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第七章 常微分方程简介我们已经学完一元函数微积分的基本内容回顾微积分的产生和发展，就会发现它与人们求解微分方程的需要有密切关系20世纪以前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学，而现在它几乎渗透到自然科学和一些社会科学的各个领域，已成为人们研究科学技术，解决实际问题的不可缺少的有力工具本章我们主要介绍常微分方程的基本概念，一阶微分方程的初等解法，可降阶的高阶方程及常系数线性方程的求解方法，它是本课程的一个重要组成部分 7.1 基本概念1. 微分方程及其解的定义利用数学手段研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题，一般先要建立数学模型，再对数学模型进行简化和求解，最后结合实际问题对结果进行分析和讨论数学模型最常见的表达方式是包含自变量和未知函数的方程，在很多情况下未知函数的导数(或微分)也会在方程中出现，于是便自然地称这类方程为微分方程定义7.1.1 联系着自变量、未知函数及其某些导数的方程称为微分方程 只含一个自变量的方程称为常微分方程，自变量多于一个的称为偏微分方程微分方程中实际出现的导数的最高阶数称为微分方程的阶于是阶常微分方程的一般形式是 ， (1.1)其中是个变元的已知函数，且一定出现(注意，这里我们仅引用了多元函数的记号，它是一元函数记号在形式上的推广) 本章只介绍常微分方程，并简称为微分方程或方程定义7.1.2 如果方程(1.1)的左边函数对未知函数和它的各阶导数的全体而言是一次的，则称它为线性微分方程，否则称它为非线性微分方程阶线性微分方程的一般形式是：， (1.2)其中和都是的已知函数例如，下面的方程都是常微分方程： ， (1.3) ， (1.4) (是常数)， (1.5)它们的阶数分别为1，1，2方程(1.5)是线性的，而方程(1.3)和(1.4)是非线性的定义7.1.3 设函数在区间上连续，且有直到阶的导数，若把及其相应的各阶导数代入方程(1.1)，得到关于的恒等式，即在上 ，则称为方程(1.1)在区间上的解，若由关系式所确定的隐函数是方程(1.1)的解，则称为方程(1.1)的隐式解例如，从定义7.1.3可以直接验证：1) 函数和都是方程(1.3)在区间上的解，而是它的隐式解2) 函数是方程(1.4)在区间上的一个解，而是方程(1.4)在区间上的解，其中为任意常数3) 函数，都是方程(1.5)在区间上的解，而且对任意常数和，也是方程(1.5)在区间上的解今后对解与隐式解不加区别，统称它们为解一般情况下也不再指明解的定义区间从上面的讨论可知，微分方程的解可以包含一个或几个任意常数(与方程的阶数有关)，而有的解不含任意常数为了加以区别，我们给出如下定义：定义7.1.4 方程(1.1)的含有个独立的任意常数的解称为它的通解不含任意常数的解称为它的特解这里说个任意常数是独立的，其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少例如对于两个任意常数的情形，设函数在区间上连续，若在上常数或常数，则称函数在上线性无关，这时易知表达式 中的两个任意常数是独立的例1 验证函数是方程(1.5)的通解，其中为任意常数解 ， ，将的表达式代入方程(1.5)有 ， ，所以对任意常数，都是方程(1.5)的解，又由于 常数 (，Z)即是两个独立的任意常数，因此是方程(1.5)的通解类似验证 (A,B为任意常数)也是方程(1.5)的通解而和则是方程(1.5)的两个特解定义7.1.5 为了确定方程(1.1)的特解而给出的附加条件称为定解条件，求方程(1.1)的满足定解条件的特解的问题称为定解问题方程(1.1)的一种常用的定解条件是初始条件，它的一般提法是 ， ， (1.6)其中， ，是任给的个常数求方程(1.1)满足初始条件(1.6)的解的问题称为初值问题或柯西(Cauchy)问题例如是初值问题 的解，而是初值问题 的解它们都是在求得方程的通解以后，再利用初始条件定出通解中的任意常数而得出这种做法是具有一般性的可以证明：对于在一定范围内给出的个常数：， ，利用通解表达式及初始条件(1.6)便可确定通解中的个任意常数，从而得到相应的初值问题的解换句话说，在一定范围内，通解包含了方程的所有解，这也是通解这一名词的一种名副其实的解释2. 