2014-2018年五年真题分类第四章 三角函数解三角形

专题四 三角函数、解三角形考点1 三角函数的概念、同角三角函数基本关系式及诱导公式1.(2016全国，5)若tan ，则cos22sin 2()A. B. C.1 D.1.A tan ，则cos22sin 2.2.(2015重庆，9)若tan 2tan ，则()A.1 B.2 C.3 D.42.C3.3.(2014大纲全国，3)设asin 33，bcos 55，ctan 35，则()A.abcB.bcaC.cbaD.cab3.Cbcos 55sin 35sin 33a，ba.又ctan 35sin 35cos 55b，cb.cba.故选C.4.（2017北京,12）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin= ，则cos（）=_ 4. 方法一：角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，sin=sin= ，cos=cos，cos（）=coscos+sinsin=cos2+sin2=2sin21= 1= 方法二：sin= ，当在第一象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第二象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = ：sin= ，当在第二象限时，cos= ，角的终边关于y轴对称，在第一象限时，sin=sin= ，cos=cos= ，cos（）=coscos+sinsin= + = 综上所述cos（）= ，故答案为： 5.（2017新课标,14）函数f（x）=sin2x+ cosx （x0， ）的最大值是_ 5. 1 f（x）=sin2x+ cosx =1cos2x+ cosx ，令cosx=t且t0，1，则f（t）=t2+ + =（t ）2+1，当t= 时，f（t）max=1，即f（x）的最大值为1.考点2 三角函数的图象与性质1（2018全国，10）若f(x)=cosx-sinx在-a,a是减函数，则a的最大值是()A4 B2 C34 D1.A 因为f(x)=cosxsinx=2cos(x+4)，所以由0+2kx+4+2k,(kZ)得4+2kx34+2k,(kZ)，因此a,a4,34aa,a4,a340a4，从而a的最大值为4，选A.2（2018天津，6）将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间34,54上单调递增 B在区间34,上单调递减C在区间54,32上单调递增 D在区间32,2上单调递减2.A 由函数图象平移变换的性质可知：将y=sin2x+5的图象向右平移10个单位长度之后的解析式为：y=sin2x10+5=sin2x.则函数的单调递增区间满足：2k22x2k+2kZ，即k4xk+4kZ，令k=1可得一个单调递增区间为：34,54.函数的单调递减区间满足：2k+22x2k+32kZ，即k+4xk+34kZ，令k=1可得一个单调递减区间为：54,74.本题选择A选项.3.（2017天津,7）设函数f（x）=2sin（x+），xR，其中0，|x若f（ ）=2，f（ ）=0，且f（x）的最小正周期大于2，则（） A. = ，= B. = ，= C. = ，= D. = ，= 3. A 由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（ ）=2，f（ ）=0，得 ，T=3，则 ，即 f（x）=2sin（x+）=2sin（ x+），由f（ ）= ，得sin（+ ）=1+ = ，kZ取k=0，得= ，= 故选A4.（2017新课标,9）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ ），则下面结论正确的是（） A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C24. D 把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=cos2（x ）=cos（2x ）=sin（2x+ ）的图象，即曲线C2 ， 故选D5.（2017新课标,6）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ） A、f（x）的一个周期为2B、y=f（x）的图象关于直线x= 对称C、f（x+）的一个零点为x= D、f（x）在（ ，）单调递减5. D A函数的周期为2k，当k=1时，周期T=2，故A正确，B当x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3=1为最小值，此时y=f（x）的图象关于直线x= 对称，故B正确，C当x= 时，f（ +）=cos（ + ）=cos =0，则f（x+）的一个零点为x= ，故C正确，D当 x时， x+ ，此时余弦函数不是单调函数，故D错误，故选D.6.(2016浙江，5)设函数f(x)sin2xbsin xc，则f(x)的最小正周期()A.与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关6.B 因为f(x)sin2xbsin xcbsin xc，其中当b0时，f(x)c，f(x)的周期为；b0时，f(x)的周期为2.即f(x)的周期与b有关但与c无关，故选B.7.(2016四川，3)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点() A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度7.D由题可知,ysinsin,则只需把ysin 2x的图象向右平移个单位，选D.8.(2016北京，7)将函数ysin图象上的点P向左平移s(s0)个单位长度得到点P.若P位于函数ysin 2x的图象上，则()A.t，s的最小值为 B.t，s的最小值为C.t，s的最小值为 D.t，s的最小值为8.A点P在函数ysin图象上，则tsinsin.