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范例2.5小球在水中沉降的规律,小球的质量为m,受到水的浮力为B,受水的粘滞力为f=-kv,式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量,求小球在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。,取竖直向下的方向为正方向,根据牛顿第二定律可得小球的运动方程mg-B-kv=ma,,显然重力要大于浮力mgB。,当加速度为零时可得极限速率,当速率为零时可得最大加速度,由于a=dv/dt,可得微分方程,分离变量得,积分,解析如图所示,小球受到重力mg,方向向下;浮力B,方向向上;粘滞力kv,方向向上。,可得,速度为,范例2.5小球在水中沉降的规律,小球的质量为m,受到水的浮力为B,受水的粘滞力为f=-kv,式中k是与水的粘度和小球的半径有关的常量,求小球在水中竖直沉降过程中速度和深度随时间的变化规律。,当t时vvT,这就是极限速度。,m/k称为特征时间,用表示;0.6321vT是特征速度。,当t=m/k时,小球的速率为v=vT(1-e-1)=0.6321vT。,在t时,小球将以极限速度vT匀速下降。,利用关系v=dx/dt,可得,积分,即,速度为,当时间t足够长时,小球下沉的深度随时间线性增加x=vT(t-),,这是一条直线,也是深度曲线的渐近线。,速度随时间减速增加,趋于极限
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