微分方程及其解的几何解释考虑一阶微方程 (1.7)其中是平面区域D内给定的连续函数方程(1.7)的解在平面上的图形是一条光滑曲线，称它为方程(1.7)的一条积分曲线，记作任取一点，即，由于满足方程(1.7)，故按导数的几何意义可知，曲线在点的切线斜率为 这说明曲线上任一点处的切线斜率恰好等于方程右边函数在该点的函数值这样，在区域D内每一点，都可以作一个以函数在该点的值为斜率的小线段来表明积分曲线(如果存在的话)在该点的切线方向区域D连同所有这些小线段称为方程(1.7)的方向场现在我们可以对微分方程(1.7)及其解作出几何解释：给定方程(1.7)，就相当于给定平面区域D内的一个方向场，反之给定区域D内的一个方向场，就相当于给定一个形如(1.7)的方程方程(1.7)的解所对应的积分曲线就是区域D内这样的一条曲线，在它所经过的每一点都与方向场吻合，即曲线上每一点的切线方向都与方向场在该点的方向一致求解初值问题 ，就是求一条经过点并与方向场吻合的光滑曲线以上这种几何解释，无论在理论上还是在实用上都有很大的价值从理论上说，它把作为解析对象的微分方程及其解与作为几何对象的方向场及积分曲线沟通起来，从而在微分方程这门学科建立了数与形的联系，这就为我们从几何的角度去分析和思考微分方程的理论问题找到了入口从实用上说，我们可以通过作出方向场来画出积分曲线的大概图形这在无法(或无必要)求出解的精确表达式时，使我们能从微分方程本身的特有性质去推断出它的解的某些属性，从而使所讨论的问题在一定程度上获得解决例2 证明：与微分方程 (1.8)的积分曲线关于坐标原点(0, 0)成中心对称的曲线，也是方程(1.8)的积分曲线证 设是方程(1.8)的一条积分曲线，以代，代，得关于原点成中心对称的曲线，即 由于满足方程(1.8)，故有 ，上式中以代，得，或将它改写为，可见亦满足方程(1.8)所以它也是方程(1.8)的一条积分曲线 7.2 一阶微分方程的初等解法本节讲述一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题，因此也称初等积分法虽然能用初等积分法求解的方程属特殊类型，但它们却经常出现在实际应用中,同时掌握这些方法与技巧，也为今后研究新问题时提供参考和借鉴1. 变量分离方程形如 (2.1)的方程称为变量分离方程，其中和都是连续函数当时，把(2.1)改写为 (称为分离变量)，两边积分，得通解(隐式通解) (2.2) 这里我们把积分常数明确写出来，而把，分别理解为和的一个确定的原函数在微分方程课程中，我们总是作这样的理解若存在，使，则直接验证可知也是方程(2.1)的解(称为常数解)一般而论，这种解会在分离变量时丢失，且可能不含于通解(2.2)中，应注意补上这些可能丢失的解例1 求方程 (2.3)的通解，其中为连续函数解 分离变量 ，两边积分得 或 令，则 此外是方程的常数解若允许，则此解也含于上式中所以方程(2.3)的通解为 (2.4)其中为任意常数例2 解方程 解 分离变量 ，两边积分得方程的通解 ，或此外由找到原方程的两个特解 ，但它们不能并入通解2. 