又由题意得ysinsin 2x，故sk，kZ，所以s的最小值为.9.(2016全国，12)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A.11 B.9 C.7 D.59.B 因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以kT，即T，所以4k1(kN*)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，由此得的最大值为9，故选B.10.(2016全国，7)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为()A.x(kZ) B.x(kZ)C.x(kZ) D.x(kZ)10.B 由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk得函数的对称轴为x(kZ)，故选B.11.(2015山东，3)要得到函数ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位11.Bysinsin，要得到ysin的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移个单位.12.(2015湖南，9)将函数f(x)sin 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B. C. D.12.D易知g(x)sin(2x2)，由|f(x1)f(x2)|2及正弦函数的有界性知，或由知(k1，k2Z)，|x1x2|min，由，同理由得.故选D.13.(2015四川，4)下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是()A.ycosB.ysinC.ysin 2xcos 2xD.ysin xcos x13.AA选项：ycossin 2x，T，且关于原点对称，故选A.14.(2015陕西，3)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A.5B.6C.8D.1014.C由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.15.(2015新课标全国，8)函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZ B.，kZC.，kZ D.，kZ15.D由图象知1，T2.由选项知D正确.16.(2015安徽，10)已知函数f(x)Asin(x)(A，均为正的常数)的最小正周期为，当x时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)f(2)f(0) B.f(0)f(2)f(2) C.f(2)f(0)f(2) D.f(2)f(0)0，min，故f(x)Asin.于是f(0)A，f(2)Asin，f(2)AsinAsin，又44，其中f(2)AsinAsinAsin，f(2)AsinAsinAsin.又f(x)在单调递增，f(2)f(2)f(0)，故选A.17.(2014浙江，4)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数ycos 3x的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位17.C因为ysin 3xcos 3xcoscos 3，所以将函数ycos 3x的图象向右平移个单位后，可得到ycos的图象，故选C.18.(2014辽宁，9)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增C.在区间上单调递减 D.在区间上单调递增18.B将y3sin的图象向右平移个单位长度后得到y3sin，即y3sin的图象，令2k2x2k，kZ，化简可得x，kZ，即函数y3sin的单调递增区间为，kZ，令k0，可得y3sin(2x)在区间上单调递增，故选B.19.(2014陕西，2)函数f(x)cos的最小正周期是()A. B. C.2 D.419.BT，B正确.20（2018全国，15）函数fx=cos3x+6在0，的零点个数为_20.30x,63x+6196.由题可知3x+6=2，3x+6=32，或3x+6=52,解得x=9,49,或79,故有3个零点.21（2018江苏，7）已知函数y=sin(2x+)(22)的图象关于直线x=3对称，则的值是_21.6. 由题意可得sin23+=1，所以23+=2+k，=6+k(kZ)，因为-20)，若f(x)f(4)对任意的实数x都成立，则的最小值为_22.23 因为f(x)f(4)对任意的实数x都成立，所以f(4)取最大值，所以46=2k(kZ)，=8k+23(kZ)，因为0，所以当k=0时，取最小值为23.23.(2016江苏，9)定义在区间0，3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是 .23.7 在区间0，3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点.24.(2016全国，14)函数ysin xcos x的图象可由函数ysin xcos x的图象至少向右平移 个单位长度得到.24.ysin xcos x2sin，ysin xcos x2sin，因此至少向右平移个单位长度得到.25.(2015浙江，11)函数f(x)sin2xsin xcos x1的最小正周期是_，单调递减区间是_.25.(kZ)f(x)sin 2x1sin，T，由2k2x2k，kZ，解得：kxk，kZ，单调递减区间是，kZ.26.(2014上海，1)函数y12cos2(2x)的最小正周期是_.26.y12cos2(2x)12cos 4x，则最小正周期为.27（2018江苏，17）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚II内的地块形状为CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚II内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大27.