第十一章 微分方程

微分方程,第七章,积分问题,微分方程问题,推广,本章内容一、微分方程的基本概念二、一阶微分方程三、可降阶高阶微分方程四、高阶线性微分方程五、常系数线性微分方程六、数学建模与微分方程应用简介,第一节微分方程的基本概念,一、引例,二、基本概念,*三、更多的实际问题,一、引例,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,引例2放射性物质衰变的规律是:在每一时刻t,衰变的速率与该时刻尚存的质量成正比,即,引例3质量为的跳伞员下落时,所受到的空气阻力与下降速度成反比（注意阻力的方向与速度方向相反）,取坐标轴沿垂直方向指向地心,则该跳伞员在时刻t的坐标y=y(t)应满足,(k0为比例系数),(k0为比例系数),二、基本概念,定义1联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数或偏导数的等式称为微分方程，其中未知函数的倒数或偏导数必须出现，而自变量的导数可以不必出现，则称为常微分方程；若未知函数为多元函数，则称为偏微分方程。,定义2微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。,例如，例1，例2是一阶微分方程，例3是二阶微分方程。,一般地,n阶常微分方程的形式是,或,(n阶显式微分方程),例如，一阶微分方程就可以表示为,或,微分方程的解,使方程成为恒等式的函数.,定义3,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,注意：通解不一定包含所有解。例如伯努利方程,的隐式通解为,，此外，方程还有解,，这,个解不包含在通解中。,例4验证函数,是微分方程,的通解（其中是任意常数），并,并求方程满足初始条件的特解。,解：对求导得,和,将的表达式代入所给微分方程的左边，得,因此满足微分方程，即是微分方程的解，又因它含有两个独立的任意常数（本例解中不可能合并为一个任意常数），故,即为二阶微分方程的通解。,由,可得,解得,故方程满足初始条件的特解为,求所满足的微分方程.,例5.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,三、更多的实际问题,1.增长率问题（参考p213）,2.弦的微小横振动模型（参考p214),第二节,本节讨论一阶微分方程,（1）,的一些解法。这一方程有时也可改写成如下的对称形式：,（2）,一、可分离变量方程,一阶微分方程,若在方程(2)中，有,则（2）可变形为,（3）,形式地看，（3）把变量X和y成功地分离到方程的两边，每边只含有一个变量。一般地可将（3）写为形如：,（4）,的方程。（3）和（4）称为可分离变量的微分方程，简称变量可分离方程。,可分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x)=f(x)0,时,由确定的隐函数x(y)也是的解.,设左右两端的原函数分别为G(y),F(x),说明由确定,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),例2求解方程,解:当,时，易得方程的隐式通解为：,即,于是通解为,另外，方程还有常数解,，它们不包含,通解中。,练习:,二、齐次方程,一、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,例3.解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(当C=0时,y=0也是方程的解),(C为任意常数),例4求解方程,解：原方程可化为,，令,，代入得,或,易见u=0是此方程的一个解，从而y=0是原方程的一个解。,当u0时，分离变量后两端积分得,或,将,代入上式，得到原方程的通解为,注意,此通解不包含y=0,(h,k为待,*三、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,例5求解方程,解：因为方程组,有唯一解,令,，得,再令,，代入整理得,两边对X积分得,即,或,将,回代，得原方程的通积分,当,时，解得,，还原后,又得到原方程的两个解,例6.