可化为变量分离方程的特殊类型1) 形如 (2.7)的方程称为齐次方程，其中是连续函数通过变量代换，可将(2.7)化为变量分离方程，然后按变量分离方程求解令，或，则 ，代入(2.7)得 ，或 这是一个变量分离方程例3 解方程 解 令，代入方程得 ，或 (2.8)分离变量并积分，得(2.8)的通解 此外也是(2.8)的解代回原变量得原方程的通解 及特解 例4 解方程 解 令,或，则代入方程得，即分离变量并积分，有 从而推出 ，或 ，代回原变量得，其中为任意常数2) 形如 (2.9)的方程可化为齐次方程或变量分离方程，其中是连续函数，都是常数，且，分两种情形讨论：1) 若，则，因为如果，由于，推出与假设不同时为零相矛盾，从而有 (常数)令，得，这是变量分离方程若，则，由，推出从而令，得亦化为变量分离方程2) 这时方程组 有唯一解 ，作平移代换 ，代入方程(2.9)，得，这是齐次方程例5 解方程 解 令，则，即 分离变量并积分，得，或代回原变量得通解例6 解方程解 联立 解得 ，令，得齐次方程又令，得 或 (2.10)分离变量由此积分得 从而推出 或此外由找到(2.10)的两个特解，其中可并入上式(取)代回原变量得原方程的通解 ，其中为任意常数而由代回原变量找到原方程的一个特解 3. 一阶线性方程一阶线性方程的一般形式为， (2.11)其中、为连续函数当时，(2.11)成为 (2.3)称它为齐次线性方程，当时，(2.11)称为非齐次线性方程例1已求出方程(2.3)的通解 (2.4)现在对方程(2.11)作变换 ， (2.12)代入(2.11)化简得 ，由此积分，有 ，将它代回到(2.12)即得方程(2.11)的通解 (2.13)上述求解方法通常称为常数变易法把(2.4)中变易为的函数，公式(2.13)也称为方程(2.11)的常数变易公式具体求解可按上述常数变易法的过程进行，也可直接代公式(2.13)例7 解方程 解 将方程改写为 这是以为未知量的一阶线性方程通解为 此外，是原方程的一个特解4. 可化为一阶线性方程的特殊类型1) 贝努里(Bernoulli)方程 形如 (2.14)的方程称为贝努里方程，其中为连续函数，为常数方程两边同乘以，得 ，或这里以为未知量的一阶线性方程此外，当时，也是方程(2.14)的解例8 解方程 解 方程两边同乘以，得 ，或 所以 方程的通解为 此外，是方程的一个特解2) 形如的方程可化为线性方程或贝努里方程，其中是连续函数，是可微函数，为常数例9 解方程 解 原方程即 ，上式两边同乘以，得，或所以方程的通解为 此外，即Z)也都是方程的解上述几种特殊的方程类型，产生于微分方程发展的早期从中我们可以体会到求解微分方程的一种方法：对于所给微分方程，总是设法通过变形或适当的变量代换将它转化为变量分离方程或一阶线性方程(当作两种基本类型)来求解，以此扩充可求解方程的范围这种方法通常也称为分离变量法或变量代换法例10 求解下列微分方程：(1) ； (2) ；(3) ； (4) 解 (1) 将方程改写为 上式两边同乘以，得，或所以 方程的通解为此外，是方程的一个特解(2) 原方程即 上式两边同乘以，得 ，或 所以 方程的通解为 此外，是方程的一个特解(3) 令，将方程化为分离变量并积分，得 代回原变量得方程的通解此外方程有常数解 Z) (4) 原方程可改写为 易知是它的一个特解令，得 分离变量并积分，得 ，或 所以原方程的通解为 此外方程有特解5. 恰当方程一阶微分方程也常以微分形式出现，即写成 (2.15)如果存在二元可微函数，使得 ，则称方程(2.15)为恰当方程这时(2.15)成为从而 就是它的通解这里需要用到二元函数微分学的知识，但我们可以利用一元可微函数关于微分形式不变性来理解它例如在微分方程 中，视为函数，它的左边恰好写成，所以求得通解为 例11 求下列微分方程的通解：(1) ；(2) ；(3) 解 (1) 分项组合，得 ，或所以方程的通解为 (2) 分项组合，得，或 所以通解为 (3) 分项组合，得 ，或所以通解为 如果方程(2.15)不是恰当的，我们还可以通过对方程本身变形，结合运用微分运算的法则和技巧，有时还辅以适当的变量代换，将它转化为恰当方程来求解为此需要掌握一些常见的微分表达式，如 ， ， ， ， 等例12 求解下列微分方程：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解 (1) 原方程即 上式两边同乘以，得，或所以通解为(2) 