（1）连结PO并延长交MN于H，则PHMN，所以OH=10过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE=，故OE=40cos，EC=40sin，则矩形ABCD的面积为240cos（40sin+10）=800（4sincos+cos），CDP的面积为12240cos（4040sin）=1600（cossincos）过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10令GOK=0，则sin0=14，0（0，6）当0，2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin的取值范围是14，1）答：矩形ABCD的面积为800（4sincos+cos）平方米，CDP的面积为1600（cossincos），sin的取值范围是14，1）（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k（k0），则年总产值为4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，2）设f（）= sincos+cos，0，2），则f()=cos2-sin2-sin=-(2sin2+sin-1)=-(2sin-1)(sin+1)令f()=0，得=6，当（0，6）时，f()0，所以f（）为增函数；当（6，2）时，f()0)个单位长度，得到yg(x)的图象.若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值.32.(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为ysin x的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.33.(2014湖北，17)某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24).(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？33.(1)因为f(t)102102sin，又0t24，所以t11时实验室需要降温.由(1)得f(t)102sin，故有102sin11，即sin.又0t24，因此t，即10t18.故在10时至18时实验室需要降温.考点3 三角恒等变换1（2018全国，4）若sin=13，则cos2=()A89 B79 C-79 D-891.B cos2=1-2sin2=1-29=79，故选B.2.(2016山东，7)函数f(x)(sin xcosx)(cosxsin x)的最小正周期是()A. B. C. D.22.B f(x)2sin xcosx(cos2xsin2x)sin 2xcos 2x2sin，T，故选B.3.(2016全国，9)若cos，则sin 2()A. B. C. D.3.D 因为sin 2cos2cos21，又因为cos，所以sin 221，故选D.4.(2016全国，8)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA()A. B. C. D.4.C 设BC边上的高AD交BC于点D，由题意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cosA.5.(2015新课标全国，2)sin 20cos 10cos 160sin 10()A. B. C. D.5.Dsin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.6.(2014新课标全国，8)设，且tan ，则()A.3 B.3 C.2 D.26.C由tan 得,即sin coscossin cos，所以sin()cos,又cossin,所以sin()sin,又因为,所以,0,因此,所以2，故选C.7（2018全国，16）已知函数fx=2sinx+sin2x，则fx的最小值是_7.332f(x)=2cosx+2cos2x=4cos2x+2cosx-2=4(cosx+1)(cosx-12)，所以当cosx12时函数单调增，从而得到函数的减区间为2k-53,2k-3(kZ)，函数的增区间为2k-3,2k+3(kZ)，所以当x=2k-3,kZ时，函数fx取得最小值，此时sinx=-32,sin2x=-32，所以fxmin=2(-32)-32=-332，故答案是-332.8.(2018全国，15)已知，则_8. 因为，所以，因此9.（2017江苏,5）若tan（ ）= 则tan=_9. tan（ ）= = = ,6tan6=tan+1，解得tan= ，故选10.(2016四川，11)cos2sin2 .10.由题可知，cos2sin2cos(二倍角公式).11.(2015四川，12)sin 15sin 75的值是 .11.sin 15sin 75sin 15cos 15sin(1545)sin 60.12.(2015江苏，8)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_.12.3tan 2，tan()，解得tan 3.13（2018浙江，18）已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（-35，-45）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=513，求cos的值13.（）由角的终边过点P(-35,-45)得sin=-45，所以sin(+)=-sin=45.（）由角的终边过点P(-35,-45)得cos=-35，由sin(+)=513得cos(+)=1213.