信号分析(华中科技大学)第四章：拉普拉斯变换、连续时间系统的s域分析

本章要点,F,F,F,第三章连续时间信号的正交分解,第四章拉普拉斯变换,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的收敛区,拉普拉斯反变换,F,常用函数的拉普拉斯变换,F,拉普拉斯变换的性质,线性系统的拉普拉斯变换分析法,F,1,傅里叶变换在分析信号的频谱等方面是十分有效的，但在系统分析方面有不足之处：对时间函数限制严，是充分条件。不少函数不能直接按定义求如增长的指数函数eat,a0，傅里叶变换就不存在。不能解决零输入响应问题，只能解决零状态响应。求傅里叶反变换也比较麻烦。,拉普拉斯变换,2,利用拉普拉斯变换进行系统分析有几个优点，其中包括：可以只用代数运算就可以求解线性非时变系统的微分方程。可以同时求得系统的全响应，即强迫响应和自由响应；或零输入响应和零状态响应。可以建立网络的S域模型，对动态网络进行拉普拉斯变换分析。,拉普拉斯变换,3,拉普拉斯变换,从傅里叶变换到拉普拉斯变换用e-tf(t)来保证傅里叶积分收敛,令s=+j称为复频率,称为复傅里叶变换或双边拉普拉斯变换。也称为象函数。,称为拉普拉斯反变换，也称原函数。,4,单边拉普拉斯变换,对于有始信号，,称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。,称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f(t)F(s),记F(s)=Lf(t),记f(t)=L-1F(s),拉普拉斯变换,5,拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系,傅里叶变换和拉普拉斯变换是双边拉普拉斯变换的特殊情况;双边或单边拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广。,拉普拉斯变换,6,7,单边拉普拉斯变换的收敛域,若存在两个常数1和2，使得,双边拉普拉斯变换的收敛域,Res1,Res2,故收敛域为1Res2,收敛域,收敛域,拉普拉斯变换的收敛区,Res1,若存在常数1，使,故收敛域为Res=1,例1,求f(t)=e-at(t)的拉普拉斯变换及其收敛域，其中：a0,解：,为保证收敛，有a+0，故收敛域为a,收敛域,拉普拉斯变换的收敛区,8,例2,求f(t)=-e-at(-t)的拉普拉斯变换及其收敛域，其中：a0,解：,为保证收敛，有a+0，故收敛域为-a,收敛域,拉普拉斯变换的收敛区,9,求双边信号f(t)=-et(-t)+e-2t(t)的拉普拉斯变换及其收敛域。,解：,第一项的收敛域1，,第二项的收敛域2，,为保证收敛，取公共收敛域，其收敛域为21。,收敛域,例3,拉普拉斯变换的收敛区,10,说明,f(t)的拉普拉斯变换仅在收敛域内存在，故求F(s)时应指明其收敛域。在实际存在的右边信号，只要取得足够大，总是满足绝对可积条件的。故单边拉普拉斯变换一定存在。所以，单边拉普拉斯变换一般不说明收敛域。两个函数的拉普拉斯变换可能一样，但时间函数(原函数)相差很大。这主要区别在于收敛域。见例和例。如果拉普拉斯变换的收敛域不包括j轴，那么傅里叶变换也不收敛。f(t)的拉普拉斯变换存在多个收敛域时，取其公共部分（重叠部分）为其收敛域。,拉普拉斯变换的收敛区,11,三个基本函数的拉普拉斯变换,指数函数f(t)=es0t(t)s0为复常数。,即,令s0=实数，则,令s0=j虚数，则,常用函数的拉普拉斯变换,12,单位阶跃函数(t)令上例中s0=0。