1.2.1任意角的三角函数

1.2.1任意角的三角函数,新课过程,问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦,余弦,正切)的定义吗?,P(，),的终边,r,锐角三角函数定义,问题2:在终边上移动点P的位置,这三个比值为改变吗?,M,P(，),的终边,r=1,锐角三角函数定义,r=1,在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆,锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示,推广:,我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切),任意角的三角函数定义:,y,x,O,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)则:,y叫的正弦,x叫的余弦,叫的正切,如何求角的三角函数值?,求角的三角函数值即可求终边与单位圆交于点的横纵坐标,或坐标的比值.,(1)任意角的三角函数定义三角函数(正弦,余弦,正切)都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.(由于角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)所以三角函数可以记为:,定义域为R,定义域为R,定义域为,根据三角函数的定义能否确定正弦,余弦,正切的值在四个象限内的符号?,问题2:,（）,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,例题1,求的正弦,余弦,正切的值,y,x,O,问题3,根据上述方法否能求得特殊角三角函数值?,1,特殊角的三角函数值,1,1,1,例题2:,已知的终边经过点求角的正弦,余弦,正切的值,P(，),的终边,r,事实上:三角函数也可定义为:,设是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则,(),例题2:,已知的终边经过点求角的正弦,余弦,正切的值,P0(-3,-4),例题3,求证:当且仅当下列不等式组成立时,角为第三象限角.,反思三角函数的定义,直角三角中的锐角三角函数象限角中的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的锐角三角函数单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数任意角终边上任一点坐标定义三角函数,问题4:,根据三角函数的定义:终边相同的角的同一三角函数值是否相等?,终边相同,终边相同的角的集合,点的坐标相同,同一函数值相同,公式一,例题4,求下列三角函数的值:,小结,3.公式一(诱导公式),应用,（1）判断符号,（2）求值,（）,+,+,-,-,+,+,-,-,+,+,-,-,小结,(2)三角函数在象限内的符号,作业:,习题1.2A组3,5,7,9,1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数,第二课时,知识迁移,1.设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），角的三角函数是怎样定义的？,2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？,一全正，二正弦，三正切，四余弦.,3.公式，().其数学意义如何？,终边相同的角的同名三角函数值相等.,知识探究（一）：,思考2：若角为第三象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），则，都是负数，此时角的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？,思考3：为了简化上述表示，我们设想将线段的两个端点规定一个为始点，另一个为终点，使得线段具有方向性，带有正负值符号.,定义：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段.,类似的,规定了正方向的直线称为有向直线.,有向线段的数量：若有向线段AB在有向直线或与有向直线平行，根据有向线段AB与有向直线方向相同和相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫做有向线段的数量。,AB=4,BA=4,CB=2,思考4：由上分析可知，当角为第一、三象限角时，sin、cos可分别用有向线段MP、OM表示，即MP=sin，OM=cos，那么当角为第二、四象限角时，你能检验这个表示正确吗？,思考5：当角的终边在坐标轴上时，角的正弦线和余弦线的含义如何？,定义：设角的终边与单位圆的交点为P，过点P作x轴的垂线，垂足为M，称有向线段MP，OM分别为角的正弦线和余弦线.,思考6：设为锐角，你能根据正弦线和余弦线说明sincos1吗？那呢？,MPOMOP=1,知识探究（二）：,思考5：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？,过点A（1，0）作单位圆的切线，与角的终边或其反向延长线相交于点T，则AT=tan.,思考6：当角的终边在坐标轴上时，角的正切线的几何含义如何？,当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点；当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在.,应用举例,例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：,（1）；（2）；,例2在0内，求使成立的的取值范围.,探索题：对于不等式（其中为锐角），你能用数形结合思想证明吗？,小结说明,1.三角函数线是三角函数的一种几何表示，即用有向线段表示三角函数值，是今后进一步研究三角函数图象的有效工具.,2.正弦线的始点随角的终边位置的变化而