由=(+)-得cos=cos(+)cos+sin(+)sin，所以cos=-5665或cos=1665.14（2018江苏，16）已知,为锐角，tan=43，cos(+)=55（1）求cos2的值；（2）求tan()的值14.（1）因为tan=43，tan=sincos，所以sin=43cos因为sin2+cos2=1，所以cos2=925，因此，cos2=2cos2-1=-725（2）因为,为锐角，所以+(0,)又因为cos(+)=-55，所以sin(+)=1-cos2(+)=255，因此tan(+)=-2因为tan=43，所以tan2=2tan1-tan2=-247，因此，tan(-)=tan2-(+)=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=-21115.(2015山东，16)设f(x)sin xcosxcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值.15.解(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ, 可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ).(2)由fsin A0，得sin A，由题意知A为锐角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，且当bc时等号成立.因此bcsinA.所以ABC面积的最大值为.16.(2014新课标全国，14)函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_.16.1f(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)coscos(x)sin sin(x)sin x，因为xR，所以f(x)的最大值为1.17（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为 (1)求sinBsinC； (2)若6cosBcosC=1，a=3，求ABC的周长 17.（1）解：由三角形的面积公式可得SABC= acsinB= ，3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，sinA0，sinBsinC= ；（2）解：6cosBcosC=1，cosBcosC= ，cosBcosCsinBsinC= = ，cos（B+C）= ，cosA= ，0A，A= ， = = =2R= =2 ，sinBsinC= = = = ，bc=8，a2=b2+c22bccosA，b2+c2bc=9，（b+c）2=9+3cb=9+24=33，b+c= 周长a+b+c=3+ 18.（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2 （）求cosB；（）若a+c=6，ABC面积为2，求b 18.（）sin（A+C）=8sin2 ，sinB=4（1cosB），sin2B+cos2B=1，16（1cosB）2+cos2B=1，（17cosB15）（cosB1）=0，cosB= ；（）由（1）可知sinB= ，SABC= acsinB=2，ac= ，b2=a2+c22accosB=a2+c22 =a2+c215=（a+c）22ac15=361715=4，b=2 19.（2017新课标，17）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2（）求c；（）设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积 19.（）sinA+ cosA=0，tanA= ，0A，A= ，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA，即28=4+c222c（ ），即c2+2c24=0，解得c=6（舍去）或c=4，（）c2=b2+a22abcosC，16=28+422 2cosC，cosC= ，sinC= ，tanC= 在RtACD中，tanC= ，AD= ，SACD= ACAD= 2 = ，SABC= ABACsinBAD= 42 =2 ，SABD=SABCSADC=2 = .20.（2017山东,17）设函数f（x）=sin（x ）+sin（x ），其中03，已知f（ ）=0（）求；（）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在 ， 上的最小值 20. （）函数f（x）=sin（x ）+sin（x ）=sinxcos cosxsin sin（ x）= sinx cosx= sin（x ），又f（ ）= sin（ ）=0， =k，kZ，解得=6k+2，又03，=2；（）由（）知，f（x）= sin（2x ），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y= sin（x ）的图象；再将得到的图象向左平移 个单位，得到y= sin（x+ ）的图象，函数y=g（x）= sin（x ）；当x ， 时，x ， ，sin（x ） ，1，当x= 时，g（x）取得最小值是 = 21.（2017天津,17）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知ab，a=5，c=6，sinB= （）求b和sinA的值；（）求sin（2A+ ）的值 21.（）在ABC中，ab，故由sinB= ，可得cosB= 由已知及余弦定理，有 =13，b= 由正弦定理 ，得sinA= b= ，sinA= ；（）由（）及ac，得cosA= ，sin2A=2sinAcosA= ，cos2A=12sin2A= 故sin（2A+ ）= = 22.（2017浙江,17）已知函数f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx（xR）（）求f（ ）的值（）求f（x）的最小正周期及单调递增区间 22. 