高三数学辅导讲座函数二

三.函数的周期性,函数的周期性如果函数yf(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(xT)f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(kN)也是f(x)的周期.,例1已知函数f(x)，对任意实数x，有下面四个关系式成立：（1）f(x)=f(x+a)（a为非零常数）；（2）f(x)=f(ax)（a为非零常数）；（3）f(ax)=f(bx)（a,b为常数且a2+b20）,【例题讲解】,（4）f(ax)=f(bx)(a,b为常数且a2+b20）其中使f(x)是周期函数的关系式是_,【解】考查（1），f(x)=f(x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等：f(x)=f(x+a)=f(x+2a)等式（1）使f(x)是周期函数，且2a是周期；,考查（2），f(x)=f(ax)表明函数f(x)的图像关于直线对称，这不一定能使其为周期函数；考查（3），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值相等，即f(x)=f(ab+x)等式（3）使f(x)是周期函数，且ab是周期,考查（4），f(ax)=f(bx)表明自变数相差ab时，函数值互为相反数，于是相差2（ab）时，函数值相等故（4）同（1），能使f(x)为周期函数，且2（ab）是周期综上所述，应填（1），（3），（4）,例2f(x)是R上的以2为周期的周期函数，又是奇函数，且x(0，1)时，则f(x)在（1，2）上（A）是增函数，且f(x)0（B）是减函数，且f(x)0（C）是增函数，且f(x)0（D）是减函数，且f(x)0,【讲解】认识f(x)在（1，2）上的性质，可以把f(x)在（1，2）上的解析式求出来，或者由f(x)的性质去推断：,例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)mf(xm)f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm)f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：因为f(xm)f(xm)令xmt，则xmt2m于是f(t2m)f(t)对于tR恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:2m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.,例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(xm),求证:4m是f(x)的一个周期.,证明：由已知f(x2m)f(xm)m,于是f(x4m)f(x),所以f(x)是以4m为周期的周期函数.,例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求证:2|ab|是f(x)的一个周期.(ab),证明：不妨设ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b)f(a(xa2b)f(2bx)f(b(xb)f(b(xb)f(x)2(ab)是f(x)的一个周期当ab时同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期,例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004),解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x)f(x)是以6为周期的周期函数20046334f(2004)f(0)2004,例9f(x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f(x+2)f(x)，且x0，1时，f(x)x，则f(x)在R上的解析式为,【解】f(x+2)f(x)，f(x+4)f(x+2)f(x)，f(x)是周期函数，4是周期f(x)f(x)f(x+2)f(x)，f(x)的图像关于x1对称，由上述这些性质，及x0，1时，y=x，得知f(x)的图像如下：,其中斜率为1的线段过点（4m，0），其中斜率为1的线段过点（4m+2，0）,故解析式为,例10.已知对于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求证：f(x)是偶函数；若存在正整数m使得f(m)0，求满足f(xT)f(x)的一个T值(T0),证明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)为偶函数令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m=f(x2m)f(x)即T4m(周期函数),例11.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.,解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60S100a1a2a3a96a97a98a99a1000a97a98a99a100a1a2a3a4ab(ba)(a),例12.对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,试求满足f(a)a的所有整数a.,解：令xy0，得f(0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2,当x取任意正整数时，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即对任意大于1的正整数t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，进一步可得f(4)1,注意到f(x)f(x1)(x2)所以当x4时，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4时，f(x)x综上所述，满足f(a)a的整数只有a1或a2,(2),于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，记这个差为d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)df(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1)f(x1)f(x)d,即是说数列f(xn)是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)对所有的自然数n成立，而对于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x)xR所以f(x)是周期为1的周期函数.,例14设f(x)的定义域为R，其图像关于直线x2和x0对称，且x4，6时，f(x)2x+1，那么在区间2，0上，f1(x)的解析式为（A）ylog2(x4)（B）y4log2(x1)（C）y4+log2(x1)（D）ylog2(x1),【解】yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)，yf(x)的图像关于x2对称，f(x)f(4+x)于是有f(x)f(4+x)f(x)是周期为4的函数，当2x0时，0x2且x+44，6,yf(x)的图像关于x0对称，f(x)f(x)周期为4，f(x)f(x+4)2x+4+1即在2，0上，yf(x)2x+4+12x+4y1x+4log2(y1)x4log2(y1)2，0上，f(x)4log2(x1)应选（B）,1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6为周期的周期数列，于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60S100a1a2a3a96a97a98a99a1000a97a98a99a100a1a2a3a4ab(ba)(a)2ba,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因为f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)两式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x)f(x6)f(x),练习.1.数列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.,2.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)f(x1)f(x1),f(0)2004，求f(2004),3.函数f(x)是定义域为R且以2为周期的周期函数，当x0,2时，f(x)=|x-1|；当x2k,2k+2(kZ)时，求f(x)的解析式，并证明f(x)是偶函数。,例15已知，函数g(x)的图像与函数yf1(x+1)的图像关于直线yx对称，则g(5),【分析】很明显，g(x)是f1(x+1)的反函数只要求出f1(x+1)的反函数解析式，就得到g(x)，不难得到g(5)f1(x+1)的反函数不是f(x+1)，为什么？看了下面的解法，应当能回答出来,【解法2】yf(x)和f1(x)的图像关于xy对称，当f1(x)沿x轴负方向平移1个单位时，“镜子”yx另一侧的“像”f(x)沿y轴负方向平移1个单位，于是f1(x+1)和f(x)1互为反函数即g(x)f(x)1，下略,练习1已知函数，函数y=g(x)的图像与y=f-1(x+1)的图像关于直线y=x对称，则g(11)的值为：AB1CD,2已知定义在R上的函数f(x)的反函数为f-1(x)，且函数y=f(x+1)的反函数为y=f-1(x+1)。若f(1)=3999求f(2000),3.对于任意的,函数f(x)表示x2-4x+3中的较大者,则求函数f(x)的解析式及f(x)的最小值.(f(x)min=2),例16在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，an，共n个数据我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a是这样一个量：与其他近似值比较，a与各数据的差的平方和最小依此规定，从a1，a2，an推出的a=_,【讲解】用谁做为这个物理量的近似值效果最佳？依题意，这个最佳近似值a，应当使函数y(xa1)2+(xa2)2+(xan)2取最小值,【讲解】首先要统一变元，由于有正弦一次项，故cos2x要化为1sin2x，若再设tsinx，则y2t2+2mt+m24m+1，t1，1问题转化为求闭区间1，1上的一个二次函数的最值问题这类问题首先要讨论对称轴与闭区间的相对位置,（1）0m2时，,当0m2时，这时，m0，取得最大值时，kZ,（2）2m0时，,当2m0时，这时，m0，取得最大值时，kZ,（3）m2时，,当m2时，这时，函数在1，1上递减，m2+4m40,解之，,且，取最大值时，kZ,例18已知f(x)=x2+ax+b(a，bR)的定义域为1，1()记|f(x)|的最大值M，求证：；()求出()中的时，f(x)的表达式,【讲解】已知条件是x1，1且|f(x)|M像这样在一个区间上的所有各点都满足的性质，在各特殊点上依然成立即|f(1)|1+a+b|M|f(0)|b|M|f(1)|1a+b|M,接下来就要考虑由形如M|m|的三个不等式能否构造出常数？或者构造出4M2？这自然想到绝对值不等式的性质：|x1|+|x2|+