求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,得C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,四、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,（4.1）,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,（4.2）,用同样的方法可以得到初值问题,的解为,（4.3）,例7求方程,的通解及满足y(1)=1解。,解将方程写为标准形式,易得对应,齐次线性微分方程,的通解为,由常数变易法，令,，即设,是原齐,次线性微分方程组的解，将其代入原方程后有：,即,或,，于是原方程通解,将y(1)=1代入通解得,，故满足该初始条件的解为:,也可直接用满足初始条件的通解公式(4.3)求解：,例8求方程,的通解。,解显然，这个方程关于y是非线性的，且不能进行变量,分离。但是如果把它改写为,并将x看作未知函数，y看作自变量，就成为关于y的线,性微分方程，直接利用通解公式（4.2），可得原方程,的通解为：,*3、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(以z为未知函数的一阶线性微分方程),注意:当n0，伯努利方程总有特解y=0.,例9求解方程,解方程可改写为n=4的伯努利方程,令,，代入原方程可得一阶线性微分方程,其通解为,代回原变量后可得原方程的通解为,或,例10.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,五、全微分方程,若一阶微分方程（2）的左端恰好是某个二元函,数u(x,y)的全微分,即,则方程（2）称为全微分方程（恰当方程），其中,，而方程（2）就变为,从而其隐式通解为：,而u(x,y)有时也称为,（其中C为任意常数）,的原函数。,注意：方程,是全微分方程,的充分必要条件为,.这是判别一个方程是否为,全微分方程最主要的判据.,例11求解方程,解其中,有,，故原方程是全微分方程.,解法一由,得,从而,即可解出,于是原方程的通解为：,解法二取,原方程的通解仍然为：,解法三利用全微分的概念，将原方程变形为：,或,即,于是原方程的解为：,小结,以上我们介绍了一些较基本的求解方法，值得注意的是同一个方程往往那个可以用不同的初等变形手段转化为不同类型的方程求解，所以在微分方程的求解过程中，一题多解的现象时常出现.,例12求解方程,解法一原方程可改写为齐次方程,令y=ux可将原方程化为变量分离方程如下：,，积分后回代得到通解：,解法二原方程又可改写为一阶线性微分方程如下,，直接用其通解公式即可得到通解：,解法三分组凑微分，将原方程改写为如下形式,，两边同乘以,，得：,，即,从而其通解为,第三节可降阶高阶微分方程,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,例1.,解:,例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初速度为0,且,对方程两边积分,得,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,引入参数法求解.,设,则,而原方程化为,方程.,设其通解为,代入参数,又得到一个一阶微分方程,对它进行,积分,便得原方程的通解,二、,型的微分方程,例3解方程,解:,代入方程得,.,这是一个一阶线性微分方程,解之得,从而原方程的通解为,例4.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,例5.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,微分方程,不明显地含自变量,引入参数法求解,设,则由复合函数的求导,法则有,这样,原方程就化为,设它,的通解为,分离变量并积分,使,得原方程的通解,型的微分方程,三、,例6.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,例7求解方程,由此得,;,此变量分离方程的通解为,代入原方程得,例8.