函数f（x）=sin2xcos2x2 sinx cosx= sin2xcos2x=2sin（2x+ ）（）f（ ）=2sin（2 + ）=2sin =2，（）=2，故T=，即f（x）的最小正周期为，由2x+ +2k， +2k，kZ得：x +k， +k，kZ，故f（x）的单调递增区间为 +k， +k，kZ 23.(2014江西，16)已知函数f(x)sin(x)acos(x2)，其中aR，.(1)若a，时，求f(x)在区间0，上的最大值与最小值；(2)若f0，f()1，求a，的值.23.解(1)f(x)sincos(sin xcosx)sin xcosxsin xsin，因为x0，从而x，故f(x)在0，上的最大值为，最小值为1.(2)由得又知cos0，解得24.(2014广东，16)已知函数f(x)Asin，xR，且f.(1)求A的值；(2)若f()f()，求f.24.(1)fAsin，A，A.(2)f()f()sinsin，(sin cos)(sin cos)，cos，cos，又(0，)，sin ，fsin()sin .25.(2014江苏，15)已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值.25.(1)因为a，sin ，所以cos.故sinsincoscossin.(2)由(1)知sin 22sin cos2，cos 212sin212，所以coscoscos 2sinsin 2.考点4 解三角形1（2018全国，6）在ABC中，cosC2=55,BC=1,AC=5，则AB=()A42 B30 C29 D251.A 因为cosC=2cos2C21=2(55)21=35,所以c2=a2+b22abcosC=1+25215(35)=32c=42，选A.2（2018全国，9）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2+b2c24，则C=()A2 B3 C4 D62.C 由题可知SABC=12absinC=a2+b2-c24,所以a2+b2-c2=2absinC.由余弦定理a2+b2-c2=2abcosC,得sinC=cosC.C(0,),C=4.故选C.3.（2017山东,9）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC为锐角三角形，且满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC，则下列等式成立的是（） A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A3. A 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinB（1+2cosC）=2sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+sin（A+C）=sinAcosC+sinB，可得：2sinBcosC=sinAcosC，因为ABC为锐角三角形，所以2sinB=sinA，由正弦定理可得：2b=a故选A4.(2014新课标全国，4)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A.5 B. C.2 D.14.BSABCABBCsin B1sin B，sin B，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.5（2018浙江，13）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=7，b=2，A=60，则sin B=_，c=_5.217 3 由正弦定理得ab=sinAsinB,所以sinB=27sin3=217,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,7=4+c2-2c,c=3（负值舍去）.6（2018江苏，13）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，ABC=120，ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为_6.9 由题意可知，SABC=SABD+SBCD,由角平分线性质和三角形面积公式得12acsin120=12a1sin60+12c1sin60，化简得ac=a+c,1a+1c=1，因此4a+c=(4a+c)(1a+1c)=5+ca+4ac5+2ca4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.7.（2017浙江,14）已知ABC，AB=AC=4，BC=2，点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_，comBDC=_ 7. ； 如图，取BC得中点E，AB=AC=4，BC=2，BE= BC=1，AEBC，AE= = ，SABC= BCAE= 2 = ，BD=2，SBDC= SABC= ，BC=BD=2，BDC=BCD，ABE=2BDC,在RtABE中，cosABE= = ，cosABE=2cos2BDC1= ，cosBDC= ，故答案为， .8.(2016全国，13)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A，cos C，a1，则b .8.在ABC中由cos A，cos C，可得sin A，sin C，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得b.9.(2015福建，12)若锐角ABC的面积为10，且AB5，AC8，则BC等于_.9.7SABACsin A，sin A，在锐角三角形中A，由余弦定理得BC7.10.(2015广东，11)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.10.1因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.11.(2015北京，12)在ABC中，a4，b5，c6