分项组合 ，或 以乘上式，得 ，由此积分，得 (3) 以乘方程，得 ，或应用极坐标 ，上式变为，化简得由此积分，得 ，代回原变量，得方程的通解，或，其中为任意常数(4) 分项组合 ，运用微分运算法则，得 ，或令 ，上式变为，或 移项合并，分离变量并积分，得 通解为历史上，有人曾专门按导数形式去求解一阶微分方程，也有人曾试图按微分形式统一处理但经验表明：单纯采用一种形式总有其不便与困难求解中我们应特别注意这两种形式的互相转化，灵活运用各种求解方法例13 求解下列微分方程(1) ；(2) 解 (1) 改写成微分形式 分项组合 从而有 所以通解为 (2) 将方程改写为或所以 7. 3 一阶微分方程的应用应用微分方程解决实际问题的步骤是：(1) 分析问题，建立相应的微分方程，并提出定解条件；(2) 求定解问题；(3) 利用所得结果解释实际问题对于步骤 (1) 所涉及到的基本方法有按规律列方程，微元分析法及模拟近似法，下面我们通过举例分别阐述它们的具体运用1. 按规律列方程在数学、力学、物理、化学等学科中已有许多经过实践或实验检验的规律或定律，如牛顿冷却定理、牛顿运动定律、物质放射性的规律、电路问题中的基尔霍夫(Kirchhoff) 第二定律、曲线的切线性质等，它们都涉及到某些函数的变化率，由此所列出的关系式自然就是包含自变量、未知函数及其某些导数的微分方程式例1 冷却问题把一个加热到50的物体，放到20的恒温环境中冷却，求物体的变化规律解 根据牛顿冷却定律：温度为的物体，在温度为的周围环境中冷却的速率与温差成正比在冷却过程中，设物体在时刻的温度为，物体冷却的速率就是其温度对时间的变化率于是由冷却定律可得 ， (3.1)这里为比例常数，上式右边出现负号，是因为随时间的增加，温度在减少，即当时，此外，应满足初始条件 (3.2)解初值问题(3.1)+(3.2)，得所求温度的变化规律图71可见，物体的冷却是按指数规律变化的(图71)当增加时，温度开始时下降较快，以后逐渐变慢而趋于环境温度例2 物体在空气中的下落假设质量为的物体在空气中下落，初速度为零空气阻力与下落速度的平方成正比，阻尼系数为，求下落速度的变化规律解 不妨设重力(为重力加速度)的方向为正，则空气阻力为，由牛顿第二定律，可得 (3.3)此外应满足初始条件将方程(3.3)分离变量 ，或 两边积分，得 化简得 ，其中为常数，由条件可定出把代回到上式，并从中解出，得所求变化规律例3 RL电路设有电路如图72所示，其中、都是常数原来电路中没有电流，当把开关拨到1处后，电路中的电流逐渐增加，设时又将开关倒向2，则电路中电流又逐渐减少，试求电路中的电流I随时间的变化规律解 (1) 拨到1处时，电阻，电感与电源串联成一闭合回路，各元件上电压降分别为，由基尔霍夫第二定律，得图72 ， 或 (3.3)此外应满足初始条件 (3.4)解初值问题(3.3)+(3.4)，得(2) 倒向2处后，回路只由电阻与电感串联而成，故有 (3.5)且满足初始条件 (3.6)解初值问题(3.5)+(3.6)，得所以的表达式为例4 几何问题求一曲线，使其上任一点的切线与轴的交点到切点的距离等于该交点到坐标原点的距离解 设所求曲线的方程为，其上任一点处的切线方程为图73，其中是切线上的动点(图73)上式中令，得切线的横截距为依题意，得，或 (3.7)此即所求曲线应满足的微分方程将(3.7)改写为对称式，分项组合 以乘上式将它写成所以或 这是中心在轴上且与轴相切于原点的圆族2. 微元分析法用微积分的微元法来建立微分方程式实际上是寻求一些微元之间的关系式在建立这些关系式时也要用到某已知规律或定律，与前述方法不同之处在于这里是对这些微元来应用规律或定律的例5 溶液的混合问题一容器内盛有100升盐水，其中含盐10千克，今用每分钟2升的速率将净水注入容器，并不断进行搅拌，使混合液迅速达到均匀，同时混合液以同样速率流出容器，问在任一时刻容器内含盐量是多少？