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,1.,课堂练习,2.,3.,1.,解,对所给方程连续积分三次，得,这就是所求得通解.,完,2、,解方程,解,令,分离变量得,即,由,由,故,3、,解,代入原方程得,原方程通解为,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,高阶线性微分方程,第四节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第十一章,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为i(t),上的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,化为关于,的方程:,故有,n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证),(89考研),例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,*四、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,的系数行列式,积分得:,代入即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,例5.,的通解为,的通解.,解:将所给方程化为:,已知齐次方程,求,利用,建立方程组:,积分得,故所求通解为,例6.,的通解.,解:,对应齐次方程为,由观察可知它有特解:,令,代入非齐次方程后化简得,此题不需再作变换.,特征根:,设的特解为,于是得的通解:,故原方程通解为,(二阶常系数非齐次方程),代入可得:,应齐次线性微分方程的通解,然后用常数变易法求解即可,为求出非齐次线性微分方程的通解,只需求出其对应,因而从理论上说,线性微分方程的通解结构问题已彻底解,决,但怎样求出变系数齐次线性微分方程的通解却又是一,个十分棘手而艰难的问题.事实上,对一般的高阶微分方,程（即便是二阶微分方程）,并不存在求通解的一般方法.,但当线性微分方程中的系数都是常数时,称该方程为常系,数线性微分方程。所对应的齐次方程的通解可以通过代数,方法来求解。我们主要讨论二阶常系数线性微分方程，其,第五节,常系数线性微分方程,结论可推广到高于二阶的一般,一、二阶常系数齐次线性微分方程,阶常系数线性微分方程。,定义1如果在二阶齐次线性微分方程,中，系数函数,则称方程（1）为为二阶常系数齐次线性微分方程.,都是常数,，即,（1）,由上节的讨论知,要求齐次线性方程(1)的通解,只需找到,两个线性无关的特解.根据方程(1)的特征,函数,与,之间相差一个常数倍,而指数函数,正好满足这一,条件,所以我们有理由猜想形如,(其中r为常数)，的函,数可能是方程的解.由于,将其带入方程(1),整理可得,（2）,于是，只要,的值满足代数方程（2）,函数,就是方,程（1）的一个特解.因此,二次代数方程(2)称为微分方(1),的特征方程.特征方程的根称为微分方程的特征根.,根据特征方程根的三种不同情形,微分方程(1)的通解有,以下三种形式:,(1)当特征方程(2)有两个相等的实根时,是方程(1)的两个线性无关的特解,故方程(1)的通解为,(2)当特征方程(2)有两个相等的实根,时,我们只,得到一个特解,求出另一个与其线性无关的特解,即取,对,求导,得,以及,将,代入方程(1)后得,因,是特征方程的二重跟,故,且,于是得,从而可取,这样就得到了另一个解,所以方程(1)的通解可表示为,(3)当特征方程(2)有一对共轭复根,时,方程,(1)有两个线性无关的复函数解,也是方程(1)的解,并且,与,是线性无关的.因此,我们,由叠加原理我们知道,可取,作为方程(1)的两个实解,从而得到(1)的通,解为,综上所述,我们可得到求解二阶常系数齐次线性方程(1),的求解步骤如下:,(1)写出齐次方程(1)的特征方程(2);,(2)解特征方程(2),找出其特征根;,(3)按特征根的三种不同形式,写出方程(1)的通解,即,特征方程,的两,个实根,对应微分方程,的通解,例1求微分方程,的通解.,解所给方程的特征方程为,其根,是两个不相等的实根,故所求方程的通解为,例2求微分方程,满足初始条件,的特解.,解所给方程的特征方程为,其根,是两个相等的实根,故所求方程的通解为,将条件,代入上式得,从而,再对x求导，得,再将条件,代入后,解得,故所求方程的通解为,例3求微分方程,的通解.,解所给方程的特征方程为,其根,是一对共轭复数，这里,故所,求方程的通解为,关于二阶常系数齐次线性微分方程的结论可直接推广,到n阶常系数齐次线性微分方程中去.,(3),其中,都是常数.,我们同样可设,我们同样可设,是方程(3)的解,则参数r满足代数方程,(4),代数方程（4）叫做微分方程（3）的特征方程.