180.60000.61570.61180.60000.60780.60390.60780.62350.62350.61180.61960.61180.62350.61570.6314,F(u,v)=,3.1离散傅立叶变换,3.2离散余弦变换,3.3数字图像信号的正交基表示,3.4沃尔什变换和哈达玛变换,第3章图像信号的正交变换,3.4沃尔什变换和哈达玛变换,Walsh函数系是完备正交函数系，只取两种值，在归一化条件下只取+1、-1,便于计算。典型非正弦正交变换，方波变换较DFT减少了存储空间、提高运算速度,变换核,其中,3.4.1沃尔什变换,bk(z)是z的二进制表达式中的第k位的值。例如n=3，则对于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。,可以看出，沃尔什变换核是一个对称阵列，其行和列是正交的。正反变换核除了相差一个常数项1/N外，其他相同。,二维Walsh变换核为：,举例：求Walsh变换核矩阵元素,方括号中各项的符号即为变换核的符号，从中可见Walsh变换的本质是将离散序列f(x)的各项值的符号按一定的规律改变，进行加减运算。,举例：若二维信号,求其离散Walsh变换。,其中N=4时的二维Walsh变换核为,则：,例：,可见，二维Walsh变换具有某种能量集中的特性，而且原始数据越均匀分布，变换后的数据越集中于矩阵的边角上，因此，可用于图像压缩。,本质上是一种特殊排序的沃尔什变换，其方阵只包括+1和-1两个矩阵元素，各行和各列之间是正交的，即任两行相乘或两列相乘后的各数之和必为零。优点：变换核具有简单递推关系，高阶矩阵可用两个低阶矩阵求得。,3.4.2哈达玛（Hadamard）变换,3.4.2哈达玛（Hadamard）变换,变换核,其中,bk(z)是z的二进制表达式中的第k位的值。例如n=3，则对于z=6（110），有b0(z)=0，b1(z)=1，b2(z)=1。,于是,和Walsh变换类似，由Hadamard变换核组成的矩阵是一个对称矩阵，并且其行和列正交。,反变换核,二维情况：,可分离,Hadamard具有简单的递推关系，如N=2n，当N=2时，Hadamard矩阵为：