解 设在时刻，容器内含盐量为经过时间后，流出容器的溶液量为，从而流出的盐量近似为，其中为混合液在时刻的浓度，而流入容器的盐量为0于是得含盐量的微元 ，即 (3.8) 此外满足初始条件 (3.9)解初值问题(3.8)+(3.9)，得 例6 流体流动问题有一盛满了水的圆锥形漏斗，高为10，顶角为60，漏斗下面有面积为0.5的孔，求水从小孔流出过程中漏斗中水面高度随时间变化的规律解 建立坐标系如图74所示设在时刻，水面高度为，经过时间，水面高度为则在时间间隔内，相应于漏斗中的水层，其体积近似于以为半径，高为的圆柱体体积，故这水层的体积微元为 而在这段时间内从小孔流出的水近似为 ，这里表示水面高度为时从小孔中流出的水沿 图74轴反向的速度，根据水力学中有关定律其中0.62为流量系数，为重力加速度于是有 ，或 (3.10)此外应满足初始条件 (3.11)解初值问题(3.10)+ (3.11)，得所求的变化规律 3. 模拟近似法在生物、医学、经济等学科的实际问题中，所反映的现象往往是很复杂的为了研究它们，需要在不同的假设下去模拟实际现象这个过程当然是近似的，所建立的数学模型，例如微分方程模型，也是作了各种近似和简化因此，模型的结果是否具有实际意义或满足实际要求，只有通过实践去检验例7 单种群模型与人口问题动植物种群本身是离散变量，但由于突然增加或减少的只是单一个体或少数几个个体，与全体数量相比，这种增量是很微小的，所以我们可以近似地假设大规模种群随时间是连续地甚至可微地在变化，进而可以应用微分方程这一数学工具来研究英国人马尔萨斯(Malthus)认为人口增长率(出生率与死亡率之差)为常数，即单位时间内人口增量与人口总量成正比设在时间，人口总数为，则有马尔萨斯人口模型 这个初值问题的解为，它表明人口按指数曲线增长，这一理论已被实践证明是错误的 1837年，荷兰生物数学专家弗胡斯特(Verhulst)考虑了有影响增长率的竞争项的模拟，得出容易理解的下述单种群数学模型其中正常数和称为生命系数解此初值问题，得 (3.12)一些生态学家测得的自然值为0.029，而的值取决于各国的社会经济条件据文献记载，美国和法国曾用公式(3.12)预报过人口的变化，结果相当符合实际根据安徽省统计局统计的数字，芜湖市人口总数在1992年底为206.12万人，假设当时的人口增长率为0.832，则，在公式(3.12)中取，对芜湖市人口作出估算，将其中一部分结果与省统计局最近几年公布的芜湖市人口总数列表对照如下年(底)1992199519961998202020502100估算人口(万)206.12211.30212.81216.01245.24268.96284.00省局统计人口(万)206.12211.27212.59215.10从表中看出，上述估算有一定的可信度按照这个估计，芜湖市人口总数到2020年底将达到245万，到2050年将接近269万而最终趋势为 (万)7.4 可降阶的高阶微分方程二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程求解高阶方程的一种常用的方法就是设法降低方程的阶数如果能把它降低为一阶方程，我们就有可能运用7.2所讲的方法本节介绍几种可降阶的方程类型1. 不显含未知函数y的方程 (4.1)令，得关于的阶方程 ，从而使方程(4.1)降低了阶例1 解方程 解 令，得所以 ，即对积分4次，即得方程的通解 2. 不显含自变量x的二阶方程 (4.2)令 ，并以为新方程的自变量，为新未知函数，则 将，代入方程(4.2)，即化为未知函数的一阶方程例2 解方程 (4.3)解 令，则，代入方程得 ，或 (注意仍是方程的解) 解得 ，即 分离变量并积分得 注意，方程(4.3)可改写为 ，这时我们也说(4.3)是恰当方程进而有 ，对积分两次得 ，即 如果一个高阶方程不是恰当的，我们也可以通过变形，看能否将它化为恰当方程来求解例3 解方程 解 以乘方程，得 ，或，进而有对积分两次得此外也是方程的解如果把通解表示为，其中，为任意常数，则特解也并入其中例4 一条长度为的均匀链条放置在一水平而无摩擦的桌面上，使链条在桌边悬挂下来的长为，问链条全部滑离桌面需要多长时间？