则,单位冲激函数(t),已知,三个基本函数的拉普拉斯变换,常用函数的拉普拉斯变换,13,14,线性,微分,积分,时移,频移,拉普拉斯变换的性质,复频域微分/积分,15,尺度变换,终值定理,卷积定理,初值定理,拉普拉斯变换的性质,例1余弦函数f(t)=cost(t),应用线性性质:,例2正弦函数f(t)=sint(t),应用线性性质:,例3单位斜坡函数f(t)=t(t)，因为：,应用频域微分性质,拉普拉斯变换的性质,16,例4指数余弦函数f(t)=etcost(t),应用频移性质:,例5门函数（矩形波）f(t)=A(t)-(t-T),拉普拉斯变换的性质,应用时移性质:,17,例6任意周期函数,若f1(t)F1(s),应用时移性质:,设f1(t)为周期函数的第一周期，则周期函数可表示为：,拉普拉斯变换的性质,18,例7周期矩形波f1(t)=(t)-(t-1)，T=3,例8冲激串f1(t)=(t),拉普拉斯变换的性质,因为,19,20,例9锯齿波,方法一：用频域微分性质：,方法二：用时域微分性质：,拉普拉斯变换的性质,例10,方法二：,方法一：因为用频域微分性质,应用频移性质,应用时移性质：,应用频域微分性质：,拉普拉斯变换的性质,21,初值定理和终值定理的应用,初值定理的应用条件：F(s)必须是真分式，若不是真分式，则应用长除法将F(s)化成一个整式与一个真分式F0(s)之和。函数f(t)初值f(0+)应等于f0(0+)的初值。终值定理的应用条件：F(s)的极点必须位于S平面的左半平面；F(s)在s=0处若有极点，也只能有一阶极点。,由于在S平面的j轴上有一对共轭极点，故f(t)不存在终值。,例11求下列各象函数反变换的初值与终值。,22,拉普拉斯变换的性质,例12求下列各象函数反变换的初值与终值。,拉普拉斯变换的性质,23,课堂练习题,求下列函数的拉普拉斯变换。,(1),(2),方法一：,方法二：,方法一：,拉普拉斯变换的性质,(2),(3),(4),(1),24,(3),(4),课堂练习题,拉普拉斯变换的性质,方法二：,(2),25,F,F,F,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的收敛区,拉普拉斯反变换,F,常用函数的拉普拉斯变换,F,拉普拉斯变换的性质,线性系统的拉普拉斯变换分析法,F,1.部分分式展开法,用部分分式展开法求拉普拉斯反变换，一般为有理函数。单极点：D(s)=0的根也称为F(s)的极点。,F(s)可展开成,为n个不相等的单根。,拉普拉斯反变换,27,例1,已知，求f(t)。,解：,拉普拉斯反变换,部分分式展开法,28,29,部分分式展开法,多重极点：若D(s)=(sp1)n,令n=3,F(s)可展开成,拉普拉斯反变换,29,已知，求f(t)。,解：,拉普拉斯反变换,部分分式展开法,例2,30,31,复数极点：若D(s)=(s-j)(s+j),其根为p1,2=j,F(s)可展开成,由于F(s)是S的实系数有理函数，应有,拉普拉斯反变换,部分分式展开法,31,复数极点：若D(s)=(s-j)(s+j),其根为p1,2=j,F(s)可展开成,拉普拉斯反变换,部分分式展开法,32,例3,已知，求f(t)。,解：解得,部分分式展开法,拉普拉斯反变换,33,若sk为单极点，则留数为：,若sk为p重极点，则留数为：,t0封闭积分路线,留数法,拉普拉斯反变换,34,F(s)为无理函数时积分用留数法，大多数情况部分分式展开法可以解决,解：留数法F(s)的一阶极点p1=-2，二阶极点p2=-1。,故Res(p1)=,Res(p2),故有,拉普拉斯反变换,留数法,已知，求拉氏反变换f(t)。,例4,35,拉普拉斯变换的性质,拉普拉斯反变换,应用拉氏变换的性质求反变换,36,解：,应用时域微分性质：,例5已知，求拉氏反变换f(t)。,拉普拉斯反变换,应用拉氏变换的性质求反变换,37,已知，求拉氏反变换f(t)。,解：令已知,根据频移特性：,根据周期函数的拉普拉斯变换：,例6,拉普拉斯反变换,应用拉氏变换的性质求反变换,38,F,F,F,拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的收敛区,拉普拉斯反变换,F,常用函数的拉普拉斯变换,F,拉普拉斯变换的性质,线性系统的拉普拉斯变换分析法,F,39,用拉氏变换求解线性常系数微分方程，主要用到拉氏变换的微分性质：,对于一阶导数：,对于二阶导数：,对于三阶导数：,线性系统的拉普拉斯变换分析法,40,例7：系统方程为，其中,，求系统的响应。