该特征方,程有n重根（重根按重数计，即k阶重根算作k个根），分,别对应着微分方程（3）的n个线性无关的特解,见下表：,于是微分方程（3）的通解为,例4求微分方程,的通解.,解所给方程的特征方程为,其根为,对应的四个线性无关的特解为,故所求方程的通解为,例5求微分方程,例5求微分方程,的通解.,解所给方程的特征方程为,即,其根为,它们对应的五个线性无关的特,解为,故所求方程的通解为,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,考虑二阶常系数非齐次线性方程,其中,为常数.根据上节定理3,方程(5)的通解是其对应,的齐次方程(1)的通解Y与(5)的一个通解,之和.本节第,一部分已介绍过齐次方程(1)的通解的求法.至于求解(5)的,一个特解,一般而言,可利用上节介绍过的常数变易法.因此,在理论上,求(5)的通解问题已经获得解答,但常数变易法在,使用过程中往往会遇到较复杂的不定积分计算,因而有一,定的难度.在实际应用问题中,方程(5)的自由项,往往,是某个m次多项式,或,等形式的函数.对这样的,我们介绍,取下列两种形式时求,的方法-待定系数法,其,特点是无需求积分方程就可以求出,来.,1.,型,这时方程(5)变为,(6),其中,是一个m,为常数,次多项式.注意到方程(6)左端的,之间只相差一个常,数倍,而右端又含有,和,项,的各阶导数正好与,自身相差常数倍,且多项式的各阶导数仍为多项式,即多项,式乘以指数函数仍然式多项式乘以指数函数,所以可以猜,测方程(6)的解中也含有,因子和多项式因子,于是,我们可假设(6)的特解为,(7),将,代入方程（6）中并消去,得到,(8),（i）若果,不是特征方程（2）的根，即,由于等式（8）左端必须是一个m次多项式，而等式左端,中以多项式,的方幂最高，故欲使（8）式的两端相,等，可令,为另一个m次多项式,将其代入（8）式，比较等式两端多项式中x的同次幂的系,数，就可以得到以,为系数的m+1个方程组成的,联立方程组，从中解出,而得到,从而得到,所求特解,（ii）若果,是特征方程（2）的根，即,而,（8）式变为,所以要求,必须是一个m+1次多项式，为简明起见，可,令,并可用与（i）中相同的方法来确定,中的系数,（iii）若果,是特征方程（2）的二重根，即,且,这时（8）式变为,所以要求,必须是一个m+2次多项式，于是可令,并用同样的方法来确定,并用同样的方法来确定,中的系数,综上所述，我们有以下结论：,如果,而,是方程（2）的k重根（不是特,征根则以k=0重根计），则二阶常系数非齐次线性方程（,5）具有形如,（9）,的特解，即：k按,不是特征方程（2）的根、是特征方程,（2）的单根、是特征方程（2）的二重根分别取为0、1、2,注：上述结论可推广到n阶常系数非齐次方程的特解设,定形式，即：,如果,而,是特征方程（4）的k重根（不,是特征根则以k=0重根计），则n阶常系数非齐次线性方,程,（10）,具有形如,的特解.,例6求微分方程,的一个特解.,解由特征方程,得到特征根,和,本例中,不是特征方程的根，故设非齐次特解为,代入原方程，得,于是,所以特解,例7求微分方程,的通解.,解由特征方程,得到二重特征根,所对应的齐次方程的通解为,因,是特征方程的二重根,故设非齐次特解为,代入原方程并消去,项，得,于是,所以特解,故原非齐次方程的通解为,2.,型,由上节定理6，我们可以先求出微分方程,或,（11）,的特解,则该特解的实部,和,分别就是,和,所对应的特解,而方程（11）式右端的,正好是类型1，于,是就把类型2化为了类型1.,例8求微分方程,的一个特解.,解方程右端中,对应的齐次方程的特征方程为,为求原方程的一个,特解,先求微分方程,(12),的特解.由于2i不是特征方程的根，故可设特解为,求导后代入相应方程（12）并化简得,从而,其实部,即为原方程的一个特解.,由本例可见,尽管上述方法理论上简单,但在求解的实际,计算中要进行复数运算,显得很不方便,为此,我们改进上述,方法,使其仅需在实数范围内计算.,重新考虑方程(11)的特解.可令,其中当,不是特征根时,当,特征根时,代入方程后比较多项式个同次幂的系数可确定出与,同次幂的复值多项式,于是,其实部与虚部分别是,与,它们分别是,(13),与,(14),的特解.,的特解.,综上所述,形如(11)的二阶常系数非齐次线性微分方程的,特解可直接令为,其中,与,均为与,同次幂的实多项式.