解 如图75所示，设在时刻，链条在桌边悬挂下来的长，以表示链条密度(即单位长的质量)，按牛顿第二定律，可得 (为重力加速度)图75或 令，代入上式得 (4.4)由假设知 (4.5)解初值问题(4.4)+(4.5)，得 ，即 (4.6)并且 (4.7)从(4.6) ，(4.7) 解得 所求时间为 7.5 高阶常系数线性方程虽然我们已会求解一阶或高阶的几类特殊类型的方程但是我们应该知道，即使是一阶方程，例如形式上很简单的黎卡提 (Riccati)方程，我们也不可能用初等积分法求解，这是法国数学家刘维尔(Liouville)于1838年所证明的事实对于高阶方程，求解的难度会更大，就是高阶线性方程，尽管已从理论上完全掌握其解的结构和性质但具体求解却无一定规律可循也就是说，除了一些特殊情形外，是很难求解的本节我们以二阶为例讨论高阶常系数线性方程，它的求解问题将获得彻底解决1. 二阶常系数齐次线性方程一般形式为 (5.1)其中，为实数明显看出是方程(5.1)的解，(称为零解或平凡解)根据方程(5.1)的特点及指数函数的特性，我们试求(5.1)如下形式的特解 其中是待定的(实或复)常数将 代入(5.1)，可得 因为，所以 (5.2)这样，对于二次代数方程(5.2)的每一个根，就是方程(5.1)的一个解(5.2)称为方程(5.1)的特征方程，它的根称为(5.1)的特征根按照特征根的不同性质，我们分三种情形讨论1) 两个相异实根和这时和是(5.1)的两个特解由于 常数所以它们是线性无关的，从而 (5.3)就是(5.1)的通解，其中，为任意常数2) 两个相等的实根这时我们只能得到(5.1)的一个特解，为求与其线性无关的另一个特解，应要求 ，这里为待定函数(不是常数)将代入(5.1)，整理得 (5.4)由于是(5.1)的解，有，且所以(5.4)变为 由此经两次积分，得 特别取，有于是得所以方程(5.1)的通解为 ， (5.5)其中3) 一对共轭复根，这时 ， 是方程(5.1)的两个特解直接验证可知，对任意(实或复)常数，是(5.1)的解(称为解的叠合性)，于是与是(5.1)的两个特解，且常数，所以它们还是线性无关的从而得(5.1)的通解 (5.6)例1 求解下列微分方程：(1) ；(2) ；(3) 解 (1) 特征方程 有两个相异实根，方程的通解为 (2) 特征方程有两个相等实根方程的通解为 (3) 特征方程 有一对共轭复根方程的通解为上述结果可直接推广到阶常系数齐次线性方程的情形例如方程 的特征根有两个实根，及一对共轭复根，所以通解为2. 二阶常系数非齐次线性方程一般形式为 (5.7)其中，为实数，为连续函数设，是与(5.7)对应的齐次线性方程(5.1)的两个线性无关解，是(5.7)的一个特解，则容易证明(5.7)的通解可表示为 (5.8) 其中 ，为任意常数(证明留作练习)当已知方程(5.1)的两个线性无关解和时，可用常数变易法求出(5.7)的特解，进而可得出通解(从略)但当具有某些特殊形式时，我们可以凭经验推知相应的特解所具有的形式，然后根据这种预测的形式，应用待定系数法就可确定这样的特解1) 这里表示的次多项式，是(实或复)常数当不是(5.1)的特征根时，可设特解 ；当是(5.1)的重特征根时，则特解应设为 ，其中也是的次多项式，系数待定2) 这里，分别是的次和次的实系数多项式，都是实数当不是(5.1)的特征根时，可设 ；当是(5.1)的重特征根时，则特解应设为 ，其中，而次多项式和的系数待定所述结果也可以直接推广到阶常系数非齐次线性方程的情形例2 求方程 (5.9)的通解解 对应齐次线性方程的特征方程有两个单根，两个线性无关的特解为，由于不是特征根，故可设特解为将它代入方程(5.9)，得 由此定出，所以方程(5.9)的通解为例3 求方程 (5.10)解 由于是特征根，故应设特解为将它代入方程(5.10)定出所以方程的通解为 例4 求方程 的通解解 由例1(2)知对应齐次线性方程的