,解：,对微分方程进行拉氏变换为：,线性系统的拉普拉斯变换分析法,41,线性系统的拉普拉斯变换分析法,42,可以分别求出零输入响应和零状态响应,零状态响应,零输入响应,线性系统的拉普拉斯变换分析法,零状态响应：由0-状态响应值为为0，系统由激励产生的响应。零输入响应：系统激励为零，由系统0-状态值产生的响应。,系统激励,43,拉氏变换求微分方程的基本思想,时域激励f(t),时间响应y(t),拉氏变换激励F(s),拉氏变换响应Y(s),拉氏变换,拉氏反变换,存在的问题高阶电路的微分方程不易列出；电路中不可能只有一个电源，电路中存在多个电源怎么办？与以前所学知识无法联系，不能统一起来。,线性系统的拉普拉斯变换分析法,44,电路元件的S域模型,电阻元件,时域模型,复频域模型,线性系统的拉普拉斯变换分析法,45,电感元件,电路元件的S域模型,线性系统的拉普拉斯变换分析法,46,电容元件,电路元件的S域模型,线性系统的拉普拉斯变换分析法,47,RLC串联电路的S域模型,设初始值为,零状态响应,零输入响应,S域网络的电源分为激励源和初始电源。初始电源单独作用产生零输入响应；激励源单独作用产生零状态响应。,线性系统的拉普拉斯变换分析法,48,49,由于引入拉氏变换，和复频域阻抗Z(s),正弦稳态分析中的所用的分析方法和定理，完全适用于复频域分析。由于初始条件化为信号源，由初始值引起的响应即零输入响应，由等效信号源（等效激励源）单独作用引起的零状态响应。,线性系统的拉普拉斯变换分析法,用拉氏变换分析动态电路的步骤:,将网络中电源的时间函数进行拉氏变换；常用的拉氏变换有：常数AA/s,e-at(t)1/(s+a)画出域电路图（特别注意初值电源）；电感、电容分别用其S域模型代替；检查初值电源的方向和数值；电源用其象函数(拉氏变换)代替；电路变量用其象函数代替：i(t)I(s),u(t)U(s)运用直流电路的方法求解象函数；反变换求原函数。,线性系统的拉普拉斯变换分析法,50,如图所示电路中，开关K闭合已久，在t=0时K断开，试求电压uL1(t)。,解：电路初始值为i1(0-)=-2.5A,i2(0-)=5A,画S域模型.,S域模型,例8,列回路方程：,(30+2.5s)I2=100/s7.5,线性系统的拉普拉斯变换分析法,51,故有：,线性系统的拉普拉斯变换分析法,52,如图所示电路中，开关K闭合已久，在t=0时K断开，试求电容电压uC(t)。,解：电路初始值为iL(0-)=1A,uC(0-)=2V,画复频域模型,S域模型,例9,线性系统的拉普拉斯变换分析法,53,复频域模型如图所示。用节点法：,线性系统的拉普拉斯变换分析法,54,55,课堂练习题,求例9中的电压uC(t)的零输入响应uCzi(t)和零状态响应uCzs(t),零输入响应,零状态响应,线性系统的拉普拉斯变换分析法,56,求零状态响应yzs(t)步骤,（1）求激励f(t)的象函数F(s)=f(t)。,（2）找出在s域中联系零状态响应与输入激励的运算形式的系统函数H(s)。,（3）求零状态响应yzs(t)的象函数Y(s)=F(s)H(s)。,（4）求yzs(t)=-1Y(s)=-1F(s)H(s),通过系统函数或者传递函数H(s)求零状态响应,线性系统的拉普拉斯变换分析法,57,求H(s)的常用方法：,（1）由零状态下系统的微分方程经过LT求得,解：对上式取零状态下的LT，得,s2Yzs(s)+3sYzs(s)+2Yzs(s)=2sX(s)+3X(s),Yzs(s)(s2+3s+2)=X(s)(2s+3),线性系统的拉普拉斯变换分析法,（2）由系统的单位冲激响应经过LT求得，即h(t)=H(s)。,58,（3）对具体网络，可由零状态下的s域等效电路应用电路分析方法求得。,例11：求H(s)。,解：令,线性系统的拉普拉斯变换分析法,59,例12已知,f(t)yZS(t),解：,1）求,源极点,2）,系统极点,3）,4）,自由分量,强迫分量,均为瞬态分量,线性系统的拉普拉斯变换分析法,线性系统的拉普拉斯变换分析法,60,61,例14已知某系统当激励f1(t)=(t)时，全响应为y1(t)=(t)+e-t(t);当激励f2(t)=(t)时,全响应为y2(t)=3e-t(t)。(1)求系统的