拉普拉斯变换1-4节

第七章拉普拉斯变换,第七章拉普拉斯变换,1、拉氏变换的基本概念2、拉氏变换的性质3、拉氏变换的逆运算4、拉氏变换应用举例,7.1拉氏变换的基本概念,称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号Lf(t)=F(P)表示函数()称为f(t)的拉氏变换(Laplace)(或称为f(t)的象函数)函数f(t)称为()的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作L-1F（P）=f（t）即f（t）=L-1F（P）,定义设函数f(t)当t0时有定义，若广义积分在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P),即,（1）,关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求f（t）在t0时有定义为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t0时，f（t）.（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的例7-1求一次函数f（t）=at（t0，a为常数）的拉氏变换解,7.1.2单位脉冲函数及其拉氏变换设，当时，的极限,称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数,当t0时,的值为0;当t=0时,的值为无穷大,即,显然，对任何,有，所以,工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度,定义：,例7-2求的拉氏变换,例7-3求单位阶梯函数的拉氏变换,解，,例7-4求指数函数（a为常数）的拉氏变换,解，即,解根据拉氏变换的定义，有,类似可得；,例7-5求下列函数的拉氏变换：（）（）,性质1(线性性质)若a1、a2是常数。且f1(t)=F1(p)，f(t)=F(p)则a1f1(t)+a2f2(t)=a1Lf1(t)+a2Lf2(t)=a1F1(p)+a2F2(p)（7-2）证明,解（）,（）,拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换,7.2拉氏变换的性质,性质2（平移性质）若Lf(t)=F(p)，则,解因为,eatf(t)=F(p-a)(a为常数)（）,位移性质表明：象原函数乘以eat等于其象函数左右平移个单位,位移性质表明:象原函数乘以eat等于其象函数左右平移a个单位.,例7-6求Lteat,Leatsint和e-atcost.,由位移性质即得,性质3（滞后性质）若Lf(t)=F(p)，则Lf(ta)=e-apF(p)，（a0）（7-4）,在拉氏变换的定义说明中已指出，当t0时，f（t）=0因此，对于函数f（ta）,当ta，（即t0时,（7-9）,性质若Lf（t）=F（p），则,（7-10）,性质若Lf（t）=F（p），且存在则,（7-11）,例7-13求,解因为，由（7-10）式可得,例7-14求,解因为，而且，所以由（7-11）式可得,即因此，当p=0时，得到一个广义积分的值,这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的,现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：,表7-1拉氏变换的性质,表7-2常用函数的拉斯变换表,7.3拉氏变换的逆运算,前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题。运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数f(t)，这就是拉斯逆变换问题。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出。,性质1（线性性质）,性质2（平移性质）,性质3（滞后性质）,解（1）将a=-3代入表二（5），得,（2）由性质2及表二（4），得,（3）由性质1及表二（2）、（3），得,（4）由性质1及表二（9）、（10），得,解,例7-16求的逆变换。,在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时，通常遇到的象函数常常是有理分式，对于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,然后再利用拉氏变换表求出象原函数,例7-17求的逆变换,解先将分解为两个最简分式之和：,用待定系数法求得A=7，B=6，所以，于是,例7-18求的逆变换,解先将F(p)分解为几个简单分式之和：,用待定系数法求得，所以,于是,7.4拉氏变换应用举例,下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用,例7-19求微分方程满足初值条件的解,解第一步对方程两边取拉氏变换，并设：,，,将初始条件代入上式，得,这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程,第二步解出,第三步求象函数的拉氏逆变换：,这样就得到了微分方程的解,由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表7-3：,例7-20求微分方程满足初值条件的解,解对所给微分方程的两边分别作拉氏变换设，则得,将初值条件代入，得到Y的代数方程,即,解出Y，得,将上式分解为部分分式,再取拉氏逆变换，就得到满足所给初值条件的方程的特解为,用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组,本章内容,本章主要内容为：,1拉氏变换的概念和性质；拉氏变换的逆变换,2拉氏变换与逆变换之间有如下框图所示的关系：,4拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表：,拉普拉斯变换,一、目的要求：,1、理解拉普拉斯变换（简称拉氏变换）及其逆变换的概念；,2、掌握利用拉氏变换的性质及常用函数的拉氏变换表，求一些函数的象函数与