当,不是特征根时,当,是特征根时,例9求微分方程,的一个特解.,解方程右端中,对应,的齐次方程的特征方程为,因,是特征方程的根,故可设特解为,求导后代入原方程并,化简得,从而解出,于是非齐次特解,注:对于一般的,其中,和,分别是x的L次多项式和n次多项式.应类似的复方,法可以得到如下结论:,如果,则二阶常系数非,齐次线性微分方程,（15）,（或,（16）,其中,和,是m次多项式，,而k按,）不是特征方程的根、是特征方程的单根依次取,0或1.,更进一步,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分,方程，但要注意（16）式中的k是特征方程中含根,（或,）,的重复次数.,例10求微分方程,的通解.,解:这是非齐次线性方程,且,属于,型(其中,).特征,方程为,于是对应的齐次方程的通解为,下面考虑非齐次特解.由于,不是特征方程的根,所以应设特解为,求导得,代入所给方程，得,比较两端同类项的系数，得,即,因此所给方程的一个特解为,从而原方程的通解为,例11在第四节例1中，设物体受弹性恢复力f和铅直干,扰力F的作用.试求物体的运动规律.,解:这里需要求出无阻尼强迫振动方程,的通解.,对应的齐次微分方程(即无阻尼自由振动方程)为,(17),(18),特征方程,的根为,故方程(18)的通解为,令,则方程(18)的通解又可写成,其中,为任意常数.,方程(17)右端的函数,与,相比较,有,现在分别就,和,两种情况讨论如下:,(1)如果,则,不是特征方程的根,设,代入方程(17)求得,于是,从而当,时，方程（17）的通解为,上式表明，物体的运动由两部分组成，这两部分都是简谐,振动.上式第一项表示自由振动,第二项所表示的振动叫强,迫振动(或受迫振动).强迫振动是干扰力引起的,它的角频率,既是干扰力的角频率p，当干扰力的角频率p与振动系统的,固有频率k相差很小时，它的振幅,可以很大.,(2)如果,则,是特征方程的根,故设,代入方程(11)求得,于是,从而当,时,方程(17)的通解为,上式右端第二项表明,强迫振动的振幅,随时间t的增大,无限增大.这就是发生所谓共振现象,应使干扰力的角频率,P不要靠近振动系统的固有频率k.反之,如果要利用共振现,象,则应使,或使p与k尽量靠近.,有阻尼的强迫振动问题可作类似的讨论,这里从落.,数学建模与微分方程应用简介,第六节,近年来,国际上迅速发展的工业数学主要关心怎样在非,数学领域中应用现有的或发展新的数学方法来解决实际问,题，以求更高的经济与社会效益，而工业技术等领域中应,用数学的关键一步是数学建模，可以说数虚伪建模已发展,为一个相对独立的数学分支.本节介绍应用微积分知识进行,微分方程的几个典型例子,作为进入这一分支的引导.,一、数学模型简介,在现代科学发展史，牛顿的三大定律是数学模型的典,型例子.牛顿在力学研究中,把力学规律通过数学式子来表,达,并创建了微积分,他又以微积分为工具,在开普勒定律的,基础上,推导出万有引力定律.牛顿定律成功地解释了许多,自然现象，也为后来的一系列观测和实验所证实.按照牛,顿法则及其数学表达式,人们通过微积分就可发现行星运,动的规律,计算出摆的振动周期,讨论和设计人造卫星与,宇宙飞船的运动等等.数学成为人类探索自然奥秘的强有,力工具.为了理解和认识我们的客观世界,建立模型是最,基本的工作.迄今为止,科学的模型都是数学模型,科学,的数学化已经深入到生物、社会及经济领域.,随着生产的发展、社会的进步,人们需要对各种自然现,象、社会行为、生产过程、实验设计等的许多问题建立数,学模型,以便能正确地解释现实中提出的问题,预测和控,制其发展,例如炼钢厂的工程师们希望建立炼钢过程的模,型,以便实现计算机的自动控制,工厂厂长希望对生产管,理有一个数学模型,以便通过计算机及时迅速地了解生产,情况,预测生产能力,降低生产成本,指挥全厂生产.从,从事城市规划工作的专家需要建立一个包括人口、交通、,能源、供水、供电、污染等大系统的数学模型,为作出城,市发展的决策提供科学依据.,能源、供水、供电、污染等大系统的数学模型,为作出城,所谓数学模型,就是利用数学语言来模拟现实的模型,即针对现实世界中某一特定现象,为了某个特定目的而作,即针对现实世界中某一特定现象,为了某个特定目的而作,出必要的简化和假设,运用数学工具得到的一个抽象的简,化的数学结构,具体地说,数学模型为了某种目的,用字,母、数字及其它数学符号建立起来的等式、不等式、图表,图象、框图等,是用来描述客观事物的特征及其内在联系,的,模型的功能在于解释特定现象的现实性态、预测对象,的未来发展,为使用者提供对象状态的判据,以便对所研,究对象实行决策和控制.,如何建立数学模型,数学建模(MathematicalModelling)是一种数学的思,考方法,是对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其主,要且有用特征的表示,常常是形象化的或符号化的表示.,建立数学模型需要知识、想象力和技巧.建立符合实际,的模型就像掌握一门艺术一样,必须见识广,反复实践和,不断学习,富于创造性.整个建模过程大体上可用图11-7,所示的框图来说明.我们按以下几步作一些解释:,第一步模型准备.首先要深入了解问题的实际背景,明确建模的要求,对问题作全面深入的调查研究,收集必,要的数据,掌握对象的各种信息.,第二步模型假设.一般现实问题错综复杂,涉及面,广,要解决它必须将问题理想化,简单化,作出必要的假,设.不同的简化和假设会导致不同模型.如假设不合理或,过分简单,会使模型太粗而失效;如假设过细,试图把实,际现象的各种因素包罗万象,可能抓不住要领,无法突出,主题建立合理模型.因此,假设是建立模型中的关键因素,之一.,第三步模型建立.根据所作出的假设,利用适当的数,学工具,建立各量(常量和变量)之间的关系(等式与不等式.,列出表格,画出图形或确定其数学结构.,建模的数学工具有微积分、微分方程、线性代数、规划,论、图与网络理论、运筹学、统计、排队论、决策论、控,制论等等.要根据实际问题选择合适的数学工具和理论.,第四步模型求解.对已建立的模型,求出未知变量,的解,求解过程要充分运用已有的数学知识及计算机.,第五步模型分析.对所得,结果进行数学上的分析,有时是根,据问题的性质和建模目的分析变量,据问题的性质和建模目的分析变量,之间的依赖关系或稳定性态等.,第六步模型检验.这一步是把,模型的解和分析结果“翻译”回实际,对象中,用实际现象和实测数据等,检验模型的合理性与适用性.,如果检验结果不符合或大部分不,符合实际情况,并且肯定模型建立与求解,中不存在失误,问题通常在模型假设不合,合理上,就要回到模型假设这一步,修改原来假设重复建,模过程.如果检验成功,就可提供应用了.,二、微分方程应用之一人口增长的数学模型,中国最早翻译欧几里得几何原本的明朝著名科学,家徐光启（15621613）早在16世纪就不止一次地说过,“人口大抵三十年而加一倍.”“夫三十年为一世,一世之,中各有两男子”.徐光启是世界上最早阐述人口增长规律,的一位科学家.,在西方,英国神父马尔萨斯（Malthus,1766-1834）是,较早研究人口增长模型的人.他在18世纪出版的人口论,一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型.他的基本,假设是:在人口的自然增长过程中,净相对增长率（单位,时间内人口的净增长率与人口总数之比）是常数,记此常,为r（称为生命系数）.,在t到t+t这段时间内人口增长量为,于是,满足微分方程,(1),设,时,（即,时刻人口数为,）于是可解得,(2),如果,上式说明人口总数将按指数规律无限增长.如果,考虑1年或10年为单位的t值,可排为一个离散序列,那,么就可以说,人口数是以,为公比的等比级数增加的.,上述模型（1）符合实际情况吗？,如果用1700年至1961年这段时间内世界人口的统计数据,与公式算出的数字作比较,那么这个公式比较准确地反映,了这段时期人口总数的实际情况.1961年全世界人口约有,30.6亿,在过去10年间人口按每年2净相对速率增长,故,由公式（56）可得,(3),设经过T年,人口增加一倍,即,由此即可,求得,（年），实际上1700-1961年这段时间,地球上,人口大约35年增长一倍,可见公式（3）与实际是很吻合,的.徐光启的人口观与马尔萨斯模型的预测也十分相近.,此模型是否符合未来实际情况呢？由公式（3）可见,地,球上人口总数在2670年将是,人,这是一个天文数,字了,因此这个模型是不合理的,应修改.,1837年,荷兰生物学家Verhulst引入常数,称为环,境最大容纳量,用来表示自然资源和环境条件所能容许的,最大人口数,并假设净相对增长率为,即净增长,率随,的增加而减少,当,时，净增长率为零.,按这样的假定,人口增长的方程应改为,（4）,满足初始条件,的解为,（5）,可见,当,与,相比很大时,与,相比可以忽略,（4）就化为Malthu